29.2.1 第一课时：垂直于弦的直径 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“垂直于弦的直径”核心知识点，通过折纸操作引导学生探究圆的轴对称性，以此为支架推导垂径定理及推论，梳理圆的对称性与弦、弧、半径关系的知识脉络。 亮点在于以动手探究培养几何直观（数学眼光），通过推理证明发展逻辑推理能力（数学思维），结合赵州桥实例与规范解题步骤强化模型意识（数学语言），助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学流程与易错点指导。

第29章圆的有关性质 第一课时：29.2.1垂直于弦的直径教学设计 一、素养目标 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，能运用定理进行弦、弧、半径相关计算与简单证明； 2.通过折纸、推理探究定理，体会数形结合，提升观察、归纳、逻辑推理能力； 3.能用垂径定理解决赵州桥等实际问题，学会构造半径－弦心距直角三角形，规范几何解题步骤. 二、教学重点、难点 重点：垂直于弦的直径的性质及其应用. 难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 三、教学过程 1、合作探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？能证明你的结论吗？ 可以发现，圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 如图，设AB是⊙O的任意一条直径，如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点，M′是点M关于直线AB的对称点，那么直线AB是线段MM′的垂直平分线. 因为圆心O在AB上，所以OM′＝OM，因此点M′在⊙O上.如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立. 这样，我们就证明了：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 2、垂径定理 从前面的证明可以知道，如果⊙O的直径AB垂直于弦MM′，垂足为N，那么M和M′是关于直径AB的对称点. 把圆沿着直径AB对折时，点M与点M′重合，MN与M′N重合，，分别与，重合. 因此，MN＝M′N，＝，＝. 因此，直径AB平分弦MM′，并且平分，. 这样，就得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何符号语言： ∵ CD是⊙O的直径，CD⊥AB ∴ AE＝BE，＝，＝ ( ① 过圆心； ② 垂直于弦. ) 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何符号语言： ∵ CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦(不是直径)，且AE＝BE ∴ CD⊥AB，＝，＝ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 答：不能，圆的任意两条直径都是互相平分的，却不一定互相垂直. ( ① 过圆心； ② 平分弦(不是直径). ) 3、思考 ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 4、归纳总结 满足其中任两条，必定同时满足另三条 简记为“知二推三” 5、例题讲解 例1 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位). 解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R m.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA. 根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高. 由题设可知，AB＝37，CD＝7.23 所以，AD＝AB＝×37＝18.5 则OD＝OC－CD＝R－7.23 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2 即 R 2＝18.52＋(R－7.23)2，解得 R ≈27.3 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. 6、归纳总结 垂径定理的常用方法 在圆中，解决有关弦的问题时，只需从圆心作一条与弦垂直的线段，如图： ( r：圆的半径，d：圆心到弦的距离，a：弦长) 四、课堂练习 1.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证AC＝BD. 2.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证：四边形ADOE是正方形. 3.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，且CD＝4m，EM＝6m.求⊙O的半径长. 参考答案： 1、 证明：作OE┴AB于点E， 由垂径定理可得AE=BE，CE=DE ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD 2、 提示：先证明四边形ADOE是矩形，再利用垂径定理证AE=AD 证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC， ∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°. ∴四边形ADOE为矩形，AE=AC,AD=AB. 又∵AC=AB, ∴AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形. 3、 ⊙O的半径为m. 五、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 六、教学反思 本节课通过折纸操作探究圆的对称性，引导学生得出垂径定理，大部分学生能够识记定理，完成基础计算题。教学发现部分学生审题粗心，容易忽略推论“弦非直径”这一条件，解题不会主动作辅助线构建直角三角形，几何解题书写步骤不够规范。今后教学要强化辅助线画法训练，结合典型错题辨析易错点，加强定理文字、图形、符号语言互译练习，提升学生几何推理应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $