29.2.1 垂直于弦的直径-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦“垂直于弦的直径”，以圆形拱门实际问题导入，通过圆的对称性折叠实验猜想垂径定理，经推理验证形成定理及推论，搭建“观察-猜想-验证-应用”的学习支架。 特色在于融合数学眼光、思维与语言，如折叠实验培养几何直观与推理能力，赵州桥问题构建数学模型解决实际问题。讲练结合让学生参与知识形成，提升探究精神与应用意识，助力教师高效教学，夯实圆的性质基础。

29.2　圆的有关性质 29.2.1　垂直于弦的直径 ◇教学目标◇ 　　1.探索圆的对称性,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证. 2.掌握垂径定理及其推论,理解其证明过程,并会应用它解决有关的证明与计算问题. 3.经历探索垂径定理及其推论的过程,进一步理解研究几何图形的各种方法. 4.通过学习,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动性. ◇教学重难点◇ 教学重点 垂径定理及其推论. 教学难点 垂径定理及其推论的理解及应用. ◇教学过程◇ 一、情境导入 大家见过公园里的圆形拱门吗?园林工人李师傅最近遇到了一个难题——一个圆形拱门上的装饰铜条(弦)松动了,他需要更换一根新的铜条,但拱门太高,无法直接测量这条铜条的长度.李师傅灵机一动,他先在地面上量出了铜条两个端点之间的距离是4米,然后从圆心正对着铜条的位置竖直向上拉了一根绳子,测得圆心到铜条的距离是3米.李师傅说:“不用爬上去,我就能算出铜条多长,还能算出这个拱门的半径.”同学们,你们知道李师傅是怎么算出来的吗? 二、合作探究 探究点1　垂径定理 典例1　如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为 (　　) A. B.2 C.2 D.8 [解析]　如图,作OH⊥CD于点H,连接OC.∵OH⊥CD,∴HC=HD.∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=4,∴OP=OA-AP=2.在Rt△OPH中,∵∠OPH=30°,∴OH=OP=1,在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,∴CH=. ∴CD=2CH=2. [答案]　C (1)解决圆中有关弦的计算问题,常作弦的垂线段,连接半径,在图形中构建一个直角三角形,从而可以利用勾股定理及垂径定理,通过解直角三角形,使问题得以解决. (2)过☉O内一点P最短弦是与OP垂直的弦,最长弦是直径. 探究点2　垂径定理的应用 典例2　 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1 400余年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位). [解析]　如图,表示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径长为R m. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高. 由题设可知AB=37,CD=7.23, 所以AD=AB=×37=18.5, 则OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2, 即R2=18.52+(R-7.23)2. 解得R≈27.3. 因此,赵州桥主桥拱的半径长约为27.3 m. 三、板书设计 垂直于弦的直径 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 2.垂径定理的应用 构造以圆的半径、弦心距、弦长的一半为边的直角三角形,解直角三角形即可,必要时可利用勾股定理列方程求解. ◇教学反思◇ 　　本节课主要学习垂径定理及其推论.垂径定理涉及的条件和结论比较多,学生容易混淆.在教学中采用了讲练结合动手操作的方法,课前布置学生制作圆形纸片,通过折叠圆形纸片的过程,让学生大胆猜想,得出结论,同时也考察了圆的对称性,并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理,这样让学生参与了知识的形成过程,激发了学生的学习兴趣.通过典例2赵州桥的问题让学生进一步领悟学习数学的应用价值. 1 立足安徽 精准备考 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $