课时作业评价(49) 数列与其他知识综合(适情自选)(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 聚焦数列与函数、导数、三角函数等知识综合，通过构造法、放缩法等提炼解题逻辑，强化知识交汇应用与数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列与函数综合|1,5题|构造新数列、导数求参数|从递推关系到通项公式，结合函数单调性分析| |数列与不等式|2,3题|裂项相消、不等式放缩|以数列为载体，通过函数不等式证明与恒成立问题构建逻辑链| |数列与三角函数|4题|零点分析、等差分组求和|三角函数零点转化为数列项，利用周期性分组求和|

课时作业评价(四十九)　数列与其他知识综合(适情自选) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(15分)已知数列{an}的首项a1=-1,且满足an+1=. (1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;(5分) (2)若+++…+<10,求满足条件的最大整数n.(10分) 2.(15分)(2026·广州月考)已知数列{an}满足a2=,an+1+3anan+1=an. (1)求{an}的通项公式;(5分) (2)令bn=,Tn为{bn}的前n项之积,求证:+++…+<ln(n+1).(10分) 3.(17分)已知Sn是数列{an}的前n项和,若-=. (1)求证:{an}为等差数列;(7分) (2)设数列的前n项和为Tn,若Tn<1对任意的n∈N*恒成立,求a1的取值范围.(10分) 　　　　　　　　　　　　　　 4.(17分)将函数f(x)=sin-(ω>0,x>0)的零点按照从小到大的顺序排列,得到数列{an},且a1=. (1)求ω;(5分) (2)求f(x)的单调递增区间,并说明f(x)在(1,2)上的单调性;(6分) (3)求数列{an}的前n项和Sn.(6分) 5.(17分)已知函数f(x)=x-aln(x+1). (1)若f(x)≥0,求a的值;(5分) (2)已知数列{an}满足a1=,且an=(n≥2). ①求证:数列为等比数列,并求{an}的通项公式;(5分) ②设{an}的前n项积为Tn,m为整数,若对任意的正整数n都有Tn<m,求m的最小值.(7分) 参考数据:ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6,ln 5≈1.609 4. 答案 课时作业(四十九)　数列与其他知识综合(适情自选) 1.解:(1)证明:因为-1=-1==,又-1=-2,所以数列是以-2为首项,为公比的等比数列,所以=1-. (2)由(1)可得+++…+=n-2×+++…+=n-2×=n-3+.记bn=n-3+,则bn+1-bn=1-≥1->0, 所以{bn}单调递增.当n≥13时,n-3+≥10+>10,不符合题意;当n=12时,n-3+=9+<10,符合题意.所以满足条件的最大整数n为12. 2.解:(1)由题意知an≠0,因为an+1+3anan+1=an,所以-=3.又a2=,所以a1=,故是以3为首项,3为公差的等差数列,所以=3+3(n-1),即an=. (2)证明:由(1)知bn=,则Tn=××…×=n+1,所以=. 令f(x)=ln x-x+1,0<x<1,则f'(x)=-1>0,所以f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)<ln 1-1+1=0,即ln x<x-1(0<x<1). 取x=,n∈N*,则ln<-1=-,于是<ln, 所以=<<ln=ln(n+1)-ln n,所以+++…+<(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+(ln 4-ln 3)+…+[ln(n+1)-ln n]=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1),得证. 第2题·易错提醒 本题易放缩过度,若根据bn=的形式,直接构造函数得到ln x<x-1(x>1),可得ln<-1=,就会导致放缩方向错误,所以需要先变形,找到合适的放缩不等式,否则与所证矛盾. 3.快审准解:(1)由条件可得是以=1为首项,为公差的等差数列,即可得到Sn=an,再由递推关系可得==…==a1,从而得证; (2)由条件可得=,代入计算即可求得Tn=·,再将问题转化为>,即可得到结果. 解:(1)证明:因为-=,所以是以=1为首项,为公差的等差数列, 所以=1+(n-1)=,即Sn=an　①,　所以Sn+1=an+1　②, 由②-①可得an=an+1,即==…==a1,所以an+1=(n+1)a1,an=na1, 所以an+1-an=a1,所以{an}为等差数列. (2)由(1)可知,an+1=(n+1)a1,an=na1,则==, 所以Tn=+++…+=1-+-+-+…+-=·. 由Tn<1对任意的n∈N*恒成立,得·<1对任意的n∈N*恒成立, 即>对任意的n∈N*恒成立,所以>,又<1,所以≥1,即a1≥1或a1≤-1,所以a1的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞). 4.解:(1)由sin-=0,得sin=, 所以ωx-=+2kπ或ωx-=+2kπ(k∈N),解得x=+或x=+(k∈N). 因为ω>0,x>0且a1=,所以k=0时,=或=,解得ω=π或ω=. 当ω=时,f(x)=sin-,此时f=0,而<,不合题意,所以ω=π. (2)由(1)可得f(x)=sin-,由-+2kπ≤πx-≤+2kπ(k∈N), 得+2k≤x≤+2k(k∈N),因为x>0,所以f(x)的单调递增区间为+2k,+2k(k∈N). 因为x∈(1,2),所以πx-∈,当πx-∈,即x∈时,f(x)单调递增, 当πx-∈,即x∈时,f(x)单调递减. 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减. (3)当ω=π时,由πx-=+2kπ或πx-=+2kπ(k∈N),得x=+2k或x=+2k(k∈N),又a1=,所以{an}的奇数项构成以为首项,公差为2的等差数列,偶数项构成以为首项,公差为2的等差数列.所以当n为奇数时,Sn=·+×2+·+×2=n2+n+;当n为偶数时,Sn=·+×2+·+×2=n2+n.综上,Sn= 5.解:(1)函数f(x)=x-aln(x+1)的定义域为(-1,+∞),由题意可得f(0)=0. 若a≤0,则f(x)单调递增,当-1<x<0时,f(x)<0,不符合题意. 若a>0,则f'(x)=1-=,令f'(x)=0,解得x=a-1, 故当x∈(-1,a-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(a-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,此时f(a-1)为f(x)最小值,若a≠1,则有f(a-1)<f(0)=0,不满足题意, 若a=1,则f(x)≥f(0)=0,故a=1. (2)①证明:因为an=(n≥2),所以=+(n≥2),即-1=, 又-1=-,故是首项为-,公比为的等比数列,故-1=-,得an=, 经检验n=1时同样成立,故an=. ②由a1=>1,且an>1,可得m>1,则Tn<m,即ln Tn<ln m, 而ln Tn=ln(a1·a2·…·an)=ln a1+ln a2+…+ln an,又an==+1, 由(1)可得x-ln(x+1)≥0,则ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时等号成立, 故ln an=ln<,故ln Tn<++…+<+++…+=+1++…+=+×=+×<+×==0.687 5<ln 2,故ln Tn<ln 2,所以Tn<2,则m≥2,故m的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $