课时作业评价(47) 数列求和(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 聚焦数列求和核心方法，通过等差等比综合、递推数列转化、差比型与分式结构求和，系统提炼分组、错位相减、裂项相消技巧，构建“通项求法-求和策略-推理验证”逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分组求和|1题|等差与等比数列分组转化求和|等差数列基本量运算、等比数列定义推导通项→分组求和| |裂项相消|2题|分式结构裂项（如1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))）|递推关系（根与系数）→通项公式→裂项公式推导| |错位相减|3题|差比型数列错位相减（结合等比数列公比运算）|Sn与an关系推导通项→错位相减求和（含项数控制）|

课时作业评价(四十七)　数列求和 　　　　　　　　　　　　　　 1.(15分)已知等差数列{an}的公差d>0,且满足a1a5=64,a3=10,记Sn是数列{bn}的前n项和,且满足Sn=2bn-1. (1)求数列{an}的通项公式;(5分) (2)令cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn.(10分) 2.(15分)(2025·佛山三模)已知数列{an},{bn}满足a1=1,且-an,an+1是关于x的方程x2-2x-bn=0的两个根. (1)求an;(5分) (2)设cn=+(-1)nan,求数列{cn}的前21项和S21.(10分) 3.(15分)(2025·长沙二模)已知数列{an}的首项a1=1,{an}的前n项和为Sn且满足nSn+1-(n+1)Sn=. (1)求证:数列是等差数列;(5分) (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Rn.(10分) 4.(15分)(2026·重庆调研)记Sn为数列{an}的前n项和,且为等差数列,为等比数列,a1=1. (1)求a2的值,并求{an}的通项公式;(5分) (2)探究{an}是否存在唯一的最大项;(4分) (3)求证:Sn<8.(6分) 答案 课时作业(四十七)　数列求和 1.解:(1)由题意得解得或(舍去), ∴an=4+(n-1)×3=3n+1,故数列{an}的通项公式是an=3n+1. (2)∵Sn=2bn-1　①, 当n=1时,b1=S1=2b1-1,得b1=1,当n≥2时,Sn-1=2bn-1-1　②, 由①-②,得bn=Sn-Sn-1=(2bn-1)-(2bn-1-1),化简得bn=2bn-1,即=2(n≥2), ∴数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴bn=2n-1.∴cn=an+bn=3n+1+2n-1, ∴Tn=+=+2n-1=2n+n2+n-1. 2.解:(1)因为-an,an+1是关于x的方程x2-2x-bn=0的两个根,所以-an+an+1=2.所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.因此an=1+(n-1)×2=2n-1. (2)由(1)知an=2n-1,对于方程x2-2x-bn=0,由根与系数的关系得anan+1=bn,即bn=(2n-1)(2n+1).所以cn=+(-1)nan=+(-1)n·(2n-1)=(-1)n·(2n-1)+.所以S21=(-1+3)+(-5+7)+…+(-37+39)-41+(1-+-+…+-)=2×10-41+=-. 3.解:(1)证明:因为nSn+1-(n+1)Sn=n(n+1),所以-=, 又a1=1,所以数列是以1为首项,为公差的等差数列. (2)由(1)可得=n+,所以Sn=n2+n,当n≥2时Sn-1=(n-1)2+(n-1),所以an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=n,当n=1时an=n也成立,所以an=n,所以bn=.因为Rn=+++…+,①　Rn=+++…+,② 所以①-②得Rn=++++…+-,③ 则Rn=+++…+-,④ ③-④得Rn=1+1++++…+--+=1+(1+++…+)--+=1+--+=3---+=3--,所以Rn=12--. 4.解:(1)因为为等差数列,a1=1,所以4a2=a3+2. 因为为等比数列,所以2=3a3.所以4a2=+2,即8-18a2+9=0,得a2=或a2=.若a2=,则=,那么an=,此时=,不为等比数列,不符合题意,舍去. 若a2=,则=n+1,即an=,经检验,符合题意,故an=. (2)an+1-an=,则当n<2时,an<an+1,当n>2时,an>an+1,当n=2时,an=a2=,an+1=a3=.所以a1<a2=a3>a4>a5>…>an,所以{an}不存在唯一的最大项. (3)证明:法一:错位相减法　Sn=+++…+❶, Sn=+++…+,两式相减得Sn=2+++…+-,所以Sn=4+++…+-, 两式相减整理得Sn=7+++…+-, 所以Sn=8-<8❷. 法二　裂项相消法:an===2× -2×❸,记bn=2×,则bn+1=2×=2×,所以an=bn-bn+1,于是Sn=(b1-b2)+(b2-b3)+…+(bn-bn+1)=b1-bn+1=8-,所以Sn<8. 第(3)题·方法习悟 ①处,an=结构类似“差比型数列”,可尝试用错位相减法,两边同乘,再作差找规律; ②处,可直接判定>0,所以Sn<8; ③处,根据分式结构,联想裂项相消法,变形为an=-的形式,则cn+1=2cn-2n2-2n,利用待定系数法可得cn+1-2(n+1)2-6(n+1)-8=2(cn-2n2-6n-8).为方便计算,可取cn=2n2+6n+8,由此裂项,当然也可以根据分子的结构特征直接变形,变形时为方便计算系数最好取整. 学科网（北京）股份有限公司 $