课时作业评价(45) 等差数列(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 以真题模拟题为载体，系统整合等差数列定义、通项公式、前n项和公式及性质，通过一题多法与解题关键提炼，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|7题|基本量法（首项、公差）|定义→通项公式→前n项和公式| |性质应用|4题|等差中项/Sₙ片段和性质|公式推导→性质拓展| |最值问题|3题|二次函数/项的正负判断|函数思想→实际应用| |综合证明|2题|累加法/定义法证明|概念辨析→逻辑推理| |备选题|2题|分组求和/不等式应用|知识交汇→能力进阶|

课时作业评价(四十五)　等差数列 (标号的为重点讲评题目,选择、填空题请在后面的答题区内作答) 一、单选题 1.(2026·通州一模)已知等差数列{an}满足a5-2a3=1,且a2=0,则a2 025= (　　) A.2 026 B.2 025 C.2 024 D.2 023 2.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1= (　　) A. B. C.- D.- 3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若S4=12,S8=40,则S12= (　　) A.44 B.56 C.68 D.84 4.(2025·绵阳二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,-=4,则a7-a3= (　　) A.0 B.2 C.4 D.8 5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5=4a1,a1>0,当n>1时,Sn=an,则n等于 (　　) A.11 B.12 C.20 D.22 6.(2026·忻州模拟)已知数列{an}满足+=2,且a2=,a3=,则3a100= (　　) A. B. C. D. 二、多选题 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a4=5,Sn+2+2Sn+an=3Sn+1,a2n=2an-13,则下列说法正确的是 (　　) A.{an}是等差数列 B.{an}是等比数列 C.Sn≤S6 D.Sn≥S7 8.(2025·石家庄三模)已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+11n,则下列说法正确的是 (　　) A.数列为递减数列 B.当且仅当n=5时,Sn取得最大值 C.an=-2n+12 D.{}是等比数列 三、填空题 9.(2026·沧州模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=1,S3=9,若Sn+2-Sn=24,则n=　　　.  10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=1,a7+a8+a9=12,则S10=　　　　.   11.等差数列{an}中,已知a1=5,且在前n项和Sn中,仅当n=10时,S10最大,则公差d的取值范围为　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　　 四、解答题 12.(10分)已知数列{an}满足an+1-an=4n+1(n∈N*),且a1=1,数列{bn}满足nbn+1-(n+1)bn=n2+n(n∈N*),且b1=1. (1)求数列{an}的通项公式;(5分) (2)求证:为等差数列.(5分) 13.(10分)(2026·宜春模拟)在等差数列{an}中,已知a1=-3,11a5=5a8. (1)求数列{an}的公差及通项公式;(5分) (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值,并指出此时正整数n的值.(5分) |能力进阶|备选题| 14.已知等差数列{an}中,a1+a8=2a5-2,a3+a11=26,则数列{an·cos nπ}的前2 026项的和为 (　　) A.1 013 B.1 014 C.2 026 D.2 028 15.(15分)记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=4,S4=10. (1)求{an}的通项公式;(4分) (2)求{|an|}的前n项和Tn;(6分) (3)若n≥N0时,2Sn<-3(n+1)-2恒成立,求正整数N0的最小值.(5分) 答案 课时作业(四十五)　等差数列 1.选D　设公差为d,由a5-2a3=1,a2=0,得解得所以an=n-2,所以a2 025=2 023. 2.选B　法一　由S5=S10,得=,所以5a3=5(a3+a8),所以a8=0,公差d==-,所以a1=a5-4d=1-4×=,故选B. 法二　由S5=S10,得S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=0,即5a8=0,a8=0,所以解得a1=. 3.选D　由题意可得S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+S12-S8.因为S4=12,S8=40,则56=12+S12-40,解得S12=84. 4.选D　因为等差数列{an}的前n项和为Sn=na1+d,所以=a1+d,则-=a1+3d-(a1+d)=2d=4⇒d=2,即a7-a3=4d=8. 5.选D　设等差数列{an}的公差为d,由S5=4a1,得5a1+10d=4a1,所以a1=-10d,由a1>0,得d<0,故an=a1+(n-1)d=(n-11)d,则Sn===.因为Sn=an,所以=(n-11)d,化简得n2-23n+22=0,解得n=22或n=1(舍去). 6.选B　因为+=2,所以+=,所以数列为等差数列. 又a2=,即==2+,所以-=2,可知是以2为公差的等差数列.又a3=,则=7,可得=7+2(n-3)=2n+1,即an=,所以3a100==.故选B. 7.选AC　对于A、B,由Sn+2+2Sn+an=3Sn+1得an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列,由a4=5,a2n=2an-13,得a2=9,a2≠a4,故{an}不是等比数列,故A正确,B错误. 对于C、D,设{an}的公差为d,由a4=5,a2=9得2d=-4,即d=-2,所以a1=11,所以an=13-2n,当1≤n≤6时,an>0,当n≥7时,an<0,所以当2≤n≤6时,Sn-Sn-1>0,当n≥7时,Sn-Sn-1<0,故S1<S2<…<S6>S7>…>Sn>…,故S6是数列{Sn}的最大项,故有Sn≤S6,故C正确,D错误. 8.选ACD　由题意可知,=-n+11,则-=-n+10-(-n+11)=-1<0,故数列为递减数列,故A正确;因为二次函数y=-x2+11x的对称轴为x=,且开口朝下,所以当n=5或n=6时,Sn取得最大值,故B错误;当n≥2时,Sn-1=-(n-1)2+11(n-1)=-n2+13n-12,则an=Sn-Sn-1=-n2+11n-(-n2+13n-12)=-2n+12,又a1=S1=10,符合上式,故an=-2n+12,n∈N*,故C正确;令bn==2-2n+12,则==2-2,则{}是等比数列,故D正确. 9.解析:因为S3=a1+a2+a3=3a2=9,所以a2=3,又a1=1,所以等差数列{an}的公差d=2,可得an=2n-1,则Sn+2-Sn=an+2+an+1=1+2(n+1)+1+2n=24,解得n=5. 答案:5 10.法一　∵a7+a8+a9=3a8=12,∴a8=4,又a3=1,∴a3+a8=5,∴S10===25. 法二　设{an}的公差为d,∵a7+a8+a9=3a8=12,∴a8=4,又a3=1,∴d==,则a1=a3-2d=1-2×=-,∴S10=10a1+d=25. 答案:25 第7题·一题多法 an与Sn之间关系的应用. 函数法判断C、D: Sn=na1+=-n2+12n=-(n-6)2+36,故数列{Sn}先增后减,且当n=6时,Sn取得最大值,所以Sn≤S6. 辨清几个“最大” (1)n最大:n最大是指项数最大,即“第几项最大”,对应的不是这一项的具体数值,而是这一项的序号. (2)an最大:an最大是指某一项的具体数值最大,常结合数列的增减性求解,注意与“n最大辨析”,不要答错. (3)Sn最大:Sn最大是指前n项和最大,求解时一般要求出Sn的表达式,借助函数工具找最值.类似地,求前n项积Tn的最大值也用此法. 11.法一　{an}为等差数列,且a1=5,则前n项和Sn=n2+n,是关于n的二次函数,且n∈N*,当且仅当n=10时,S10最大,所以对称轴在区间,即<-<,解得-<d<-,则公差d的取值范围是. 法二　由题意知,从第11项开始为负数项,所以a10>0,a11<0,即 解得-<d<-. 答案: 12.解:(1)当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(4n-3)+(4n-7)+…+5+1==2n2-n,a1=1=2×12-1,所以数列{an}的通项公式为an=2n2-n. (2)证明:因为nbn+1-(n+1)bn=n2+n(n∈N*),所以-==1(n∈N*),所以是首项为=1,公差为1的等差数列. 第11题·习得知能 当a1>0,d<0时,Sn有最大值;当a1<0,d>0时,Sn有最小值.一般利用二次函数或找最接近0的项求解. 13.解:(1)设等差数列的公差为d,由11a5=5a8,得11(a1+4d)=5(a1+7d),整理得2a1=-3d,∵a1=-3,∴d=2,∴an=-3+2(n-1)=2n-5. (2)∵a1=-3,d=2,∴Sn=na1+n(n-1)d=n2-4n=(n-2)2-4, 当n=2时,Sn有最小值-4,此时正整数n=2. 14.选C　设等差数列{an}的公差为d,则由 得化简得解得∴an=1+(n-1)×2=2n-1.又∵cos nπ=(-1)n,∴数列{an·cos nπ}的通项公式为(2n-1)·(-1)n.设数列{an·cos nπ}的前n项和为Sn,则S2 026=(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a2 025+a2 026).∵-a2k-1+a2k=-[2(2k-1)-1]+2×2k-1=2,∴从1到2 026共2 026项,两两一组,可分为1 013组,∴S2 026=2×1 013=2 026. 15.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a1=4,S4=10, 所以解得所以an=4+(n-1)×(-1)=5-n. (2)由(1)可得an=5-n,|an|=当1≤n≤5时,Tn==,当n≥6时,Tn=(a1+…+a5)-(a6+…+an)=-(a1+…+a5+a6+…+an)+2(a1+…+a5)=-+2T5=-+5×4=-+20,故Tn= (3)因为2Sn<-3(n+1)-2,Sn==-n2+n, 所以2<(5-n)2-3(n+1)-2,整理得n2-11n+10>0,解得n<1或n>10,因为n∈N*,n≥N0(N0∈N*),所以正整数N0的最小值为11. 第15题·解题关键 (1)设等差数列{an}的公差为d,利用等差数列通项公式及前n项和公式列方程组求出首项和公差,即可得到结果. (2)分两种情况讨论,再利用等差数列的前n项和公式计算可得结果. (3)根据(1)(2)可得n2-11n+10>0,解不等式可得结果. 学科网（北京）股份有限公司 $