课时作业评价(41) 平面向量的数量积(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 以数量积定义为核心，通过一题多法、解题关键提炼，构建“定义-运算-应用”三阶逻辑体系，强化数学思维与几何直观的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5题（如1-4题）|定义法、坐标法、方程思想|从数量积定义（夹角、模长）到坐标运算，推导垂直条件与模长公式| |几何应用|4题（如5-6题、13题）|投影向量法、数形结合|结合三角形、平行四边形，实现向量关系与几何性质的转化| |实际情境|1题（第7题）|模型构建|将航行问题抽象为向量合成，体现数学语言表达现实世界的应用意识|

课时作业评价(四十一)　平面向量的数量积 (标号的为重点讲评题目,选择、填空题请在答题区内作答) 一、单选题 1.(2025·长沙二模)已知向量a与b的夹角为60°,a=(1,0),|b|=,若a⊥(λa+b),则实数λ= (　　) A.2 B.1 C.- D.- 2.(2026·台州一模)已知向量a与b的夹角为30°,|a|=2,a·b=3,则|a-b|= (　　) A.1 B. C.2 D. 3.(2026·淄博一模)已知|a|=2,向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反,且|c|=,则a与b的夹角为 (　　) A. B. C. D. 4.已知a=(1,),|b|=2,若a⊥(a-2b),则a,b的夹角为 (　　) A. B. C. D. 5.(2025·大同三模)在△ABC中,AB⊥AC,AC=6,=,点E是BD的中点,则(+)·= (　　) A.-8 B.-12 C.8 D.12 6.(2025·临沂三模)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=60°,P为边CD上一点,若AP⊥BD,则线段AP的长为 (　　) A. B. C.3 D.2 7.(2026·广州模拟)某货船执行从A港口到B港口的航行任务,B港口在A港口的正北方向.已知河水的速度为向东2 m/s.若货船在静水中的航速为4 m/s,船长调整船头方向航行,使得实际路程最短.则该船完成此段航行的实际速度为 (　　) A.2 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.2 m/s 二、多选题 8.下列关于向量a,b,c的运算,一定成立的是 (　　) A.(a+b)·c=a·c+b·c B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b≤|a||b| D.|a-b|≤|a|+|b| 9.(2026·汉中一模)已知向量a=(1,2),b=(1,-1),则 (　　) A.a+2b=(3,1) B.|a|= C.cos􀎮a,b􀎯= D.a在b上的投影向量坐标是 10.(2026·珠海模拟)若单位向量a与b垂直,且λa+b与a+μb共线,则 (　　) A.a+λb与μa+b平行 B.λ2a+b与a+μ2b垂直 C.λa2+μ2的最小值为2 D.|λa+μb|的最小值为 三、填空题 11.已知向量a=(1,m),b=(-3,m-2),若a⊥b,则m=　　　　.  12.(2025·合肥三模)已知向量a=(2,0),b=(-3,λ),若cos<a,b>=-,则λ=　　　　.  13.(2025·天津高考)△ABC中,D为AB边中点,=,=a,=b,则=　　　　(用a,b表示),若||=5,AE⊥CB,则·=　　　　.  |能力进阶|备选题| 14.[多选]已知向量a=(cos α,sin β),b=(cos β,sin α),c=(cos(α-β),-1),则下列说法正确的是 (　　) A.若α+β=,则a∥b 　B.c2=1+(a·b)2 C.a·c=b·c 　D.a2+b2=2 15.在平面四边形ABCD中,AB=2,AD=6,向量在向量上的投影向量为,若=,点E为线段BD上的动点,则·的最小值为　　　　.  答案 课时作业(四十一)　平面向量的数量积 1.选D　因为a⊥(λa+b),|a|=1,所以λa2+a·b=0,所以λ+1××=0,故λ=-. 2.选A　a·b=|a|·|b|cos 30°=3,故2·|b|×=3,解得|b|=,则|a-b|====1. 3.选D　设向量a与向量b的夹角为θ,θ∈[0,π],因为向量a在向量b上的投影向量c与向量b方向相反,所以|a|cos θ=-|c|=-,解得cos θ=-,所以θ=. 4.选C　由a⊥(a-2b),得a·(a-2b)=0,即a2-2a·b=0,而|a|==2,故4-2×2×2cos<a,b>=0,得cos􀎮a,b􀎯=,而􀎮a,b􀎯∈[0,π],故􀎮a,b􀎯=. 第4题·一题多法 数形结合,聚焦图形特征:如图,设=a,==b,则=a-2b,因为a与a-2b垂直,故CA⊥OA,而||=|a|=2,故||=2||=4,故cos∠AOC=,即a,b的夹角为. 5.选B　法一　因为AB⊥AC,=,点E是BD的中点,所以和在上的投影向量分别为=和=,又=-,所以(+)·= (+)·=×=-×36=-12. 法二　以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),D(0,2),C(0,6),B(b,0),所以E,=,=(-b,2),=(0,-4),所以(+)·=·(0,-4)=-12. 6.选A　设=+λ,如图,因为AP⊥BD,所以·=(+λ)·(-)=-λ+(λ-1)·=0,即4-9λ+(λ-1)×3×2×=0,解得λ=,所以=+,||====. 7.选B　设船在静水中的速度为v1,水流速度为v2,船实际航行速度为v, 则|v1|=4,|v2|=2,则v=v1+v2,设􀎮v1,v2􀎯=θ,由船需要准确到达正北方向的B点,得v⊥v2,则v·v2=(v1+v2)·v2=v1·v2+=4×2cos θ+22=0,解得cos θ=-.而0≤θ≤π, 于是θ=, |v|===2, 所以该船完成此段航行的实际速度为2 m/s. 第7题·解题关键 利用船实际航行速度与水流速度垂直. 8.选ACD　根据数量积的分配律可知A正确;B中,左边为c的共线向量,右边为a的共线向量,故B不正确;C中,根据数量积的定义可知a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,故C正确;D中,|a-b|2-(|a|+|b|)2=-2a·b-2|a||b|≤0,故|a-b|2≤(|a|+|b|)2,即|a-b|≤|a|+|b|,故D正确. 9.选BD　对于A,a+2b=(1,2)+(2,-2)=(3,0),错误;对于B,|a|==,正确; 对于C,cos<a,b>===-,错误;对于D,a在b上的投影向量坐标是|a|cos<a,b>·=·b=-·(1,-1)=,正确. 10.选AD　由于单位向量a与b垂直,故|a|=1且|b|=1,a·b=0.λa+b与a+μb共线,设λa+b=k(a+μb),即λa+b=ka+kμb,故λ=k,1=kμ,解得λμ=1.对于A,因为a+λb=λμa+λb=λ(μa+b),故A正确;对于B,(λ2a+b)·(a+μ2b)=λ2|a|2+λ2μ2(a·b)+b·a+μ2|b|2=λ2+μ2,但λμ=1,故λ2+μ2=0不成立,故B错误;对于C,由λa2+μ2=λ+μ2,取λ=-1,μ=-1,满足λμ=1,但λ+μ2=0<2,故C错误;对于D,|λa+μb|2=λ2a2+2λμ(a·b)+μ2b2=λ2+μ2≥2|λμ|=2.当且仅当λ=μ=1或λ=μ=-1时取等号,所以|λa+μb|2的最小值为2,故|λa+μb|的最小值为,故D正确. 11.解析:由a⊥b,得a·b=-3+m(m-2)=0,所以m=-1或m=3. 答案:-1或3 12.解析:由a=(2,0),b=(-3,λ),得|a|=2,|b|=且a·b=-6.因为cos<a,b>=-,所以cos<a,b>===-,解得λ=±4. 答案:±4 13.解析:如图,因为=,所以-=(-),所以=+. 因为D为线段AB的中点,所以=+=a+b. 又因为||=5,AE⊥CB,所以==a2+a·b+b2=25, 　·=·(a-b)=a2+a·b-b2=0,所以a2+3a·b=4b2,所以a2+4a·b=180,又=+=-+=-b+a,所以·=·=a2+a·b-b2=(a2+2a·b-8b2)=(a2+2a·b-2a2-6a·b)=(-a2-4a·b)=-15. 答案:a+b　-15 14.选ABD　若α+β=,则cos αsin α-sin βcos β=(sin 2α-sin 2β)=[sin(π-2β)-sin 2β]=0,所以a∥b,故A正确;因为a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),而c2=cos2(α-β)+(-1)2,所以c2=1+(a·b)2,故B正确;取α=0,β=π,则a=(1,0),b=(-1,0),c=(-1,-1),此时a·c=-1,b·c=1,a·c≠b·c,故C错误;因为a2+b2=cos2α+sin2β+cos2β+sin2α=2,故D正确. 15.解析:如图,过点B作BF⊥AD.因为向量在向量上的投影向量为,所以F为线段AD的中点,则AF=AD=3.在△ABF中,BF=,以F为原点,AD,FB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,又=,则BC∥AD且BC=AD=2,则A(-3,0),B(0,),D(3,0),C(2,),所以=(1,-),=(6,0),=(-3,).设=λ=(-3λ,λ)(0≤λ≤1),=+=(1-3λ, λ-),=+=(6-3λ,λ),则·=(1-3λ)(6-3λ)+(λ-)·λ=6(2λ2-4λ+1),当λ=1时,·有最小值-6. 答案:-6 学科网（北京）股份有限公司 $