课时作业评价(40) 平面向量基本定理及坐标表示(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 聚焦平面向量基本定理及坐标表示，通过基底判定、坐标运算、线性表示等模块，系统提炼定义法、坐标法、特殊化法等解题方法，构建概念-运算-应用的逻辑链条，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基底判定|题1,9,13|共线向量判定|从基底概念（不共线）出发，强化向量共线条件应用| |坐标运算|题2,3,4,12|坐标加减、平行条件|结合坐标表示，落实向量运算与平行的坐标公式| |线性表示|题5,7,10,11|三角形法则、中点公式|以线性运算为核心，关联中点、重心等几何模型| |综合应用|题6,8,14,15,16|特殊化法、三点共线|整合知识解决范围、最值问题，体现模型意识|

课时作业评价(四十)　平面向量基本定理及坐标表示 (标号的为重点讲评题目,选择题请在答题区内作答) 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 一、单选题 1.下列各组向量中,{e1,e2}不能作为平面的一个基底的是 (　　) A.e1=(2,-1),e2=(1,-2) B.e1=(4,-2),e2=(-2,1) C.e1=(3,3),e2=(-1,1) D.e1=(2,3),e2=(-1,3) 2.在平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则的坐标为 (　　) A. B. C. D. 3.已知向量,在正方形网格上的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则|+|= (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知向量a,b满足a+b=(1,m),a-b=(3,1).若a∥b,则实数m等于 (　　) A.- B. C.3 D.-3 5.(2026·咸阳模拟)已知M为△ABC所在平面内的点,且+=2.若=m+n,则= (　　) A. B. C. D. 6.在扇形AOB中,∠AOB=,P是弧AB上一点,且=+x,则x= (　　) A. B. C. D. 7.在△ABC中,点D为BC边的中点,点E为AD的中点.记=m,=n,则= (　　) A.m+n B.-m+n C.-m+n D.m+n 8.(2026·日照期中)已知直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥CD,且CD=3,AB=2,点P是梯形ABCD内(含边界)任意一点,设=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 二、多选题 9.在下列各组向量中,可以作为基底的是 (　　) A.a=(-3,2),b=(6,-4) B.a=(2,3),b=(3,2) C.a=(1,-2),b=(7,14) D.a=(-2,3),b=(4,6) 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 10.如图,=2,=3,线段BD与CE交于点F,记=a,=b,则 (　　) A.=a-b B.=-a+b C.=a+b D.=a+b 11.如图,已知A(2,1),B(-3,4),O为坐标原点,四边形OACB为平行四边形,下列结论正确的是 (　　) A.点C坐标为(-1,5) B.+=60 C.若=,则点E的坐标为 D.△ABC重心的坐标为 三、填空题 12.已知向量a=(2,1),b=(1,k),若(a+2b)∥ka,则实数k=　　　　.  13.已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且{a,b}是一个基底,则实数λ的取值范围是　　　　　　　　　　.  14.已知△AOB,点P在直线AB上,且满足=2t+t(t∈R),则=　　　　.  |能力进阶|备选题| 15.已知点P在△ABC所在的平面内,且2++=0,过点P的直线与直线AB,AC分别交于M,N,设=α,=β(α>0,β>0),则α+4β的最小值为 (　　) A. B. C. D. 16.已知A,B,C是☉O上三点,射线CO与AB的延长线(不包括点B)交于点D,若=α+β,则 (　　) A.0<α+β<1 B.α+β>1 C.α+β<-1 D.-1<α+β<0 答案 课时作业(四十)　平面向量基本定理及坐标表示 1.选B　对于A、C、D,因为两向量不共线,所以{e1,e2}能作为一个基底; 对于B,因为e1=-2e2,所以e1∥e2,所以{e1,e2}不能作为一个基底. 2.选C　因为在平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,所以=-=-(+)=. 3.选A　建立平面直角坐标系可得,=(1,3),=(2,1),所以+=(2,1)+(1,3)=(3,4),所以|+|==5. 4.选B　因为a+b=(1,m),a-b=(3,1),所以a=,b=, 若a∥b,则2×=-,所以m=. 5.选A　因为=+,所以+=2=2(+), 所以=--,所以m=-,n=-,故=. 6.选D　如图,=,=x,四边形ONPM是矩形, 所以∠PON=,ON=OP=OB,所以x=.故选D. 7.选B　法一　如图,由点D为BC边的中点, 得==(-),由点E为AD的中点, 得=+,所以=-+(-)=-+=-m+n.故选B. 法二　将△ABC特殊化,假设△ABC是以角A为直角的等腰直角三角形,如图,以点A为原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设B(1,0),C(0,1),则=(1,0),=(0,1),根据题意,得D,E,所以==-(1,0)+(0,1)=-+=-m+n. 第7题·解题关键 本题可由平面向量的线性运算结合三角形法则求解;也可特殊化三角形为等腰直角三角形,借助向量坐标运算求解. 8.选A　如图,以A为坐标原点,,分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设AD=b,P(x,y),则A(0,0),B(2,0),D(0,b),0≤x≤3,0≤y≤b,可得=(2,0),=(0,b),因为=λ+μ(λ,μ∈R),所以(x,y)=λ(2,0)+μ(0,b)=(2λ,bμ), 所以λ=,μ=,λ+μ=+,当x=y=0时,λ+μ取得最小值0;当x=3,y=b时,λ+μ取得最大值,即λ+μ∈.故选A. 9.选BCD　由a=(-3,2),b=(6,-4),得(-3)×(-4)-2×6=0,所以a∥b,所以A错误;由a=(2,3),b=(3,2),得2×2-3×3≠0,所以a与b不平行,所以B正确; 由a=(1,-2),b=(7,14),得1×14-7×(-2)≠0,所以a与b不平行,所以C正确;由a=(-2,3),b=(4,6),得-2×6-3×4≠0,所以a与b不平行,所以D正确. 10.选AD　由=+=a-b,故A正确,B错误;设=xa+yb, 则=+=a+yb,=+=-a+b,∵∥, ∴=,同理=xa+b,=a-b,∥,=, 联立解得x=,y=.∴=a+b,故C错误,D正确. 11.选AB　设点C的坐标为(a,b),=(2,1),=(-3,4),=(a,b), ∵四边形OACB为平行四边形,∴=+=(2,1)+(-3,4)=(-1,5), ∴点C的坐标为(-1,5),A正确;又=(-5,3),∴+=1+25+25+9=60,B正确;设点E(x,y),∵=,则(x-2,y-1)=(-5,3), ∴解得∴点E,C错误;由重心公式可得,△ABC重心的坐标为,即,D错误. 12.解析:由题意,得a+2b=(4,1+2k),ka=(2k,k).若(a+2b)∥ka,则(1+2k)·2k-4k=0,即2k2-k=0,解得k=0或k=. 答案:0或 第12题·易错提醒 对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔x1y2-x2y1=0.本题容易错误地认为a∥b⇔=,此时只能求出k=,导致丢解,这个式子在x2,y2为0时是不成立的. 13.解析:因为e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,若a与b共线,则a=μb,μ∈R,即a=e1+2e2=μ(λe1+e2),所以解得因为{a,b}是一个基底,所以a与b不共线,所以实数λ的取值范围是∪. 答案:∪ 14.法一　坐标法:如图,建立平面直角坐标系并标出点的坐标, 由=2t+t, 代入坐标即得(n-a,-b)=2t(-n,0)+t(m-a,-b), 所以即 所以==. 法二　向量转化法:=2t(-)+t⇒(1+2t)=2t+t, 由A,P,B三点共线,得1+2t=2t+t,则t=1.从而3=2+=2+2++,即0=2+,所以=. 答案: 第14题·方法解读 法一:建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解. 法二:由(1+2t)=2t+t,利用三点共线求解. 15.选C　设BC的中点为D,连接PD,则2=+,故2+2=0,即=,故P为AD的中点.因为P,M,N三点共线,所以存在实数s,使得=s+(1-s),故=sα+(1-s)β.又==(+),,不共线,所以即+=4,所以α+4β=(α+4β)=≥=,当且仅当α=,β=时等号成立, 故α+4β的最小值为. 16.选D　因为A,B,D三点共线,不妨设=m+n,其中m,n∈R,m+n=1,又C,O,D三点共线,且,反方向,不妨设=t,-1<t<0,t∈R,所以=t=t(m+n)=tm+tn,又=α+β,则α=tm,β=tn,所以α+β=tm+tn=t(m+n)=t∈(-1,0). 学科网（北京）股份有限公司 $