课时作业评价(39) 平面向量的概念及线性运算(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 以概念辨析为基础，线性运算为核心，通过共线定理、几何转化等方法体系，构建从定义到综合应用的知识逻辑链，培养数学抽象与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1题|定义判断法（模、方向、共线向量本质）|向量定义→单位/相反向量→共线向量概念生成| |线性运算|3题（3,5,13）|中点/重心公式、向量分解法|向量加减→数乘运算→几何图形中向量表示| |共线应用|4题（4,6,9,12）|共线定理参数法、三点共线条件|共线向量定理→参数求解→三点共线判定| |综合几何|6题（2,7,8,10,11,15）|几何关系转化、参数最值法|线性运算→面积/位置关系→综合应用拓展|

课时作业评价(三十九)　平面向量的概念及线性运算 (选择题请在答题区内作答) 一、单选题 1.下列说法正确的是 (　　) A.若|a|=|b|,则a=b,a=-b B.单位向量的模是1,所有的单位向量是相等向量 C.相反向量的长度相等 D.共线向量是在同一条直线上的向量 2.已知点P为△OAB所在平面内一点,且=+,则 (　　) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在射线AB上 3.(2025·自贡三模)在△ABC中,D是AB边上的中点,则= (　　) A.2- B.-2 C.2+ D.+2 4.已知a,b是两个不共线的向量,且向量b+ma,a-3b共线,则实数m的值为 (　　) A.3 B.-3 C. D.- 5.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|a-b+c|等于 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图,在△ABC中,=,P是线段BN上的一点,若=m+,则实数m等于 (　　) A.- B.- C. D. 7.已知△ABC所在平面内一点D满足++=0,则△ABC的面积是△ABD面积的 (　　) A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 8.已知△ABO中,OA=OB=1,∠AOB=,若OC与线段AB交于点P,且满足=λ+μ,||=,则λ+μ的最大值为 (　　) A. B.1 C. D.2 二、多选题 9.已知A,B,C是三个不同的点,=a-b,=2a-3b,=3a-5b,则下列结论正确的是 (　　) A.=2 B.= C.=3 D.A,B,C三点共线 10.已知△ABC中,O是BC边上靠近B的三等分点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设=m,=n,其中m>0,n>0,则下列结论正确的是 (　　) A.=+ B.=+ C.2m+n=3 D.m+2n=3 11.在平行四边形ABCD中,设=λ+μ,其中λ,μ∈[0,1],则下列说法正确的是 (　　) A.当λ=μ=时,点Q为AC的中点 B.当λ=1时,点Q在线段DC上 C.当点Q在线段AC上时,λ=μ D.当λ+μ=1时,点Q在对角线BD上 三、填空题 12.已知向量a,b不共线,且c=λa+2b,d=a+(2λ-3)b,若c与d反向共线,则实数λ的值为　　　　.  13.在平行四边形ABCD中,G为△BCD的重心,=x+y,则3x+y=　　　　.  14.已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则=　　　　.  |能力进阶|备选题| 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 15.如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设=x,=y(x,y∈R),则x+4y的最小值为 (　　) A.9 B.4 C.3 D. 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 16.[多选]如图,在四边形ABCD中,=2,E为CD的中点,BE与AC交于点F,BD与AC交于点G,设=a,=b,则下列结论正确的是 (　　) A.= B.= C.=-a+b D.若=λa+μb,则2λ-μ=-1 答案 课时作业(三十九)　平面向量的概念及线性运算 1.选C　由|a|=|b|只知两向量长度相等,方向不确定,故A错误;单位向量的方向不确定,故B错误;根据定义,一对相反向量只有方向相反,模长一定相等,故C正确;因为平面向量是自由向量,所以两条共线向量既可以在一条直线上,也可以在两条平行线上,还可以有一个为零向量,故D错误. 2.选D　由=+,得-=,所以=·, 所以点P在射线AB上. 3.选A　因为D是AB边上的中点,所以+=2, 即=2-. 4.选D　由题意,设b+ma=k(a-3b),即b+ma=ka-3kb,则解得 5.选B　因为四边形ABCD是边长为1的正方形,=a,=b,=c, 所以a-b+c=-+=-+(+)=2. 又||=1,所以|a-b+c|=|2|=2. 6.选D　因为=,所以=3,则=m+=m+. 因为P,B,N三点共线,所以m+=1,解得m=. 7.选A　设AB的中点为M,因为++=0,所以=2(+),所以=4,所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点,所以==5,所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍. 8.选D　∵线段OC与线段AB交于点P,设=x (x≥1),则x=λ+μ, ∴=+.又P,A,B三点共线,∴+=1,即λ+μ=x.∵OA=OB=1, ∴当P为AB中点时,||最小,此时x最大.又∠AOB=,故此时||=, 又||=,∴=2,即x=2,故λ+μ的最大值为2. 9.选ABD　由题意得=-=a-2b,=-=2a-4b,=-=a-2b,所以=2,故A正确;=,故B正确;=2,故C错误;由=2可得∥,A为公共点,故A,B,C三点共线,故D正确.故选ABD. 第9题·规律方法 三点共线问题可用向量共线来解决,但应注意三点共线与向量共线的区别,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线. 10.选AC　对于A、B,=+=+=+(-)=+,A正确,B错误;对于C、D,因为=m,=n,所以=+=+,又因为M,O,N三点共线,所以+=1,故2m+n=3,C正确,D错误.故选AC. 11.选ACD　对于A,当λ=μ=时,=+=(+)=,所以点Q为AC的中点,A正确;对于B,当λ=1时,=+μ⇒μ=-=,点Q在线段BC上,B错误;对于C,当点Q在线段AC上时,存在实数m使得=m=m+m,因此λ=μ=m,C正确;对于D,当λ+μ=1时,由=λ+μ可知B,D,Q三点共线,故点Q在对角线BD上,D正确. 12.解析:由于c与d反向共线,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+2b=k[a+(2λ-3)b],整理得λa+2b=ka+(2λk-3k)b.由于a,b不共线,所以整理得2λ2-3λ-2=0,解得λ=2或λ=-.又因为k<0,所以λ<0,故λ=-. 答案:- 13.解析:如图,设AC与BD相交于点O,又G为△BCD的重心, 所以O为BD的中点,CG=2GO, 则=+=+==×=+,则x=y=,故3x+y=. 答案: 14.解析:如图,在平行四边形ABDC中,a=,b=.则a-b=,a+b=,当|a|=|b|=|a-b|时,△ABC为等边三角形, 则==tan 30°=. 答案: 15.选C　由点G是△ABC的重心,=x,=y,其中≤x≤1,≤y≤1,得=(+)==+,由G,M,N三点共线,得+=1,则x+4y=(x+4y)=+++≥+2=3,当且仅当=,即x=1,y=时,等号成立. 16.选AC　对于A,因为=2,所以AD∥BC,且AD=BC,所以GD=BG=BD,所以=,故A正确;对于B,若=,则F为CG的中点,因为E为CD的中点,所以EF∥DG,与EF,DG相交于点B矛盾,故B错误;对于C,因为E为CD的中点,所以=(+)=(2b+b-a)=-a+b,故C正确;对于D,法一　由题意可设=m,m∈(0,1),所以=-=m-=m(+)-=(m-1)+m=(m-1)a+2mb,又=λa+μb,所以λ=m-1,μ=2m,所以2λ-μ=2(m-1)-2m=-2,故D错误. 法二　因为A,F,C三点共线,所以=x+y,且x+y=1,又x+y=-xa+2yb,=λa+μb,所以λ=-x,μ=2y,2λ-μ=-2,故D错误. 第16题·方法引入 对于A,根据条件,利用几何关系得到GD=BG=BD,即可判断选项A的正误; 对于B,先假设=,从而可得EF∥DG,与题设条件相矛盾,即可判断选项B的正误;对于C,结合条件,利用向量的中线公式,即可求解; 对于D,法一:设=m,根据条件,利用向量的线性运算,再结合条件,即可求解; 法二:利用共线向量定理的推论,再结合条件,即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $