课时作业评价(38) 解三角形的应用举例(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 聚焦解三角形实际应用，以正弦定理、余弦定理为核心，通过距离、高度、方位角测量问题，系统构建“实际情境→三角形模型→定理应用”的解题体系，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|5单选+1填空|正弦定理（已知两角一边）、余弦定理（已知两边夹角）、仰角俯角转化|从三角形边角关系到实际测量，体现数学抽象与几何直观| |综合应用|2多选|方位角分析、多三角形联动（如△ABD与△ADC）|通过多情境整合，强化数学思维的逻辑性与系统性| |实际建模|2解答题|仰角正切值与高度关联、声波传播距离建模|以真实问题为载体，培养用数学语言表达现实世界的应用意识|

课时作业评价(三十八)　解三角形的应用举例 (选择题请在答题区内作答) 一、单选题 1.如图,海面上有相距10 n mile的A,B两个小岛,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离为 (　　) A.10 n mile B. n mile C.5 n mile D.5 n mile 2.如图,河边有一座塔OP,其高为20 m,河对面岸上有A,B两点与塔底O在同一水平面上,在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,在塔底部O处测得A,B两点形成的视角为150°,则A,B两点之间的距离为 (　　) A.10 m B.10 m C.20 m D.10 m 3.为了测量某建筑物CD的高度,选取与该建筑物底部C在同一水平面内的两个测量点A,B.现测得∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=90米,在点B处测得该建筑物顶部D的仰角为30°,则该建筑物CD的高度为 (　　) A.15米 B.15米 C.30米 D.30米 4.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,sin 15°=,且山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ等于 (　　) A. B. C.-1 D.-1 5.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作,其中第一道题目是测海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若ED=GF=4,EG=15,EH=8,GC=13,则海岛的高AB为 (　　) A.16 B.24 C.32 D.40 二、多选题 6.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为12 n mile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在其南偏东60°,则下列说法正确的是 (　　) A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是8 n mile C.灯塔C在D处的西偏南60° D.D在灯塔B的北偏西30° 7.如图,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是 (　　) A.∠CAD=60° B.A,D之间的距离为15海里 C.A,B两处岛屿间的距离为15海里 D.B,D之间的距离为30海里 三、填空题 8.位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救,甲船立即前往救援,同时把消息告知位于甲船南偏西30°,且与甲船相距10 n mile的C处的乙船.乙船也立即朝着渔船前往营救,则sin∠ACB=　　　　.  四、解答题 9.(10分)为了测绘海面上一座活火山顶点E的高度,测绘船围绕活火山展开测量,如图为测绘活动的俯视图,测绘船的路线中,三个观测点A,B,C恰好构成正三角形,点D为火山口在俯视图中的位置.已知从A,B,C三点测量点E的仰角正切值分别为,,. (1)求∠BDA的正弦值;(7分) (2)若正三角形ABC的边长为a,求火山顶点E的高度.(3分) 10.(10分)(2026·南阳一模)如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上一点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方向20 km和54 km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5 km/s. (1)设A到P的距离为x km,求x的值;(6分) (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01 km).(4分) 答案 课时作业(三十八)　解三角形的应用举例 1.选D　由题意得,A=60°,B=75°,AB=10,则C=45°,所以=,所以BC==5,即B,C间的距离为5 n mile. 2.选C　因为在塔顶部测得A,B两点的俯角分别为45°和30°,所以在Rt△POA中,∠PAO=45°,可得OA=OP=20 m,在Rt△POB中,∠PBO=30°,可得OB==20 m.在△AOB中,由题意知∠AOB=150°,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=400+1 200-2×20×20×=2 800,所以AB=20 m. 3.选B　因为∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠ACB=45°,又AB=90,所以由正弦定理有=,即=,解得BC=45,因为在点B处测得该建筑物顶部D的仰角为30°,所以CD==15. 4.选C　因为∠CBD=45°,所以∠ACB=45°-15°=30°,在△ABC中,由正弦定理可得=,解得BC=50(-).在△BCD中,由正弦定理可得=,解得sin∠BDC=-1,即sin(θ+90°)=-1,所以cos θ=-1. 5.选A　设AE=x,在△ABH中,==⇒=　①. 在△ABC中,==⇒==⇒=　②. 由①②可得⇒AB=16. 6.选AC　在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,∠DAB=75°,则∠B=45°,AB=12,由正弦定理得AD===24, 所以A处与D处之间的距离为24 n mile,故A正确; 在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°,又AC=8,解得CD=8,所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile,故B错误; 因为AC=CD=8,所以∠CDA=∠CAD=30°,灯塔C在D处的西偏南60°,故C正确; 灯塔B在D的南偏东60°,D在灯塔B的北偏西60°,故D错误. 7.选BC　由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A错误;∠ADB=15°+45°=60°,在△ACD中,由正弦定理得=,得AD==15(海里),故B正确; 在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=CD=30≠30(海里),故D错误; 在△ABD中,由余弦定理得AB= ==15(海里),故C正确. 8.解析:由题意∠CAB=120°,AC=10,AB=20,由余弦定理得CB2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB=700,解得CB=10. 由正弦定理得=,即=, 解得sin∠ACB=. 答案: 9.解:(1)取线段AC的中点为F,连接BF,DF,设火山顶点E的高度为h,则依题意可知AD=CD=3h,BD=4h,∵AD=CD,AB=CB,∴DF⊥AC,BF⊥AC,且BF平分∠ABC,∴B,D,F三点共线,∴∠ABD=∠ABC=,由正弦定理可知sin∠BAD=·sin∠ABD=·=,∴cos∠BAD==, ∴sin∠BDA=sin(π-∠BAD-∠ABD)=sin(∠BAD+∠ABD)=sin∠BADcos∠ABD+cos∠BADsin∠ABD=×+×=. (2)在△ABD中,由正弦定理可知,=,∴AD=AB·=a·=(2-)a,即3h=(2-)a,∴h=a. 10.解:(1)依题意,得PA-PB=1.5×8=12(km),PC-PB=1.5×20=30(km), 所以PB=(x-12)(km),PC=(x+18)(km).在△PAB中,AB=20 km, 由余弦定理,得cos∠PAB===. 同理在△PAC中,cos∠PAC=. 由于cos∠PAB=cos∠PAC,所以=,解得x=(km). (2)作PD⊥a,垂足为D,在Rt△PDA中,PD=PA·cos∠APD=PA·cos∠PAB=x·≈17.71(km).所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km. 学科网（北京）股份有限公司 $