课时作业评价(37) 解三角形中的最值、范围问题(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 聚焦解三角形中最值范围问题，以正弦定理、余弦定理为工具，融合三角函数变换与不等式方法，构建“定理转化—函数建模—范围求解”的系统解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角的求解|2题|正弦定理边角互化、三角恒等变换|由边的关系通过定理转化为角的方程，利用三角函数性质求角| |周长/面积范围|2题|正弦定理化边为角、余弦定理+基本不等式|以定理为桥梁建立边角函数关系，结合锐角三角形条件或不等式求范围|

课时作业评价(三十七)　解三角形中的最值、范围问题 1.(10分)已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边,且a=4csin Asin B-2acos(B-C). (1)求角A的大小;(4分) (2)求的取值范围.(6分) 2.(15分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=2acos A. (1)求A;(6分) (2)若a=2,求△ABC周长的最大值.(9分) 3.(15分)已知函数f(x)=2sin xcos-cos xcosx++sin2x-. (1)若f(α)=,且<α<,求cos 2α;(6分) (2)若△ABC为锐角三角形,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(B)=,c=2,求△ABC面积的取值范围.(9分) 4.(15分)在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,=. (1)求cos C;(4分) (2)已知2=. ①若∠ADC=,求tan∠ACD;(5分) ②求的取值范围.(6分) 答案 课时作业(三十七)　解三角形中的最值、范围问题 1.解:(1)由正弦定理得sin A=4sin Csin Asin B-2sin Acos(B-C),因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以1=4sin Bsin C-2cos(B-C),所以1=2sin Bsin C-2cos Bcos C,所以cos(B+C)=-,即cos A=,所以A=. (2)根据正弦定理得====+,由(1)得A=,B+C=,因为B,C为锐角,所以所以B∈,故tan B∈,所以∈,即=+∈.综上可知,的取值范围是. 2.解:(1)由bcos C+ccos B=2acos A及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A, 所以sin(B+C)=2sin Acos A,因为B+C=π-A,化简得sin A=2sin Acos A, 因为0<A<π,所以sin A≠0,所以cos A=,所以A=. (2)法一　利用余弦定理,结合基本不等式可求三角形周长的取值范围. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc. 因为bc≤,所以(b+c)2-3bc≥(b+c)2-=,即4≥, 所以b+c≤4,当且仅当b=c=2时等号成立.所以△ABC的周长C△ABC=a+b+c≤6. 即△ABC周长的最大值为6. 法二　利用正弦定理,表示出b,c,再利用三角函数的恒等变换,可得三角形的周长为2+4sin,再根据角B的取值范围,可求周长的最大值. 由正弦定理=2R,即=,△ABC的周长C△ABC=a+b+c=2+sin B+sin C. 因为A+B+C=π,所以C=-B,所以C△ABC=2+sin B+sin=2+(sin B+sincos B-cossin B)=2+4sin,因为0<B<,所以当B=时C△ABC取得最大值为6. 3.解:(1)f(x)=2sin x(cos x+sin x)+sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2sin, 因为f(α)=,所以2sin=,即sin=. 因为<α<,所以0<2α-<,则cos==,所以cos 2α=cos=cos×-sin×=×-×=. (2)由f(B)=,可得f(B)=2sin=,即sin=.又0<B<, 所以-<2B-<,所以B=,则可得<C<,所以tan C>. 由正弦定理=及c=2,得a====1+∈(1,4),所以S△ABC=acsin B=a∈,即△ABC面积的取值范围为. 4.解:(1)由正弦定理知=,2sin Acos C-cos Csin B=sin Ccos B.∴2sin Acos C=sin Ccos B+cos Csin B=sin(B+C)=sin A.∵A∈(0,π),sin A≠0,∴cos C=. (2)①由(1)及C∈(0,π),∴C=.设∠ACD=θ.在△ACD中,由正弦定理知=　①. 在△BCD中,由正弦定理知=　②. ∵2=,∴2AD=DB,则有=⇒2sin2θ=sin·sin⇒2sin2θ==cos 2θ-sin2θ⇒tan2θ=, 又∵θ∈,∴tan θ=,即tan∠ACD=. ②由=+,即3=+2,平方得9=+4+4·, 即9CD2=a2+4b2+2ab.又∵AB2=c2=a2+b2-ab,∴==. 令t=,则t>0,∴==1+3·. 令x=t+1,则x>1,∴===. ∵x+-3≥2-3>0,当且仅当x=时取等号,∴∈, ∴=1+3·∈(1,4+2].∴的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $