专题4.3 等比数列（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题4.3 等比数列 题型一 等比数列的概念 题型二 等比数列的通项公式 题型三 等比中项 题型四 等比数列的前n项和 题型五 综合应用 题型一：等比数列的概念 1．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）若成等比数列，且公比为，则的公比为（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）中国古代数学著作《算法统宗》中有一道数学题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为（   ） A．里 B．里 C．里 D．里 3．我校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在文夫楼的一楼或二楼的一个餐厅用餐，经统计，当天在一楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到二楼餐厅用午餐；而当天在二楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到一楼餐厅用楼午餐，则一学期后，在一楼餐厅用午餐的学生数大约为（   ） A．700 B．800 C．900 D．1000 4．（24-25高二上·吉林·期末）已知等比数列的公比为，设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知等比数列的公比，则 等于（ ） A． B． C．3 D． 6．（多选题）下列说法中，错误的是（   ） A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是 C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若数列是等比数列，则也是等比数列 7．一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为30盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了______盏灯． 8．已知数列是等比数列，且，，则_____________. 9．是等比数列的前和，，，则公比__________. 10．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）记为等比数列的前项和．若，则的公比为_________． 题型二：等比数列的通项公式 1．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知等比数列的公比，若，，则公比（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北衡水·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知等比数列中，，，则公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26高二下·河北·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，则数列的公比为（   ） A．2 B． C． D． 5．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 6．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知递增等比数列满足，，则__________． 7．（25-26高二下·安徽宿州·期末）若首项为2的数列满足，则________． 8．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 9．在等比数列中． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 10．（24-25高二下·江西南昌·期中）已知数列为等比数列． (1)若，且求的值； (2)若求数列的通项公式． 11．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 12．求下列数列的通项公式及前项和. (1)若等差数列满足，； (2)若等比数列满足，. 题型三：等比中项 1．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（     ） A． B． C．4 D． 3．已知等差数列的公差不为0，，且成等比数列，则（   ） A． B． C．0 D．3 4．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列为正项等比数列，，则值为（    ） A．10 B．11 C．15 D．16 5．（2026·广西河池·三模）（多选题）已知，为数列的前项和，则下列结论正确的有（     ） A．是等比数列 B． C．，，是等比数列 D．中存在连续三项成等差数列 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）（多选题）已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若是等比数列，，则 B．记等差数列的前n项和分别为，若，则 C．若是等差数列，，则 D．若，则 7．（25-26高二下·吉林长春·期中）在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 8．（24-25高二下·重庆·阶段检测）若数列为等比数列，且，是方程的两个根，则_____. 题型四：等比数列的前n项和 1．（2026·四川资阳·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，，，则（   ） A．152 B．162 C．165 D．172 2．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）设数列是公差为的等差数列，为公比为的等比数列，若，，，记数列的前项和为，则_____． 3．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列． (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：． 5．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，. (1)求数列、的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 6．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 7．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）记为等比数列的前项和，已知，，且． (1)求的通项公式； (2)若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由． 8．（25-26高二下·湖北武汉·期末）记等比数列的前项和为，已知，， (1)求的通项公式； (2)求，并判断是否成等差数列，说明理由． 题型五：综合应用 1．若是数列的前项和，已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，则_________． 设，其中[x]表示不超过x的最大整数，为数列的前n项和，若，则n的取值范围为______ 3．（多选题）数的进制是人们利用符号来计数的方法．我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数有个数码：，，…．在计算机中用的是二进制，只有两个数码，．如二进制中，，相当于十进制中的，简记为．则（    ） A． B．满足，，…中有且只有个的所有二进制数有个 C．满足，，…中有且只有个的所有二进制数在十进制下的和为 D．由个和个组成的所有二进制数在十进制下的和为 4．（多选题）如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知数列的前项和为，当时满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 6．（25-26高二下·吉林长春·期末）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 7．（25-26高二下·江西抚州·期末）已知数列中，，设，如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点得到折线，过向x轴作垂线，垂足分别为． (1)求数列的通项公式及梯形的面积； (2)求由该折线与直线y＝0，所围成的区域的面积； (3)记，若恒成立，求实数的最大值． 8．（25-26高二下·广东佛山·期末）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，设为数列的前n项和． （i）证明：； （ii）证明：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 等比数列 题型一 等比数列的概念 题型二 等比数列的通项公式 题型三 等比中项 题型四 等比数列的前n项和 题型五 综合应用 题型一：等比数列的概念 1．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）若成等比数列，且公比为，则的公比为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等比数列的定义、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的定义求解即可. 【详解】因为成等比数列，且公比为，所以， 所以，所以的公比为. 2．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）中国古代数学著作《算法统宗》中有一道数学题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为（   ） A．里 B．里 C．里 D．里 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等比数列的定义、等比数列前n项和的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】由题意可知此人6天中每天走的路程构成公比为的等比数列，进而根据前6项和为列方程求出首项，再根据等比数列的通项公式及性质求出即可. 【详解】由题意可得，此人6天中每天走的路程构成公比为的等比数列， 设这个数列为，前n项和为，则，解得， 所以，，， 即此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为里， 故选：B. 3．我校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在文夫楼的一楼或二楼的一个餐厅用餐，经统计，当天在一楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到二楼餐厅用午餐；而当天在二楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到一楼餐厅用楼午餐，则一学期后，在一楼餐厅用午餐的学生数大约为（   ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、等比数列的定义、计算条件概率 【分析】记第天在一楼餐厅用午餐的学生人数为，根据题意列出递推公式，求出通项，观察变化趋势可得. 【详解】记第天在一楼餐厅用午餐的学生人数为，则在二楼餐厅用午餐的学生人数为， 由题意可得，整理得， 当时，可得； 当时，数列是以为公比的等比数列， 所以， 一学期后足够大，此时趋近于0，此时趋近于900. 故选：C 4．（24-25高二上·吉林·期末）已知等比数列的公比为，设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、等比数列的定义、既不充分也不必要条件 【分析】结合等比数列的单调性及充分条件和必要条件定义判断充分性及必要性可得结论． 【详解】当，时，，不是递增数列，充分性不成立； 当，时，是递增数列，但不成立，必要性不成立． 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5．已知等比数列的公比，则 等于（ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等比数列的定义、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的定义求解即可. 【详解】因为等比数列的公比， 所以． 故选：D 6．（多选题）下列说法中，错误的是（   ） A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是 C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若数列是等比数列，则也是等比数列 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】等比数列的定义 【分析】等比数列各项不能为0，公比也不能为0，所以A、B错误；非零常数列其公比为1，故C正确；等比数列各项乘以相同非零数后仍为等比数列，故D正确. 【详解】对于A：等比数列的定义要求每一项与前一项的比值为常数（公比），若某一项为0，则后一项与该项的比值无意义，因此等比数列中任何一项都不能为0，故A错误； 对于B：等比数列的公比不能为0，否则数列会出现0项，导致后续项无意义，因此公比的取值范围是，故B错误。 对于C：若一个常数列是等比数列，则根据等比数列的定义可知该数列为非零常数列，易知其公比为1，故C正确； 对于D：若数列是等比数列，设其公比为，则，所以也是公比为的等比数列，故D正确。 故选：AB 7．一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为30盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了______盏灯． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等比数列的定义、求等比数列前n项和 【分析】根据等比数列的定义以及求和公式，可得答案. 【详解】由题意，若将每层开灯的数量设为数列， 则易知数列是以为首项，以为公比的等比数列，设其前项和为， 所以一共开灯的数量. 故答案为：. 8．已知数列是等比数列，且，，则_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等比数列的定义 【分析】根据等比数列的定义得到，然后利用已知项的值即可得到结果. 【详解】由是等比数列，知. 所以. 故答案为：. 9．是等比数列的前和，，，则公比__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】等比数列的定义、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据已知求得，根据等比数列的公比的含义即可得答案. 【详解】由是等比数列的前和，，， 可得， 故， 故答案为： 10．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）记为等比数列的前项和．若，则的公比为_________． 【答案】/0.5 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【详解】若，则由得，解得，不合题意； 若，则由得， 即，即，即， 解得． 题型二：等比数列的通项公式 1．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知等比数列的公比，若，，则公比（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【详解】，可得，解得， 又因为，所以. 2．（25-26高二下·河北衡水·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】利用等比数列通项公式将已知条件转化为关于公比的方程，结合正项条件确定的取值，再根据的值计算. 【详解】设等比数列的公比为，，通项公式为（）, 将、代入，得： ， 由于等比数列首项，等式两边同除以，整理得： 解得或， 已知，且，故，舍去，得， 由，代入得，解得， 因此. 3．（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知等比数列中，，，则公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【详解】依题意，,解得. 4．（25-26高二下·河北·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，则数列的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【详解】设等比数列的公比为.根据题意可得， 解得或.因为各项均为正数，所以. 5．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【答案】 【难度】0.8 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用的关系计算通项公式即可. 【详解】因为数列满足＋…＋＝①， 所以＋…＋＝②，且， ①减②可得＝，即， 显然时满足， 综上. 6．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知递增等比数列满足，，则__________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】令，可得，通过两式相乘和相除求得，，进一步求出公比为q，即可得解. 【详解】设递增等比数列的公比为q， 已知，， 令， 则， 两式相除，得， 因为，递增等比数列各项为正，所以， 两式相乘，得，所以， 即，即， 解得， 因为数列递增，则， 所以. 7．（25-26高二下·安徽宿州·期末）若首项为2的数列满足，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】将递推公式变形构造等比数列，求出数列的通项后代入计算即可. 【详解】因为，所以， 设，即 ， 所以，解得，即. 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 所以. 8．（25-26高二下·广东中山·阶段检测）在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.92 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【详解】（1）在等比数列中，，，，而， 所以． （2）因为，又，，，则， 解得． （3）因为，，则 9．在等比数列中． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【详解】（1）由等比数列的通项公式得． （2）设等比数列的公比为，则，解得， 所以． 10．（24-25高二下·江西南昌·期中）已知数列为等比数列． (1)若，且求的值； (2)若求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】（1）根据题意结合等比数列性质可得，即可得结果； （2）根据题意结合等比数列性质可得，设数列的前3项依次为，结合题意列式求解即可. 【详解】（1）因为，则，即， 又因为，所以. （2）因为，则，可得， 设数列的前3项依次为，则有， 整理得，解得或， 此时或，所以或 11．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 【答案】(1)，； (2)证明如下： 当时，，则当时，， 两式相减得，整理得，而， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式. 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定的递推公式，取求解. （2）利用，结合等比数列定义推理并求出通项. 【详解】（1）数列的前n项和为，由得，解得， ，解得， 所以，. （2）略 12．求下列数列的通项公式及前项和. (1)若等差数列满足，； (2)若等比数列满足，. 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.94 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用等差数列的定义求出公差和首项，再利用公式求出通项公式与前项和； （2）利用等比数列的定义求出公比，再利用公式求出通项公式与前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，. （2）设等比数列的公比为， 因为，所以，所以， 则. 题型三：等比中项 1．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、利用等差数列的性质计算、等比中项的应用 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 2．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（     ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【详解】因为是方程的两个不同实根， 所以，，所以， 因为是等比数列，所以，所以， 又因为，所以. 3．已知等差数列的公差不为0，，且成等比数列，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用 【分析】利用等比中项和等差数列通项公式即可求解. 【详解】由成等比数列，所以， 所以，解得， 又，解得. 4．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列为正项等比数列，，则值为（    ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【详解】数列为正项等比数列，由等比数列性质得 ， 已知，故，又，得. . 5．（2026·广西河池·三模）（多选题）已知，为数列的前项和，则下列结论正确的有（     ） A．是等比数列 B． C．，，是等比数列 D．中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【难度】0.72 【知识点】等差中项的应用、由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、等比数列片段和性质及应用 【分析】根据题意，结合数列通项公式和相关定义、公式逐项分析即可. 【详解】对于A，由得，，则为常数，故是首项为、公比为的等比数列，故A正确； 对于B，数列是首项、公比的等比数列，前项和，故B错误； 对于C，由于，，， 所以，， 因为，公比为常数，因此，，是等比数列，故C正确； 对于D，假设存在连续三项成等差数列，则，代入通项得，化简得，与矛盾， 因此不存在这样的连续三项，故D错误. 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）（多选题）已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若是等比数列，，则 B．记等差数列的前n项和分别为，若，则 C．若是等差数列，，则 D．若，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、两个等差数列的前n项和之比问题、等比数列片段和性质及应用、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据等比数列片段和性质判断A，根据等差数列求和公式判断B，求出公差，再由求和公式判断C，根据求出的通项，即可判断D. 【详解】对于A，因为是等比数列且，所以成等比数列， 所以，即，解得，故A错误； 对于B，因为等差数列的前项和分别为，且， 所以，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 又，所以是首项为，公差为的等差数列，所以， 所以，所以，故D正确． 故选：BCD． 7．（25-26高二下·吉林长春·期中）在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据韦达定理及等比数列的性质求解即可. 【详解】由是方程的两个根，得，. 由等比数列的性质可得，， 又为正项数列，所以. 故. 8．（24-25高二下·重庆·阶段检测）若数列为等比数列，且，是方程的两个根，则_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等比中项的应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据韦达定理判断的正负，从而求出的正负，并求出，根据等比中项即可求解. 【详解】由题意得，，，故，， 因为为等比数列，所以，解得， 又因为，，所以与同号，即， 故. 故答案为： . 题型四：等比数列的前n项和 1．（2026·四川资阳·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，，，则（   ） A．152 B．162 C．165 D．172 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，所以. 2．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）设数列是公差为的等差数列，为公比为的等比数列，若，，，记数列的前项和为，则_____． 【答案】59158 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据给定条件，列出方程组求出，再利用分组求和法及公式法求解. 【详解】由已知及，得，而， 解得，所以. 3．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.76 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）依题意列出方程组，进而求解即可； （2）先分组求和，再结合等差数列及等比数列前项和的公式求解即可． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，（）， 因为，故， 又，则，解得或（舍去）， 则，所以． （2）结合（1）得， 所以的前项和为 ． 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列． (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)由（1）得， 则， 于是， 两式相减得，， 因此，因为，所以． 【难度】0.64 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）借助等差中项建立方程求出等比数列的公比，再结合前三项和得到首项，最后根据等比数列通项公式即可得到； （2）先化简，根据的特点利用错位相减法进行求和，最后通过放缩即可证明. 【详解】（1）设是等比数列的公比， 由题可得，即，则，解得， 由，得，解得， 所以数列的通项． （2）略 5．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，. (1)求数列、的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.72 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）应用等差数列及等比数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 依题意得 又，解得 所以，． （2）设， 所以，① ，② 得： ． 即数列的前n项和． 6．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，所以， 故是以为首项，3为公比的等比数列，得证； (2) 【难度】0.68 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据已知递推关系得，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以， 所以，则， 作差，得， 所以，故 7．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）记为等比数列的前项和，已知，，且． (1)求的通项公式； (2)若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)，，成等差数列，理由如下： 由（1）知，且的各项呈现正负相间的变化规律， 则，即，所以. 因为， 即，所以，，成等差数列． 【难度】0.68 【知识点】判断等差数列、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）由求出首项，再通过对用首项公比展开进一步化简求出公比，最后得到通项公式 （2）由题目要求得到公比，再有（1）中的通项公式，求出的通项公式. 再验证的值. 【详解】（1）设数列的首项为，公比为， 因为，则，可得， 且，则，可知，， 可得，解得， 所以或. （2）略 8．（25-26高二下·湖北武汉·期末）记等比数列的前项和为，已知，， (1)求的通项公式； (2)求，并判断是否成等差数列，说明理由． 【答案】(1)． (2)， ，， ， 即，所以，，是等差数列． 【难度】0.78 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）先排除公比为1的情况，再利用等比数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式. （2）由等比数列的前项和求出，结合等差中项公式即可验证. 【详解】（1）设等比数列的公比为，当时，，所以， 则，解得． 故的通项公式． （2）略 题型五：综合应用 1．若是数列的前项和，已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先根据，将进行转化，再构造新的数列，求出的通项公式，最后利用分组求和，求出. 【详解】解：由题意得，当时,，， 因为，所以， 设，则，所以， 则，设，则， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 因此，所以，即， 当时，，因此，， 所以， 即， 化简整理得. 2．已知数列满足，则_________． 设，其中[x]表示不超过x的最大整数，为数列的前n项和，若，则n的取值范围为______ 【答案】 【难度】0.62 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】根据递推关系可得是以3为首项，4为公比的等比数列，利用累加法求出通项，据此求出，再化简可得，利用裂项相消法求解. 【详解】 ，而, 是以3为首项，4为公比的等比数列， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，，． 3．（多选题）数的进制是人们利用符号来计数的方法．我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数有个数码：，，…．在计算机中用的是二进制，只有两个数码，．如二进制中，，相当于十进制中的，简记为．则（    ） A． B．满足，，…中有且只有个的所有二进制数有个 C．满足，，…中有且只有个的所有二进制数在十进制下的和为 D．由个和个组成的所有二进制数在十进制下的和为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、不同进制数的互化 【分析】对于A直接套用定义即可；对于B，需要按照两个相邻与两个不相邻讨论；对于C，分在，，，这四个位置讨论，最后将所有情况加起来即可；对于D，采用正难则反的思路，所有数的十进制和全的位二进制数的总和减去所在位置的权重和即可得到结果. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当两个相邻时，有种； 当两个不相邻时，有种，共有种，故B错误； 对于C，由于不能为首位，分在，，，这四个位置讨论， 即可得总和为，故C正确， 对于D，若不出现在最高位，可以占据第位（，，，...，）， 共个这样的二进制数， 所有数的十进制和全的位二进制数的总和减去所在位置的权重和. 全1的位二进制数的十进制值为，总和为； 减去的权重和为； 因此总和为，故D正确. 4．（多选题）如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】根据题意可得到，累加即可求出，可判断AC，根据题意可得到，可判断D，累加求出可判断B. 【详解】根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆， 故，即， 故，，，， 当时，累加可得 ， 当时，符合上式， 所以，C错误. 所以.故A正确. 又，故，即.故D正确. 又，，， 当时，累加可得， 当时，符合上式， 所以， 故.故B正确. 5．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知数列的前项和为，当时满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 【答案】(1) (2) 所以， 当时，，不等式成立， 当时， 综上． 【难度】0.46 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）对时的递推式变形，构造新的等比数列； （2）分别对等比部分和常数部分求和，合并得到的表达式，将代入化简通项，结合裂项相消法求和. 【详解】（1）当时，由得 因为，所以，故， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，即． （2）略 6．（25-26高二下·吉林长春·期末）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：当时，，又，所以； 当时，，故， 两式相减得，即， 则，首项， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 通项公式为； (2)； (3) 【难度】0.4 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）先根据与关系求出的递推公式，进一步构造数列，利用定义证明等比数列；再根据等比数列的通项公式求的通项公式； （2）变形得到，利用数列单调性得到数列的最大值，进而得到实数的取值范围； （3）根据得到，将利用二项式定理展开，再分类讨论n为奇数和偶数，得到的通项公式，再分组求和即可. 【详解】（1）证明略；，所以； （2）由（1）知，，所以， 对任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 设，于是， 当时，，即， 当时，，即， 故，所以实数的取值范围为； （3）由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 7．（25-26高二下·江西抚州·期末）已知数列中，，设，如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点得到折线，过向x轴作垂线，垂足分别为． (1)求数列的通项公式及梯形的面积； (2)求由该折线与直线y＝0，所围成的区域的面积； (3)记，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)，3 (2) (3)． 【难度】0.48 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据递推式构造等差数列，利用等差数列的通项公式得到的通项公式；代入计算的坐标，继而计算面积； （2）根据题意可分析知，为n个梯形的面积和，求出梯形面积通项，利用错位相减法求和； （3）根据（2）写出的通项公式，根据数列的增减性求数列的最小值，从而计算的最大值． 【详解】（1）数列中，由，得， 则数列是首项为，公差为1的等差数列， ，因此； 则， 所以， 所以梯形的面积为； （2），记梯形的面积为， 则， 因此， 于是， 两式相减得， 则， 所以由该折线与直线y＝0，所围成的区域的面积 ； （3）由（2）知，则， ， 不等式恒成立， 而数列都是递增数列，则数列是递增数列， 当n＝1时，，因此，解得，所以的最大值为． 8．（25-26高二下·广东佛山·期末）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，设为数列的前n项和． （i）证明：； （ii）证明：． 【答案】(1)； (2)（i）由 (1) 可知，，则, 则, 因为在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列， 所以， 即，则， 先证明， 因为，所以， 即，所以 再证明： 因为，所以， 因此，得证； （ii）由（i）可知，则，， 当时，，， 因为，所以 当时， 由（i）可知， 所以， 设 ①，则 ② ①②得 =， 所以， 所以， 即, 因此，得证. 【难度】0.42 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列出关于首项和公差的方程组，进而求解通项公式； （2）（i）先根据等差数列的通项公式求出的表达式，再通过放缩法证明不等式； （ii）先求出的表达式，再利用错位相减法和放缩关系证明不等式. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由，得 ， 解得，， 所以数列的通项公式， 即； （2）略. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $