课时作业评价(19) 函数的模型及其应用(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 聚焦函数模型应用，通过实际情境问题链整合模型识别、指数对数运算、优化求解等方法，构建“问题情境-模型选择-数学求解-实际验证”的逻辑体系，培养用数学眼光观察、思维分析、语言表达现实世界的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模型识别|1题|数据趋势分析+代入验证|从函数单调性及增长速率识别二次函数模型| |指数对数应用|5题|指数不等式求解、对数运算公式、半衰期公式|指数函数（生物增长）→对数函数（声强/信号衰减）→综合应用（碳14 dating）| |分段函数应用|1题|对勾函数单调性分析|分段函数在代谢问题中的增减性判断| |优化问题|1题|基本不等式求最值|利润函数构建→分式函数变形→最值求解|

课时作业评价(十九)　函数的模型及其应用 (选择题请在答题区内作答) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 一、单选题 1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 (　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y=2x-2 B.y=(x2-1) C.y=log2x D.y=lox 2.(2026·广州模拟)某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌,其数量(单位:个)分别记为y1和y2.设培育时间为t(单位:天),据统计,两者数量满足以下关系:y1=3×4t,y2=8×3t.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌,则大约需要 (　　) A.3天 B.4天 C.5天 D.6天 3.(2026·莆田模拟)点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离r(单位:m)的关系式为ΔL=10·lg(πr2)+k,其中k为常数.当传播距离为r1时,衰减量为ΔL1;当传播距离为r2时,衰减量为ΔL2.若r2=2r1,则ΔL2-ΔL1约为(参考数据:lg 2≈0.3) (　　) A.6 dB B.4 dB C.3 dB D.2 dB 4.放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量,发出射线的物质.在一个给定的单位时间内,放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳14元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳14的半衰期为5 730年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的80%,则该遗址大约距今(lg 2≈0.3) (　　) A.1 146年 B.1 375年 C.1 910年 D.2 292年 5.设某地海拔(单位:m)为h1处的大气压(单位:kPa)为p1,海拔为h2处的大气压为p2,且满足ln=,其中M,g,R都是大于零的常数,T表示海拔h1~h2的平均气温(单位:K),记该地海拔为0 m处的大气压为p0,下表列出了不同季节ln p0的数据: 季节 春季 夏季 秋季 冬季 ln p0 (4.55, 4.65] (4.45, 4.55] (4.65, 4.7] (4.7, 4.75] 若某天该地海拔0~1 000 m的平均气温为300 K,海拔1 000~2 000 m的平均气温为285 K,该地海拔1 000 m处的大气压为90 kPa,海拔2 000 m处的大气压为80 kPa,则这一天的季节为(ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6) (　　) A.春季 B.夏季 C.秋季 D.冬季 6.(2026·北京阶段练习)在交通工程学中有如下定义:交通流量Q(辆/小时)是单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数;车流速度V(千米/小时)是单位时间内车流平均行驶过的距离;车流密度K(辆/千米)是单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数,其中Q,V和K的测量通常视为连续不断的数值.设某路段的V和K满足V=v0(其中v0,k0是正数),则随着车流密度K增大,以下说法正确的是 (　　) A.车流速度V增大 B.交通流量Q增大 C.交通流量Q先减小后增大 D.交通流量Q先增大后减小 7.在无线通信(如路由器信号)中,信号强度会随着传播距离增加而衰减,L是信号衰减值(单位:dB),d(单位:米)为信号传播距离.某路由器信号在自由空间(无遮挡、无干扰)中,信号衰减公式可简化为L=klg d+C(k,C为常数),若距离增加一倍,信号衰减值约减少为6 dB,信号传播距离从d1增加到d2时,测得信号衰减值从-30变到-45,则= (　　) A.5 B.6 C.4 D.5 二、多选题 8.(2025·重庆二模)从2024年3月1日起,新的酒驾检验标准开始实施,只要每100 mL血液中乙醇含量大于或等于20 mg,就是酒驾,属于违法行为;而大于或等于80 mg则认定为醉驾,属于犯罪行为.张师傅某次饮酒后,若其血液中的乙醇含量y(单位:mg/mL)与酒后代谢时间x(单位:h)的数量关系满足y=,则张师傅此次饮酒后 (　　) A.当代谢时间x=0.5时,血液中的乙醇含量最低 B.血液中的乙醇含量开始随代谢时间x单调递增,然后随代谢时间x单调递减 C.若执意驾车,完全不可能被认定为酒驾违法行为,更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D.若执意驾车,饮酒后0.5 h接受乙醇含量测试,将被认定为醉驾 9.(2026·定西模拟)声音由物体的振动产生,以波的形式在一定的介质(如固体、液体、气体)中进行传播.在物理学中,声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I(W/cm2).但在实际生活中,常用声音的声强级D(dB)来度量,声强级D(dB)与声强I(W/cm2)的关系近似满足D=alg I+b,经过多次测定,得到如下数据: 声强I(W/cm2) 10-11 10-10 m 声强级D(dB) 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在(90,100),其声强为I1;鞭炮的噪声的声强级一般在(100,110),其声强为I2;飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在(135,145),其声强为I3,则 (　　) A.b-a=110 B.m=10-8 C.<I2< D.I1I3> 三、填空题 10.现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,65 ℃,给出两个茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟,t∈N)的函数模型:①T=80·+20;②T=60·+20.根据所给的数据,为更好地反映该杯茶的温度,应选择函数模型　　　　,该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待　　　　分钟.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)  11.近年来,某地基础教育质量大幅提升,2025年高考成绩再上新台阶,一方面,得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视;另一方面,与莘莘学子的“聪慧值”密切相关.定义:“聪慧值”=“天赋值”ד年提升值”(“天赋值”具有先天性),某中学高一(1)班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分,“年提升值”相同,自开学那天起,小王努力学习,刻苦钻研,“年提升值”都在前一年的基础上进步5%,而小李疏于学习,“年提升值”都在前一年的基础上退步2%.问:大约经过　　　　　年,小王的“聪慧值”是小李的2倍.(精确到整数,参考数据:lg 3≈0.48,lg 105≈2.02,lg 98≈1.99)  四、解答题 12.(10分)某果树培育公司响应国家的号召,决定采用一种新型绿色肥料进行果树栽培,经多次试验发现:一棵果树果实的产量m(单位:百千克)与新型绿色肥料的费用x(单位:百元)满足关系m=,且投入的新型绿色肥料的费用不超过5百元,此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)3x百元.已知这种果树果实的市场售价为25元/千克(即25百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记栽培一棵该果树一年获得的利润为W(x)(单位:百元). (1)求利润函数W(x)的函数关系式,并写出定义域;(3分) (2)当投入的新型绿色肥料的费用为多少时,栽培一棵该果树一年获得的利润最大?最大利润是多少?(7分) 答案. 课时作业(十九)　函数的模型及其应用 1.选B　由题表可知函数在(0,+∞)上单调递增,且y的变化随x的增大而增大得越来越快,分析选项可知B符合,故选B. 2.选B　由题意y1>y2,3×4t>8×3t,整理得>,当t=3时,=<;当t=4时,=>,函数y=在(0,+∞)上单调递增,又t∈N*,所以t≥4. 3.选A　由ΔL2-ΔL1=10·lg(π)+k-[10·lg(π)+k]=10·[lg(π)-lg (π)]=10lg,因为r2=2r1,所以ΔL2-ΔL1=10lg=10lg 4=20lg 2≈6. 4.选C　不妨设动物标本中碳14含量初始值是1个单位,则经过t年动物标本中碳14含量为f(t)=,令f(t)==,则t=5 730×=5 730×≈5 730×=1 910年. 5.选A　由题意,将相应的数据分别代入ln=,可得ln=,ln=,所以ln=ln,整理得ln p0=(ln 90-ln 80)+ln 90.根据参考数据可知ln 90=ln(2×32×5)=ln 2+2ln 3+ln 5≈4.5,ln 80=ln(24×5)=4ln 2+ln 5≈4.4,所以ln p0≈0.95×(4.5-4.4)+4.5=4.595,由于4.595∈(4.55,4.65],故此时当地的季节为春季. 6.选D　由题可得V=v0,Q=VK=v0K(其中v0,k0是正数),随着车流密度K增大,1-减小,则车流速度V减小,故A错误;因为Q=v0K=-K2+Kv0=-(K2-k0K)=-+,所以当K≤时交通流量Q随车流密度K的增大而增大,当K>时交通流量Q随车流密度K的增大而减小,所以随着车流密度K增大,交通流量Q先增大后减小. 7.选C　由题可得,当距离从d到2d时,信号衰减值约减少为6 dB,可得klg d+C-(klg 2d+C)=6,解得k=-.由于信号传播距离从d1增加到d2时,测得信号衰减值从-30变到-45,所以则-15=klg,解得==1===4. 8.选BD　由题意可知x>0,则y==,由对勾函数可知y=x+在(0,0.5)内单调递减,在(0.5,+∞)内单调递增,则y=在(0,0.5)内单调递增,在(0.5,+∞)内单调递减,故B正确;当x=0.5时,y=取到最大值1,即当代谢时间x=0.5时,血液中的乙醇含量最高为1 mg/mL,即每100 mL血液中乙醇含量为100 mg,故A错误;因为100>80,可知饮酒后0.5 h接受乙醇含量测试,将被认定为醉驾,故C错误,D正确. 9.选ACD　由题意可得即解得所以b-a=110,故A正确;因为D=10lg I+120,所以30=10lg m+120,解得m=10-9,故B错误;由100<10lg I2+120<110,得<I2<,故C正确;设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机的噪声的声强级分别为D1,D2,D3,由题意知90<D1<100,100<D2<110,135<D3<145,所以D1+D3>2D2,所以10lg I1+120+10lg I3+120>2(10lg I2+120),所以lg I1+lg I3>2lg I2,即lg(I1I3)>lg ,所以I1I3>,故D正确. 10.解析:将t=2代入T=80·+20,得T=65;将t=2代入T=60·+20,得T=. 故应选择函数模型①.由T=80·+20≤60,可得t≥=≈2.5,故该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟. 答案:①　2.5 11.解析:设两人的“年提升值”为a(a>0),经过n年小王的“聪慧值”是小李的2倍,则经过n年小王的“聪慧值”为100×a(1+5%)n,小李的“聪慧值”为150×a(1-2%)n, 由题意100×a(1+5%)n=2×150×a(1-2%)n,即1.05n=3×0.98n. 取对数可得nlg 1.05=lg 3+nlg 0.98,n==≈=16,所以大约经过16年小王的“聪慧值”是小李的2倍. 答案:16 12.解:(1)W(x)=25×-x-3x=-4x,定义域为[0,5]. (2)由(1)知,W(x)=-4x=503--4x=154-. 因为0≤x≤5,所以+4(x+1)≥2=40,当且仅当=4(x+1),即x=4时,等号成立,所以W(x)≤154-40=114.故当投入的新型绿色肥料的费用为400元时,栽培一棵该果树获得的利润最大,最大利润是11 400元. 学科网（北京）股份有限公司 $