第5章 2 实际问题中的函数模型-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦实际问题中的函数模型应用，从生活实例导入，通过回顾一次、二次、指数等函数模型，搭建从已知模型求解到自建模型、拟合模型的学习支架，帮助学生逐步掌握用函数刻画和解决实际问题的方法。 其亮点是以“龟兔赛跑”路程图象、物种繁殖对数模型等实例为载体，通过图象分析、模型推导和均值不等式求最值，培养学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养。小结强调自变量范围和结果检验，学生能提升建模能力，教师可获得系统教学资源。

§ 2　实际问题中的函数模型 　　函数模型是应用最广泛的数学模型之一，它在实际生活中的应用非常地广泛，不同的函数模型能刻画出现实生活中不同的变化规律．如果实际问题中的变量与变量之间的关系一旦被认定为是函数关系就可以将实际问题转化为数学问题，建立一个函数模型，通过研究函数的性质，从而更好地去把握和分析问题，使实际问题得以解决． 1.能利用已知函数模型求解实际问题． 2．能自建确定性函数模型解决实际问题． 3．了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性． 返回导航 新课导入 学习目标 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　实际问题的函数刻画 思考　回忆一下所学过的函数模型有哪些？ 提示： 返回导航 角度1　用函数图象刻画实际问题 [例1] (1)“龟兔赛跑”是一则经典的寓言故事：兔子与乌龟在赛道上比赛跑步，跑了一段后，兔子领先太多就躺在赛道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点．请根据故事选出符合“龟兔赛跑”的路程—时间图象(　　) C 【解析】　由故事内容知乌龟先达到终点，兔子醒来乌龟未达到终点，且兔子后来的速度更快．故选C. 返回导航 B (2)如图是三个底面半径均为1，高分别为1，2，3的圆锥、圆柱体容器，现同时分别向三个容器中注水，直到注满为止，在注水的过程中，保证水面高度平齐，且匀速上升，记三个容器中水的体积之和为V＝V(h)，h为水面的高，则函数V＝V(h)的大致图象为(　　) 返回导航 【解析】　由题得，三个容器同时注水时，由于圆锥同样高度注水体积越来越大，即此过程体积V(h)增加速度越来越快，排除C，D； 圆锥注满水后，体积匀速增加，在矮圆柱注满水以前体积V(h)增加速度要大于矮圆柱注满水以后的速度，即矮圆柱注满水以前的所在直线斜率大．故选B. 返回导航 D 返回导航 返回导航 感悟提升 用函数刻画实际问题的要点 (1)用函数图象刻画实际问题，要挖掘图象中的关键信息，结合题中的语言叙述，将图象信息转化为数字特征(单调性、最值等). (2)已知函数模型解决实际问题，先用待定系数法求出函数解析式，再结合题意研究函数性质． 返回导航 [跟踪训练1] (1)(多选)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图1所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图2、图3中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的说法是(　　) A.图2对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B.图2对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C.图3对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D.图3对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 BC 返回导航 解析：由题图1可设y关于x的函数为y＝kx＋b(k>0，b<0)，k为票价，当k＝0时，y＝b，则－b为固定成本；由题图2知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确； 由题图3知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误．故选BC. 返回导航 C (2)某实验员在培养皿(足够大)中滴入了含有10个某种真菌的实验液，经过1小时培养，真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示时间(单位：时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A.640 B．1 280 C.2 560 D．5 120 解析：因为原来的真菌数为10，由题意可得在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，所以20＝10eλ，即eλ＝2，所以y＝10×2t.当t＝8时，真菌个数为y＝10×28＝2 560.　 返回导航 返回导航 返回导航 (2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使F(x)最小？并求出最小值． 返回导航 x/天 10 20 25 30 Q(x)/件 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121百元． 返回导航 (1)求k的值； 返回导航 (2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的关系，并求出该函数的解析式； 【解】　由题表中的数据知，当时间增加时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从题表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋).经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋). 返回导航 (3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N＋)(单位：百元)的最小值． 返回导航 综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.从而该服装的日销售收入的最小值为121百元． 返回导航 感悟提升 (1)构建函数模型求解实际问题的步骤 返回导航 感悟提升 (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①根据原始数据、表格，绘出散点图； ②通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数； ⑤利用选取的拟合函数进行预测； ⑥利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 返回导航 [跟踪训练2] (1)有一批材料可以建成360 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙(墙足够长)的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为____________m2.(围墙厚度不计) 8 100 返回导航 (2)科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶中，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1 s后染料扩散的体积是1 cm3，2 s后染料扩散的体积是3 cm3，染料扩散的体积y(单位：cm3)与时间x(单位：s)的关系有两种函数模型可供选择：①y＝m·3x，②y＝mlog3x＋b，其中m，b均为常数，且m＞0. (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； 返回导航 解：因为函数y＝m·3x中，y随x的增长而增长，且增长的速度越来越快，而函数y＝mlog3x＋b中，y随x的增长而增长，但增长的速度越来越慢， 则y＝2log23·log3x＋1＝2log2x＋1，所以该模型的解析式为y＝2log2x＋1. 返回导航 (2)若染料扩散的体积不小于5 cm3，至少需要多少秒？ 解：由题意知y＝2log2x＋1≥5，则有2log2x≥4， 所以log2x≥2，所以x≥4，所以至少需要4 s． 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 29 C 返回导航 C 返回导航 3．(2026·吉安月考)某商店销售A，B两款商品，利润(单位：元)分别为y1＝－x2＋19x和y2＝6x，其中x(x∈N)为销量(单位：袋)，若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为________元． 162 返回导航 4．某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2 h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝kat(t≥2，a>0且a≠1，k，a是常数)的图象，且A(2，8)，B(4，2). 返回导航 (1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式； 返回导航 (2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于1 μg时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8 点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？ 返回导航 课堂小结 1．已学习：几种实际问题的函数刻画． 2．须贯通：利用函数的性质，分析数据拟合与函数建模的优劣． 3．应注意：实际问题中一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，最后要将数学问题还原为实际问题． 返回导航 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)　 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) $