第5章 2 实际问题中的函数模型 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦函数模型在实际问题中的应用这一核心知识点，系统梳理指数函数（如增长率问题）、对数函数（如奖励方案）、二次函数（如烟花高度）等模型的构建过程，通过“问题情境—抽象模型—求解验证”的脉络，搭建从具体到抽象的学习支架。 该资料以现实生活问题为载体，如农民年收入增长、商场空调利润分析等，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过对比不同函数模型（如第2题散点图排除对数、线性函数）发展数学思维中的推理意识，用函数表达式和数据描述问题强化数学语言的应用。课中助力教师引导建模，课后学生可借实例巩固，查漏补缺。

1．随着我国经济的不断发展，2024年年底某地区农民人均年收入为7 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2032年年底该地区的农民人均年收入为(　　) A．7 000×1.06×7元 B．7 000×1.067元 C.7 000×1.06×8元 D．7 000×1.068元 解析：选D.设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，根据题意可得y＝7 000×1.06x，从2024年年底到2032年年底共经过了8年，所以2032年年底该地区的农民人均年收入为7 000×1.068元． 2．某商场2025年在旺季的4天内销售某种空调的利润如下表所示， 时间t(天) 1 2 3 4 利润y(千元) 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　) A．y＝log2t B．y＝2t C．y＝t2 D．y＝2t 解析：选B.作出散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把t＝1，2，3，4代入B，C选项的函数中，函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值，故选B. 3．已知某种烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系式为h＝－3.6t2＋28.8t，则烟花在达到最高点时爆裂的高度是(　　) A．56.6 m B．57.6 m C．58.6 m D．59.6 m 解析：选B.依题意，h＝－3.6(t－4)2＋57.6≤57.6，当且仅当t＝4时，等号成立，所以烟花在达到最高点时爆裂的高度是57.6 m． 4．某公司为了提高销售部业务制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元．该公司拟定销售额x(单位：万元)与奖励金额y(单位：万元)之间的函数关系为y＝alog4x＋b(a，b∈R)，若某业务员得到6万元奖励，则他的销售额应为(　　) A．128万元 B．256万元 C．512万元 D．1 024万元 解析：选B.由题意得解得所以y＝2log4x－2.由2log4x－2＝6，得x＝256，所以该业务员的销售额应为256万元． 5．(多选)某食品的保鲜时间t(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系t＝且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16 h．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗忘在室外，且此日的室外温度(单位：℃)随时刻的变化如图所示，则(　　) A．该食品在6 ℃时的保鲜时间是8 h B．当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而减少 C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间 解析：选AD.由题设，可得24k+6＝16，解得k＝－，所以t＝所以当x＝6时，t＝23＝8，A正确；当x∈[－6，0]时，保鲜时间恒为64 h，当x∈(0，6]时，保鲜时间t随着x的增大而减少，B错误；此日11时到13时之间温度超过10 ℃，其保鲜时间小于2 h，所以到13时甲所购买的食品不在保鲜时间内，C错误，D正确． 6．某公司2025年全年生产某种商品1万件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前一年的120%，则该商品年产量超过2万件时，至少需要经过________年． 解析：设经过n年后，该商品年产量超过2万件，则1.2n>2.因为1.23＝1.728<2，1.24＝2.073 6>2，所以至少需要经过4年． 答案：4 7．通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y(单位：升/小时)与液体所处环境的温度x(单位：℃)近似地满足函数y＝ekx＋b(k，b为常数).该液体在0 ℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30 ℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20 ℃的蒸发速度为________升/小时． 解析：由y＝ekx＋b及已知条件得0.1＝ek×0+b，所以eb＝0.1，解得b＝ln 0.1. 又0.8＝e30k＋b，所以30k＋ln 0.1＝ln 0.8，解得k＝，所以y＝ex＋ln 0.1， 则该液体在20 ℃的蒸发速度为 y＝eln 8+ln 0.1＝eln 0.4＝0.4. 答案：0.4 8．要建造一段500 m的高速公路，工程队需要把60人分成两组，一组完成一段200 m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的300 m的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地带每米公路的工程量分别是5人/天和3人/天．要使全队筑路工期最短，则需安排到硬土地带工作的人数是________．　 解析：设安排到硬土地带工作的人数为x，则安排到软土地带工作的人数为(60－x)， 则在软土地带的工作时间为f(x)＝(0<x<60，x∈N＋)，在硬土地带的工作时间为g(x)＝(0<x<60，x∈N＋)，要使全队筑路工期最短，需两地带同时完工，即f(x)＝g(x)，即＝，解得x＝，由于0<x<60，x∈N＋， f(x)＝在(0，60)上单调递增，g(x)＝在(0，60)上单调递减，而>， 故只有当x＝28时，两地带最接近于同时完工，故需安排到硬土地带工作的人数是28. 答案：28 9．(13分)某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2020年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如表所示： x 1 2 3 4 f(x) 3 3.5 3.8 4 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一： f(x)＝ax2＋b，f(x)＝2x－a＋b，f(x)＝alog2x＋b. (1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式；(6分) (2)受某种因素的影响，2027年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，求出2027年的实际年产量．(7分) 解：(1)由题中数据可得，所选函数单调递增，且增长速度逐渐变小，故选择f(x)＝alog2x＋b模型．由已知得f(1)＝b＝3，f(2)＝a＋b＝3.5， 解得a＝0.5，b＝3，故f(x)＝0.5log2x＋3，x∈N＋. (2)2027年的预计年产量为f(8)＝0.5×3＋3＝4.5万件， 2027年的实际年产量为4.5×(1－30%)＝3.15万件． 10．五一期间某服装店进店消费的人数每天都在变化，设第x(1≤x≤5，x∈N)天进店消费的人数为y，且y与[]([t]表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 解析：选D.由题意可设比例系数为k， 所以y＝k(k>0)， 因为15＝k，所以k＝3， 所以当x＝2时，y＝3×＝3×6＝18. 11．(15分)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0为初始污染物数量，k是大于0的常数．已知在前5 h消除了10%的污染物． (1)求k的值；(7分) (2)求污染物减少50%需要花的时间．(8分) (精确到0.1 h，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61) 解：(1)在P＝P0e－kt中，当t＝5时， P＝(1－10%)P0＝P0e-5k， 解得k＝－ln 0.9， 所以k＝ln ＝≈＝0.02. (2)由(1)知，P＝P0e-0.02t，当P＝0.5P0时，0.5P0＝P0e-0.02t，即0.5＝e-0.02t， 则t＝50 ln 2≈34.5.所以污染物减少50%需要花的时间约为34.5 h． 12．(15分)(2026·佛山月考)物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述．设物体的初始温度为T0(单位：℃)，经过一段时间t(单位：分钟)后的温度为T(单位：℃)，则T－Tc＝(T0－Tc)·at，其中Tc(单位：℃)为环境温度，a为参数．某日室温为20 ℃，上午8时小王使用电热养生壶烧水(假设加热时水温随时间的变化为一次函数，且初始温度与室温一致)，8分钟后水温达到100 ℃，8时18分时，壶中热水自然冷却到60 ℃. (1)求8时起壶中水温T(单位：℃)关于时间t(单位：分钟)的函数T＝f(t)；(6分) (2)若当日小王在水沸腾(水温达到100 ℃)时恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50 ℃时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值50 ℃时，开始加热至80 ℃后停止，加热速度与正常烧水一致，则养生壶(在保温状态下)多长时间后开始第二次加热？(结果保留整数，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(9分) 解：(1)当0≤t≤8时，设T＝kt＋20，将t＝8，T＝100代入，解得k＝10，则T＝10t＋20. 将T＝60，Tc＝20，T0＝100，t＝10代入T－Tc＝(T0－Tc)·at，得a＝， 所以T＝f(t)＝ (2)设水温从100 ℃降温至50 ℃需要t1分钟，则50－20＝(100－20)·，解得t1＝10log＝10log2＝10×(3－log23)＝10×≈14，故经过14分钟后，养生壶(在保温状态下)开始第一次加热． 水温从50 ℃加热至80 ℃需要＝3分钟． 设水温从80 ℃降温至50 ℃需要t2分钟，则50－20＝(80－20)·，解得t2＝10.故14＋3＋10＝27分钟后养生壶(在保温状态下)开始第二次加热． 学科网（北京）股份有限公司 $