周周练12 函数应用(范围：§1～§2)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

周周练12　函数应用(范围：§1～§2) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知1是函数f(x)＝2x＋mx－5的零点，则m为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.依题意，f(1)＝2＋m－5＝0，所以m＝3. 2．函数f(x)＝－log2x的零点所在区间是(　　) A． B． C．(1，2) D．(2，3) 解析：选C.由f(x)＝－log2x可知，该函数在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝1－log2 1＝1>0，而f(2)＝－log22＝－<0，由f(1)f(2)<0，利用零点存在定理，可得函数f(x)的零点所在区间是(1，2). 3．已知函数y＝x2＋mx＋m2－7的两个零点中，一个零点大于2，另外一个零点小于2，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－3，1) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，3) 解析：选B.不妨设函数y＝x2＋mx＋m2－7的两个零点分别为x1，x2(x1<x2)，由于抛物线开口向上，所以由题意有f(2)＝4＋2m＋m2－7<0， 整理得m2＋2m－3<0，解得－3<m<1，即实数m的取值范围是(－3，1). 4．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d，若f(x)＝2 025－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　　) A．a>c>b>d B．a>b>c>d C．c>d>a>b D．c>a>b>d 解析：选D.由题意设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝2 025－g(x)，且g(x)＝0的两个根是a，b.由题意知f(x)＝0的两根是c，d，也就是g(x)＝2 025的两根，画出g(x)(开口向上)及y＝2 025的大致图象如图所示，则直线y＝2 025与g(x)的图象交点的横坐标就是c，d，g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b，又a>b，c>d，由图得c>a>b>d. 5．(2026·西安期末)已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且f(x)在[0，2]上的图象如图所示，则函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)－x(x＋1)的零点个数为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：选B.令g(x)＝[f(x)]2＋f(x)－x(x＋1)＝[f(x)－x]·[f(x)＋x＋1]＝0，得f(x)＝x或f(x)＝－x－1.如图，画出奇函数f(x)在[－2，2]上的大致图象及函数y＝x，y＝－x－1的图象．由图可知，y＝f(x)与y＝x的图象有5个公共点，y＝f(x)与y＝－x－1的图象仅有1个公共点，则g(x)的零点个数为5＋1＝6. 6．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝2x+1⊗(2－4x)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，1)∪(1，2) C．(1，2) D．(0, －1)∪(－1，2) 解析：选A.因为a⊗b＝ 由2x+1－2＋4x＝(2x)2＋2·2x－2≤1，可得(2x)2＋2·2x－3≤0， 即(2x＋3)(2x－1)≤0， 因为2x＋3>0，所以2x－1≤0，解得x≤0， 所以当x≤0时，f(x)＝2x+1， 当x>0时，f(x)＝2－4x. 即f(x)＝ 因为函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y＝f(x)，y＝c的图象恰有两个公共点，在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝f(x)，y＝c的图象，如图所示， 由图象知0<c<1， 则实数c的取值范围是(0，1). 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．下列方程中，可以用二分法求近似解的有(　　) A．log2x＋x＝0 B．ex＋x＝0 C．x2－2x＋1＝0 D．＋ln x＝0 解析：选ABD.对于A，f(x)＝log2x＋x在(0，＋∞)上单调递增，且图象在(0，＋∞)上连续， f＝－1＋＝－<0，f(1)＝1>0，可以使用二分法求原方程的近似解； 对于B，f(x)＝ex＋x在R上连续且单调递增，又f(0)＝1>0，f(－1)＝e-1－1<0，可以使用二分法求原方程的近似解； 对于C，x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，故不可以使用二分法求原方程的近似解； 对于D，f(x)＝＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，且图象在(0，＋∞)上连续， f＝－1<0，f(1)＝1>0，可以使用二分法求原方程的近似解． 8．已知函数f(x)＝(m∈R，e为自然对数的底数)，则(　　) A．方程f(x)＝0至少有1个实数根 B．方程f(x)＝0至多有1个实数根 C．当m<－3时，若x1≠x2，则>0 D.当m＝0时，方程f(f(x))＝0恰有4个不同实数根 解析：选ACD.作出函数y＝ex－1和函数y＝－x2－4x－4的图象如图所示． 当m>0时，方程f(x)＝0只有1个实数根， 当－2<m≤0时，方程f(x)＝0有2个不相等的实数根， 当m≤－2时，方程f(x)＝0只有1个实数根，故A正确，B错误； 当m<－3时，因为f(x)每一段都单调递增，且e-3－1>－32＋12－4＝－1，所以函数f(x)为增函数，故C正确； 当m＝0时，f(t)＝0，t1＝－2，t2＝0，当f(x)＝t1＝－2时，该方程有两个解， 当f(x)＝t2＝0时，该方程有两个解，所以方程f(f(x))＝0有4个不同实数根，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．函数f(x)＝2x|lg x|－1的零点的个数为______________． 解析：令f(x)＝0，得2x|lg x|－1＝0， 即|lg x|＝， 作出y＝|lg x|与y＝的图象，由图可知它们只有2个交点，所以函数f(x)的零点的个数为2. 答案：2 10．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent(n为常数)，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为____________． 解析：因为5秒后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，即5n＝ln ，得n＝ln ，若k秒后甲桶中的水只有升，则f(k)＝aenk＝，即enk＝，所以·k ln ＝ln ＝2ln ，解得k＝10，故m＝10－5＝5. 答案：5 11．(2026·红河期末)已知函数f(x)＝(k∈R)，若f(x)在区间(0，4]上有2个不同的零点，则k的取值范围是________． 解析：函数f(x)＝在区间(0，4]上有2个不同的零点⇔方程＝0在x∈(0，4]上有2个不同的实数解⇔方程x＋＝k在x∈(0，4]上有2个不同的实数解⇔函数y＝x＋和函数y＝k的图象在(0，4]上有两个交点． 令g(x)＝x＋，因为g(x)在(0，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增， 所以g(x)在x＝2处取得最小值为4，又由g(4)＝4＋＝5， 当x趋近于0时，g(x)趋近于＋∞. 如图， 当4<k≤5时，函数y＝x＋和函数y＝k的图象在(0，4]上有两个交点， 故k的取值范围是(4，5]. 答案：(4，5] 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ (1)求f(f(－1))；(5分) (2)解关于x的不等式f(x)>2.(8分) 解：(1)易知f(－1)＝－2＝0， 所以f(f(－1))＝f(0)＝log21＝0. (2)当x<0时，f(x)＝－2>2， 即>4，得x<－2； 当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)>2， 所以x＋1>4，解得x>3， 故原不等式解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞). 13．(本小题满分15分)已知指数函数y＝f(x)，满足f(－2)＝. (1)求函数y＝f(x)的解析式；(5分) (2)若方程[f(x)]2－(m＋1)f(x)＋m＋＝0有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．(10分) 解：(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)， 由f(－2)＝，可得a-2＝，又a>0， 所以a＝2，所以f(x)＝2x. (2)由(1)知f(x)＝2x， 又方程[f(x)]2－(m＋1)f(x)＋m＋＝0有两个不同的实数解， 所以(2x)2－(m＋1)·2x＋m＋＝0有两个不同的实数解，设t＝2x∈(0，＋∞)，所以t2－(m＋1)t＋m＋＝0有两个不同的正实数解， 所以 解得m>4， 所以实数m的取值范围为(4，＋∞). 14．(本小题满分15分)(2026·深圳期末)某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发．在对市场调研分析后发现，甲产品的利润M(x)(单位：万元)、乙产品的利润N(x)(单位：万元)与研发投入x(单位：万元)之间的关系如表所示． x(万元) 4 9 16 25 M(x)(万元) 28 33 40 49 N(x)(万元) 30 42 54 66 (1)根据表格中的数据判断：①y＝ax＋b；②y＝c·2x＋d；③y＝m＋n；④y＝plog2x＋q，上述四个模型哪两个更适宜分别作为M(x)与N(x)关于x的函数模型？(不需要说明理由)(3分) (2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式．(6分) (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？(6分) 解：(1)因为M(x)关于x成线性关系，N(x)关于成线性关系，所以选①作为M(x)关于x的函数模型，选③作为N(x)关于x的函数模型． (2)M(x)＝ax＋b，当x＝4时，M(4)＝4a＋b＝28， 当x＝9时，M(9)＝9a＋b＝33，解得a＝1，b＝24， 验证：当x＝16时，16＋24＝40，符合；当x＝25时，25＋24＝49，符合． 所以M(x)＝x＋24. N(x)＝m＋n，当x＝4时，N(4)＝2m＋n＝30， 当x＝9时，N(9)＝3m＋n＝42，解得m＝12，n＝6， 验证：当x＝16时，12＋6＝54，符合；当x＝25时，12＋6＝66，符合． 所以N(x)＝12＋6. (3)设乙产品的研发投入为x万元(0≤x≤100)，则甲产品的研发投入为(100－x)万元， 总利润f(x)＝M(100－x)＋N(x)＝124－x＋(12＋6)＝－x＋12＋130＝－(－6)2＋166≤166， 当且仅当＝6，即x＝36时取等号，则甲产品的研发投入为100－36＝64万元， 所以甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元时，可使总利润最大． 学科网（北京）股份有限公司 $