第5章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数零点概念、零点与方程根的关系及零点存在定理，以“函数桥梁”类比导入，将函数比作桥梁，方程的解为“落脚点”，零点为“关键节点”，搭建函数与方程解的联系支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于以“知识点梳理+例题解析+跟踪训练”构建学习链，通过代数法求根、几何法数形结合（如判断零点区间结合函数图象）培养数学思维与几何直观，课堂小结明确知识要点与注意事项，既助学生系统掌握，也为教师提供清晰教学路径。

第五章　函数应用 §1　方程解的存在性及方程的近似解 1．1　利用函数性质判定方程解的存在性 如果把函数比作一座桥梁，那方程的解就是桥梁的“落脚点”，而函数零点就是连接两者的“关键节点”．今天我们就一起揭开函数零点与方程的解的神秘面纱． 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系． 2．会求函数的零点． 3．掌握零点存在定理并会判断函数零点的个数． 返回导航 新课导入 学习目标 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 5 知识点一　函数的零点与方程的解 思考　我们已经学习过二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点，这里的零点是几何中的“点”吗？ 提示：不是，它是指使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数x. 返回导航 [知识梳理] 1．函数零点的概念 使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数的零点、函数的图象、方程的根的关系 x轴 f(x)＝0 返回导航 D [例1] (1)下列选项中的图象对应的函数没有零点的是(　　) 【解析】　函数图象与x轴有交点，对应的函数就有零点，观察题图可知，只有选项D中函数的图象与x轴没有交点． 返回导航 (2)设函数f(x)＝21-x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________． (3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则实数m＝________． 【解析】　令f(x)＝21-x－4＝0，解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.　 【解析】　由f(3)＝32－3m＝0，解得m＝3. －2 3 返回导航 感悟提升 求函数零点的方法 (1)代数法：求对应方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：对于不能直接求根的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质求函数零点． 返回导航 D 返回导航 返回导航 (2)(2026·南阳月考)一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________． 返回导航 知识点二　零点存在定理 [知识梳理] 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)________ ，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 连续 <0 返回导航 角度1　判断零点所在区间 [例2] (1)(对接教材例1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A.(－2，－1) B．(－1，0) C.(0，1) D．(1，2) C 返回导航 【解析】　方法一：函数f(x)＝ex＋x－2的图象是一条连续的曲线，又易知函数f(x)是增函数且f(－2)＝e-2－4<0，f(－1)＝e-1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2>0所以f(x)在(0，1)内有零点． 方法二：函数对应的方程为ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，所以原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x图象交点的横坐标所在的区间为(0，1). 返回导航 (2)(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是(　　) A.f(x)在区间(0，1)内一定有零点，在区间(1，2)内一定没有零点 B.f(x)在区间(0，1)内一定没有零点，在区间(1，2)内一定有零点 C.f(x)在区间(0，1)内一定有零点，在区间(1，2)内可能有零点 D.f(x)在区间(0，1)内可能有零点，在区间(1，2)内一定有零点 ABD 返回导航 【解析】　由题意知f(0)f(1)<0，所以f(x)在区间(0，1)内一定存在零点；因为f(1)f(2)>0，所以f(x)在区间(1，2)内可能有零点，也可能没有零点．故只有C正确．故选ABD. 返回导航 感悟提升 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看f(a)·f(b)<0是否成立．若成立，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象观察图象在给定区间上是否有交点来判断． 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知方程x3－x－1＝0仅有一个正根，则此根所在的区间是(　　) A.(3，4) B．(2，3) C.(1，2) D．(0，1) C 返回导航 解析：将问题转化为求对应函数f(x)＝x3－x－1的零点所在区间，再利用零点存在定理判断．因为f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，f(4)＝59>0.所以f(1)·f(2)<0，又函数f(x)的图象在[1，2]上是一条连续的曲线，所以函数f(x)的零点一定在区间(1，2)内，即原方程的根在区间(1，2)内．故选C. 返回导航 C 返回导航 返回导航 (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 【解】　方法一：由于f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在区间[1，2]上是连续的， 所以f(x)在区间(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的零点个数为1. 返回导航 方法二：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数． 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图). 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点个数为1. 返回导航 感悟提升 判断函数零点个数的三种方法 (1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程解的个数来判断函数零点的个数． (2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判断函数零点的个数． (3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点． 返回导航 B 返回导航 返回导航 返回导航 (2)已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点个数是________． 解析：画出函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示． 观察可得函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)图象的交点个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点个数为2. 2 返回导航 C 返回导航 返回导航 (2)已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________________． 【解析】　函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点．即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象有且仅有两个交点．分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象，如图所示．由图易知，当a>1时，两函数的图象有两个不同的交点．故实数a的取值范围是(1，＋∞). (1，＋∞) 返回导航 感悟提升 根据函数零点求参数的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式进行变形，并在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合进行求解． 返回导航 D 返回导航 返回导航 (－∞，0] 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 38 B 1．函数f(x)＝lg (x－2)的零点是(　　) A.4 B．3 C．(4，0) D．(3，0) 解析：令f(x)＝0，可得lg (x－2)＝0，所以x－2＝1，故x＝3.所以函数f(x)＝lg (x－2)的零点是3. 返回导航 A 返回导航 C 返回导航 4．(教材P132T2改编)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，则实数a的值为________． 返回导航 课堂小结 1．已学习：函数零点的定义，零点存在定理． 2．须贯通：利用零点定义和零点存在定理、数形结合法等知识判断零点个数及所在区间． 3．应注意：零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标． 返回导航 解析：当x＝0时，f(0)＝1，显然x＝0不是f(x)的零点；当x≠0时，f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－＋＝－＋1.若f(x)在区间内有零点，则f(x)＝0在区间内有解，当－≤x<0或0<x≤时，易得a＝－＋≤0，所以实数a的取值范围是(－∞，0]. $