第5章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦方程解的存在性判定，以函数零点为核心，系统梳理零点概念、与方程根的关系，通过零点存在定理构建从定义到判定存在性、再到判断零点个数及区间的学习支架。 资料通过数形结合直观呈现函数零点与方程根的联系，例题与跟踪训练层层递进，培养学生用数学眼光观察函数图象、用数学思维推理零点存在性的能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

§1　方程解的存在性及方程的近似解 1．1　利用函数性质判定方程解的存在性 新课导入 学习目标 　　如果把函数比作一座桥梁，那方程的解就是桥梁的“落脚点”，而函数零点就是连接两者的“关键节点”．今天我们就一起揭开函数零点与方程的解的神秘面纱． 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系． 2．会求函数的零点． 3．掌握零点存在定理并会判断函数零点的个数． 知识点一　函数的零点与方程的解 思考　我们已经学习过二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点，这里的零点是几何中的“点”吗？ 提示：不是，它是指使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数x. [知识梳理] 1．函数零点的概念 使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数的零点、函数的图象、方程的根的关系 [例1] (1)下列选项中的图象对应的函数没有零点的是(　　) (2)设函数f(x)＝21-x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________． (3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则实数m＝________． 【解析】　(1)函数图象与x轴有交点，对应的函数就有零点，观察题图可知，只有选项D中函数的图象与x轴没有交点． (2)令f(x)＝21-x－4＝0，解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.　 (3)由f(3)＝32－3m＝0，解得m＝3. 【答案】　(1)D　(2)－2　(3)3 　 求函数零点的方法 (1)代数法：求对应方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：对于不能直接求根的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质求函数零点． [跟踪训练1] (1)已知函数f(x)＝ 则函数f(x)的零点为(　　) A.，0　　　　　　　 B．－2，0 C. D．0 解析：选D.当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0；当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解． 综上所述，函数零点为0.故选D. (2)(2026·南阳月考)一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________． 解析：由一次函数f(x)＝ax＋b的零点是2，得2a＋b＝0，即b＝－2a，代入bx2－ax＝0，得－2ax2－ax＝0，即ax(2x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－. 答案：0和－ 知识点二　零点存在定理 [知识梳理] 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 角度1　判断零点所在区间 [例2] (1)(对接教材例1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A.(－2，－1) B．(－1，0) C.(0，1) D．(1，2) (2)(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是(　　) A.f(x)在区间(0，1)内一定有零点，在区间(1，2)内一定没有零点 B.f(x)在区间(0，1)内一定没有零点，在区间(1，2)内一定有零点 C.f(x)在区间(0，1)内一定有零点，在区间(1，2)内可能有零点 D.f(x)在区间(0，1)内可能有零点，在区间(1，2)内一定有零点 【解析】　(1)方法一：函数f(x)＝ex＋x－2的图象是一条连续的曲线，又易知函数f(x)是增函数且f(－2)＝e-2－4<0，f(－1)＝e-1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2>0所以f(x)在(0，1)内有零点． 方法二：函数对应的方程为ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，所以原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x图象交点的横坐标所在的区间为(0，1). (2)由题意知f(0)f(1)<0，所以f(x)在区间(0，1)内一定存在零点；因为f(1)f(2)>0，所以f(x)在区间(1，2)内可能有零点，也可能没有零点．故只有C正确．故选ABD. 【答案】　(1)C　(2)ABD 　 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看f(a)·f(b)<0是否成立．若成立，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象观察图象在给定区间上是否有交点来判断． [跟踪训练2] (1)已知方程x3－x－1＝0仅有一个正根，则此根所在的区间是(　　) A.(3，4) B．(2，3) C.(1，2) D．(0，1) 解析：选C.将问题转化为求对应函数f(x)＝x3－x－1的零点所在区间，再利用零点存在定理判断．因为f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，f(4)＝59>0.所以f(1)·f(2)<0，又函数f(x)的图象在[1，2]上是一条连续的曲线，所以函数f(x)的零点一定在区间(1，2)内，即原方程的根在区间(1，2)内．故选C. (2)(2026·宿州月考)函数f(x)＝－的零点所在的区间为(　　) A.(0，1) B．(1，2) C.(2，3) D．(3，4) 解析：选C.函数f(x)＝－的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(2)＝－＜0，f(3)＝－1＞0，所以函数f(x)的零点所在的区间为(2，3). 角度2　判断函数的零点个数 [例3] 判断下列函数的零点个数： (1)f(x)＝x2－x＋； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 【解】　(1)函数对应的方程为x2－x＋＝0，判别式Δ＝－4×1×＝－<0， 所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即f(x)的零点个数为0. (2)方法一：由于f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在区间[1，2]上是连续的， 所以f(x)在区间(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的零点个数为1. 方法二：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数． 在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图). 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点个数为1. 　 判断函数零点个数的三种方法 (1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程解的个数来判断函数零点的个数． (2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判断函数零点的个数． (3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点． [跟踪训练3] (1)(2026·济源月考)函数f(x)＝x－的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B.方法一：令f(x)＝0，可得x＝()x，在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x和指数函数y＝的图象，如图所示，可得公共点只有一个，所以f(x)的零点只有一个． 方法二：因为y＝x与y＝－在[0，＋∞)上均单调递增，所以f(x)＝x－在[0，＋∞)上单调递增．因为f(0)＝－1＜0，f(1)＝＞0，所以f(x)在(0，1)上有一个零点，故函数f(x)＝x－的零点个数为1. (2)已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点个数是________． 解析：画出函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示． 观察可得函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)图象的交点个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点个数为2. 答案：2 应用点　已知零点个数或所在区间求参数 [例4] (1)已知函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，3) B．(1，2) C.(0，3) D．(0，2) (2)已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________________． 【解析】　(1)方法一：函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，又f(x)的一个零点在区间(1，2)内，所以解得0<a<3. 方法二：函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以a＝2x－(1<x<2)有一个解，令g(x)＝2x－(1<x<2)，由g(x)在区间(1，2)上单调递增，可知g(x)在区间(1，2)上的值域为(0，3)，所以实数a的取值范围是(0，3). (2)函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点．即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象有且仅有两个交点．分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象，如图所示．由图易知，当a>1时，两函数的图象有两个不同的交点．故实数a的取值范围是(1，＋∞). 【答案】　(1)C　(2)(1，＋∞) 　 根据函数零点求参数的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式进行变形，并在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合进行求解． [跟踪训练4] (1)已知函数f(x)＝ 的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A. B．(0，＋∞) C. D．(0，2] 解析：选D.作函数f(x)的大致图象(实线)如图所示，平移直线y＝k－x，由k－x＝x2＋2x＋2可得，x2＋3x＋2－k＝0，Δ＝9－8＋4k＝0，k＝－， 故当k＝－时，直线y＝－－x与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)相切；当k＝0时，直线y＝－x经过点(0，0)，且与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)有2个不同的交点；当k＝2时，直线y＝2－x经过点(0，2)，且与f(x)的图象有3个不同的交点．由图分析可知，当k∈(0，2]时，f(x)的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点． 故选D. (2)函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间内有零点，则实数a的取值范围是______________． 解析：当x＝0时，f(0)＝1，显然x＝0不是f(x)的零点；当x≠0时，f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－＋＝－＋1.若f(x)在区间内有零点，则f(x)＝0在区间内有解，当－≤x<0或0<x≤时，易得a＝－＋≤0，所以实数a的取值范围是(－∞，0]. 答案：(－∞，0] 1．函数f(x)＝lg (x－2)的零点是(　　) A.4 B．3 C．(4，0) D．(3，0) 解析：选B.令f(x)＝0，可得lg (x－2)＝0，所以x－2＝1，故x＝3.所以函数f(x)＝lg (x－2)的零点是3. 2．函数f(x)＝2x＋log2x的零点所在区间是(　　) A. B． C.(1，2) D．(2，3) 解析：选A.因为y＝2x，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)至多有一个零点，因为f＝2－2<0，f＝2－1>0，所以f(x)的零点在区间上．故选A. 3．(2026·淮北月考)函数f(x)＝ 的零点个数是(　　) A.0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.当x≤0时，令f(x)＝x2－2＝0，解得x＝－(正值已舍去)；当x＞0时，令f(x)＝2x－6＝0，解得x＝3.所以函数f(x)有2个零点． 4．(教材P132T2改编)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，则实数a的值为________． 解析：当a＝0时，函数y＝－x－1，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点；当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数． 因为函数y＝ax2－x－1只有一个零点， 所以方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根．所以Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－. 答案：0或－ 　 1．已学习：函数零点的定义，零点存在定理． 2．须贯通：利用零点定义和零点存在定理、数形结合法等知识判断零点个数及所在区间． 3．应注意：零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $