第5章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦函数零点核心知识点，系统梳理零点存在定理、函数单调性与零点个数的关系，涵盖二次函数、指数函数、对数函数及分段函数的零点求解，构建从基础判断到参数范围探究的学习支架。 资料通过丰富题型（选择、填空、解答）和实例（如利用函数值表判断零点个数、方程与函数转化求参数），培养学生用数学眼光观察函数变化、用数学思维推理零点存在，提升数学语言表达解题过程的能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

1．(2026·北京期末)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.1 15.6 －3.9 10.9 －52.5 －232.1 则函数f(x)的零点至少有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选C.由题表知，f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，因此函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少有1个零点，所以函数f(x)的零点至少有3个． 2．(2026·龙岩月考)函数f(x)＝的零点是　(　　) A．1 B．(1，0) C．(－1，0) D．－1或1 解析：选A.由2x＋1＞0得x＞－，所以函数f(x)＝的定义域为.令f(x)＝＝0，解得x＝1或x＝－1(舍去)，所以函数f(x)的零点是1. 3．(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) 解析：选B.易知函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，f(x)的图象为一条连续的曲线，y＝0.3x与y＝－均在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减． f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.3>0，f(0.5)＝－<0， f(1)＝－0.7<0，f(2)＝0.09－<0， 根据函数零点存在定理可得，零点所在区间是(0.3，0.5). 4．若函数f(x)＝2x·(x－a)－1在区间(0，＋∞)内有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：选D.令2x·(x－a)－1＝0，则a＝x－(x>0).令g(x)＝x－(x>0)，该函数在定义域(0，＋∞)上单调递增，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故当a>－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．故选D. 5．方程3x－x2＝0在区间[－1，0]内(　　) A．没有解 B．有唯一的解 C．有两个不相等的正数解 D．有两个不相等的负数解 解析：选B.易知f(x)＝3x－x2在x∈[－1，0]上单调递增，又f(－1)＝3-1－1＝－<0，f(0)＝1>0，由零点存在定理可得3x－x2＝0在区间[－1，0]内有唯一的解．故选B. 6．(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是(　　) A．函数一定有两个零点 B．a>0时，函数一定有两个零点 C．a<0时，函数一定有两个零点 D．函数的零点个数是1或2 解析：选BCD.当a＝0时，函数y＝ax2－x－2a有唯一的零点x＝0，故A不正确； 当a≠0时，由y＝ax2－x－2a＝0，Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，故B，C正确； 由上述得函数的零点个数是1或2，故D正确．故选BCD. 7．函数f(x)＝(x－1)(x2－3)的零点是________． 解析：令f(x)＝0可得x＝1，x＝±. 答案：1，± 8．若函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的一个零点为0，则f(x)的另一个零点是________． 解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋a－1的一个零点为0， 所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x2＋x， 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1， 所以f(x)的另一个零点是－1. 答案：－1 9．已知函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)内存在零点，则实数m的取值范围是________． 解析：若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)内存在零点， 由函数f(x)在区间(2，4)上的图象连续不断，且f(x)为增函数，则根据零点存在定理可知，只需满足f(2)·f(4)<0， 即(m＋5)(m＋18)<0， 解得－18<m<－5， 所以实数m的取值范围是(－18，－5). 答案：(－18，－5) 10．(13分)求下列函数的零点： (1)f(x)＝(6分) (2)f(x)＝(lg x)2－lg x．(7分) 解：(1)因为函数f(x)＝ 当x＜1时，令f(x)＝(x＋1)ex＝0，解得x＝－1. 当x≥1时，令f(x)＝x2－2x＝0，解得x＝2或x＝0(舍去). 故函数f(x)的零点是－1，2. (2)令(lg x)2－lg x＝0，则(lg x)·(lg x－1)＝0， 所以lg x＝0或lg x＝1，即x＝1或x＝10， 故函数f(x)的零点是1，10. 11．(多选)下列说法正确的是(　　) A．函数y＝2x－1是增函数，零点为(0，0) B．已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(－1，0) C．函数y＝2x－x2的零点个数为3 D．函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是(0，1] 解析：选BCD.根据指数函数的性质知，y＝2x－1是R上的增函数，令y＝2x－1＝0，得x＝0，则函数的零点为0，故A错误；因为函数f(x)＝ax＋x－b，a>1，0<b<1，易得函数为R上的增函数，又f(－1)＝a-1－1－b<0，f(0)＝1－b>0，故函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(－1，0)，故B正确；函数y＝2x－x2的零点个数，即函数y＝2x与y＝x2图象的交点个数，如图所示． 两个函数图象有3个交点，故函数y＝2x－x2有3个零点，故C正确；因为函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，则有0<2x＝a2＋a≤2，且a>0，解得0<a≤1，故D正确．故选BCD. 12．(2026·南阳联考)方程2x+1－x＝5的正数解所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：选B.2x+1－x＝5即2x+1＝x＋5，所以方程的解为曲线y＝2x+1与直线y＝x＋5的公共点的横坐标． 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x+1，y＝x＋5的图象，如图所示． 由图可知，两函数图象在(0，＋∞)内只有1个公共点． 设f(x)＝2x+1－x－5，则f(1)＝－2＜0，f(2)＝1＞0， 所以f(1)f(2)＜0， 所以方程2x+1－x＝5的正数解所在的区间是(1，2). 13．已知函数f(x)＝若方程2[f(x)]2－mf(x)＝0有6个不等实根，则非零实数m的取值范围为____________． 解析：函数f(x)＝的图象如图，且f(2)＝8， 由2[f(x)]2－mf(x)＝0，可得f(x)＝0或f(x)＝， 当f(x)＝0时，f(x)＝0有3个不相等的实根， 又方程2[f(x)]2－mf(x)＝0有6个不相等的实根，则f(x)＝有3个不相等的实根， 所以∈[1，8)，解得m∈[2，16). 答案：[2，16) 14．(13分)已知函数f(x)＝x2－bx＋3. (1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(6分) (2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．(7分) 解：(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4， 所以f(x)＝x2－4x＋3， 令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝3或x＝1. 所以f(x)的零点是1和3. (2)因为f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1， 所以f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4. 故b的取值范围为(4，＋∞). 15．(15分)(2026·焦作月考)已知函数f(x)＝且点(4，2)在函数f(x)的图象上． (1)求f(f(－4))的值；(4分) (2)在图中的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(5分) (3)若方程f(x)－m＝0有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围．(6分) 解：(1)因为函数f(x)＝且点(4，2)在函数f(x)的图象上， 则f(4)＝loga4＝2，解得a＝2， 所以f(x)＝ 所以f(－4)＝|－4＋2|＝2， 因此f(f(－4))＝f(2)＝log22＝1. (2)作出函数f(x)＝的图象如图所示． (3)由f(x)－m＝0可得m＝f(x)， 由题意可知，直线y＝m与函数f(x)的图象有三个公共点， 由(2)知，当直线y＝m与函数f(x)的图象有三个公共点时，0＜m≤2， 因此，实数m的取值范围是(0，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $