第4章 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数、幂、对数函数增长的比较，以澳大利亚兔子繁殖实例导入，引出“爆炸性增长”问题，通过思考问题引导学生从具体现象抽象出函数模型，构建从现实到数学的知识支架。 其亮点在于用现实情境（数学眼光）激发探究欲，通过表格对比、例题分析（数学思维）清晰呈现增长差异，模型选择实例（数学语言）培养应用能力。如例2根据市场价数据选二次函数模型，小结系统梳理知识。帮助学生直观理解增长规律，提升建模能力，也为教师提供结构完整、实例丰富的教学资源。

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 　　1859年，有人从欧洲带进澳大利亚几只兔子，由于澳大利亚有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，不到100年，兔子数量达到100亿只，整个澳大利亚“兔”满为患，可见兔子在适宜的环境下，其繁育的数量呈“爆炸性增长”．你知道这种增长规律如何用函数模型表示吗？本节课我们一起来探究． 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型． 2．理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等增长含义． 3．能根据具体问题选择合适的函数模型． 返回导航 新课导入 学习目标 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点　三种常见函数模型的增长差异 思考1　把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一平面直角坐标系中，这三个函数在区间(0，＋∞)内的单调性是怎样的？ 提示：都是单调递增的． 返回导航 思考2　当x趋于正无穷大时，在这三个函数中，哪一个函数的增长速度最快？哪一个最慢？ 提示：一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长速度最快，对数函数y＝lg x增长速度最慢． 返回导航 [知识梳理] 函数 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xc (c>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 ________ ________ ________ 图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 随着c的不 同而不同 单调递增 单调递增 单调递增 返回导航 函数 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xc (c>0) 形象描述 指数爆炸 对数增长 相对平稳 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过__________的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有________ 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有________ y＝xc(c>0) logax<xc ax>xc>logax 返回导航 √ × × √ 返回导航 2．当x足够大时，下列函数增长速度最快的是(　　) A．y＝1.1x B．y＝x211 C．y＝log985x D．y＝2 027x A 返回导航 解析：函数y＝1.1x为单调递增的指数函数，函数y＝x211为单调递增的幂函数，y＝log985x为单调递增的对数函数，y＝2 027x为单调递增的一次函数，根据一次函数、指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质知，当x足够大时，指数函数增长速度最快． 返回导航 3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 30 y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505 y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120 y3 5 30 55 80 105 130 155 其中关于x呈指数增长的变量是________． 解析：指数增长为快速增长，因此，y1，y2，y3中呈指数增长的变量是y2. y2 返回导航 感悟提升 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增长的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增长的速度越来越慢，即增长速度趋于稳定． (4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于“指数爆炸”和“对数增长”之间． 返回导航 应用点一　函数增长速度的比较 [例1] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； 【解】　曲线C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. 返回导航 (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 026)，g(2 026)的大小关系． 【解】　因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以1<x1<2，9<x2<10， 所以x1<6<x2，2 026>x2， 由题图可知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6). 当x>x2时，f(x)>g(x)， 所以f(2 026)>g(2 026). 又因为g(2 026)>g(6)， 所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6). 返回导航 感悟提升 不同函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断． (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数． 返回导航 [跟踪训练1] 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数； 解：由题图知，曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x. 返回导航 (2)比较两函数的增长差异，并以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较． 解：观察题图可知，函数f(x)，g(x)在(0，＋∞)上都单调递增，随着x的增大，f(x)的增长速度越来越慢，g(x)的增长速度保持不变． 当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x). 返回导航 应用点二　函数模型的选择 [例2] (2026·南阳月考)某产品近日开始上市，通过市场调查，得到每件该产品的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如表： 上市时间x/天 4 10 36 市场价y/元 90 51 90 (1)根据上表数据，从下列函数模型中选取一个恰当的函数模型来描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由； ①y＝ax＋b(a≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝alogbx(a≠0，b>0，且b≠1). 返回导航 【解】　因为随着时间x的增加，y的值先减小后增大，而所给的函数模型中y＝ax＋b(a≠0)和y＝alogbx(a≠0，b>0，且b≠1)都是单调函数，不满足题意，所以选择y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 返回导航 (2)利用你选取的函数模型，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格． 返回导航 感悟提升 函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择合适的模型，进行数据的拟合． 返回导航 [跟踪训练2] 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表： 月份 1 2 3 月产量(千件) 50 52 53.9 为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，a>0且a≠1)来模拟这种电脑元件的月产量y(单位：千件)与月份x的关系．请问：用以上哪个函数模拟较好？说明理由． 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 25 B 1．在一次数学试验中，采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 解析：在直角坐标系中描出各点(图略)，知最接近的函数模型为y＝a＋bx. 返回导航 2．(2026·深圳期末)下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是(　　) A.y＝10×1.05x B．y＝20＋x2 C.y＝30＋lg (x＋1) D．y＝50x A 解析：指数函数y＝1.05x的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，比幂函数y＝x2、对数函数y＝lg (x＋1)、一次函数y＝50x增长的速度都快，所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是y＝10×1.05x. 返回导航 3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案： 甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择_______________方案． 解析：将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出． 乙、甲、丙 返回导航 4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．(用“>”连接) 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象恒在函数g(x)＝2x图象的上方，则当x∈R时，f(x)>g(x). f(x)>g(x) 返回导航 课堂小结 1．已学习：三种常见函数模型：指数型函数增长模型、对数型函数增长模型、线性函数增长模型． 2．须贯通：不同的函数模型，其增长速度具有差异．选取数学模型时，需抓住问题中蕴含的数学信息，恰当、准确地分析原始数据的变化规律，选择与原型有“相似性”的数学模型． 3．应注意：不同的函数模型增长速度的差异． 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(　　) (2)对任意的x>0，kx>logax.(　　) (3)对任意的x>0，ax>logax.(　　) (4)函数y＝logx减小的速度越来越慢．(　　) $