第3章 3 第2课时 指数函数的性质及应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数函数的性质及应用，以上节课的定义和图象为基础，通过引导学生在同一坐标系中绘制不同底数的指数函数图象，观察位置与变化趋势，构建从图象到性质的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“数学眼光”引导学生抽象图象共性，用“数学思维”分类讨论底数不同时的单调性与函数值比较，如例2通过中间量1比较大小，结合“数学语言”总结定义域值域、比较大小等问题的解题模型，助力学生提升推理与应用能力，为教师提供系统的教学资源与方法支持。

第2课时　指数函数的性质及应用 　　上节课我们学习了指数函数的定义和图象．一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数的性质，这节课我们利用指数函数的图象一起去探讨指数函数的有关性质及应用． 1.结合图象，掌握指数函数的性质． 2．学会用指数函数的性质求解函数的性质及应用问题． 返回导航 新课导入 学习目标 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 提示：共同的性质：(1)当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调递减．(2)函数的图象恒过点(0，1). 返回导航 [知识梳理] 类别 a>b>1 0<a<b<1 图象 定义域 ________ ________ 值域 ________ ________ 单调性 在R上是________ 在R上是________ R R (0，＋∞) (0，＋∞) 增函数 减函数 返回导航 类别 a>b>1 0<a<b<1 定点 ________ ________ 趋势 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于________ 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于________ 函数值 比较 当x<0时，0<ax<bx<1； 当x＝0时，ax＝bx＝1； 当x>0时，ax>bx>1 当x<0时，ax>bx>1； 当x＝0时，ax＝bx＝1； 当x>0时，0<ax<bx<1　 (0，1) (0，1) 0 正无穷大 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 求指数型函数的定义域、值域的方法 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝af(x)型还是y＝f(ax)型，前者的定义域与f(x)的定义域一致，求后者的定义域时，往往转化为解指数不等式(组). (2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性． 返回导航 (0，1) 返回导航 解析：因为ax－a≥0，所以ax≥a，所以当a>1时，x≥1，故当函数定义域为[1，＋∞)时，a>1满足题意． (1，＋∞) 返回导航 【解】　由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故可以构造函数y＝1.7x，函数y＝1.7x是R上的增函数， 又2.5<3，所以1.72.5<1.73. 角度2　比较大小 [例2] (对接教材例3、例5)比较下列各组数的大小： (1)1.72.5，1.73； 返回导航 返回导航 (3)2.3-0.28，0.67-3.1； 【解】由指数函数的性质知，2.3-0.28<2.30＝1，0.67-3.1>0.670＝1，所以2.3-0.28<0.67-3.1. 【解】由指数函数的性质知，60.7>60＝1，0.80.7>0.70.7>0.70.8，0.80.7<0.80＝1，所以60.7>0.80.7>0.70.8. (4)60.7，0.70.8，0.80.7. 返回导航 感悟提升 指数幂的大小比较问题的类型及解法 返回导航 [跟踪训练2] (1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 解析：因为1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.故选C. C 返回导航 返回导航 ②1.70.3，1.50.3； 方法二：幂函数y＝x0.3在R上单调递增， 又1.7>1.5，所以1.70.3>1.50.3. 返回导航 ③1.40.1，0.90.3； 解：分别构造函数y＝1.4x与y＝0.9x. 因为1.4＞1，0＜0.9＜1，所以y＝1.4x与y＝0.9x在R上分别为增函数和减函数． 因为0.1＞0，所以1.40.1＞1.40＝1， 因为0.3＞0，所以0.90.3＜0.90＝1，所以1.40.1＞0.90.3. 返回导航 ④(a＋1)-0.2，(a＋1)0.3，其中a∈R，且a>－1. 解：当a＋1>1，即a>0时，函数y＝(a＋1)x在R上单调递增，又－0.2<0.3， 所以(a＋1)-0.2<(a＋1)0.3； 当a＋1＝1，即a＝0时，函数y＝(a＋1)x＝1， 所以(a＋1)-0.2＝(a＋1)0.3； 当0<a＋1<1，即－1<a<0时，函数y＝(a＋1)x在R上单调递减，又－0.2<0.3，所以(a＋1)-0.2>(a＋1)0.3. 返回导航 AB 返回导航 (－∞，2]∪[3，＋∞) 返回导航 解：原不等式可化为a－2x2＋3x－1≤a5－2x－x2， 当a>1时，可得－2x2＋3x－1≤5－2x－x2，解得x≥3或x≤2； 当0<a<1时，可得－2x2＋3x－1≥5－2x－x2，解得2≤x≤3. 综上，当a>1时，原不等式的解集是(－∞，2]∪[3，＋∞)；　 当0<a<1时，原不等式的解集是[2，3]. 返回导航 感悟提升 解指数方程、不等式的思路 返回导航 B 返回导航 {1，－3} 返回导航 返回导航 (2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)； 返回导航 (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 返回导航 母题探究　本例(3)改为：若对任意的t∈[1，2]，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解：因为f(x)为奇函数，所以f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)<f(k－2t2)，　 由例4(2)知f(x)在R上为减函数，所以t2－2t>k－2t2在t∈[1，2]上恒成立， 即k<3t2－2t在t∈[1，2]上恒成立． 令g(t)＝3t2－2t(1≤t≤2)，显然g(t)在[1，2]上单调递增， 所以g(t)min＝g(1)＝3－2＝1，所以k<1. 所以实数k的取值范围是(－∞，1). 返回导航 感悟提升 与指数函数性质有关的综合问题的求解策略 (1)判断与指数函数有关的函数的奇偶性与判断一般函数的奇偶性相同． (2)求解与指数函数有关的函数单调性问题，应利用指数函数的单调性性质或单调性定义，对于底数不确定的要按照底数与1的大小关系分类讨论． 返回导航 [跟踪训练4] (2026·南阳月考)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数． (1)求k的值； 解：方法一：因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0，即k－1＝0，所以k＝1. 当k＝1时，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)， 故k＝1符合题意． 返回导航 返回导航 (2)若f(1)>0，试判断函数f(x)的单调性，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集． 故f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0，即f(x2＋2x)>－f(4－x2)＝f(x2－4)，所以x2＋2x>x2－4，解得x>－2. 所以函数f(x)在R上单调递增，且不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集为{x|x>－2}． 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 37 A 返回导航 B 返回导航 (－4，2) 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：指数函数的性质及应用． 2．须贯通：利用指数函数的性质求解函数的性质及应用问题． 3．应注意：(1)求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0； (2)利用单调性解决问题时，易忽视对底数的讨论． 返回导航 (2)y＝. 【解】　定义域为R.因为|x|≥0，所以y＝＝≥＝1，所以此函数的值域为[1，＋∞). 角度3　解指数方程、不等式 [例3] (多选)已知()2x2－3x＋1＝25－2x－x2，则x的值可以是(　　) A．2 B．3 C．1 D．－ 【解析】　由()2x2－3x＋1＝25－2x－x2，得2－2x2＋3x－1＝25－2x－x2， 所以－2x2＋3x－1＝5－2x－x2，整理得x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3. 母题探究1　本例改为：()2x2－3x＋1≤25－2x－x2的解集是__________________． 解析：原不等式可化为2－2x2＋3x－1≤25－2x－x2，因为y＝2x在R上是增函数，所以－2x2＋3x－1≤5－2x－x2，即x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3，所以不等式()2x2－3x＋1≤25－2x－x2的解集是(－∞，2]∪[3，＋∞). [跟踪训练3] (1)已知不等式()x2＋ax<()2x＋a-2恒成立，则a的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．(－2，2) C．[0，2] D．[－3，3] 解析：不等式()x2＋ax<()2x＋a-2恒成立，即x2＋ax>2x＋a－2， 亦即x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立，则Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0， 解得－2<a<2，故a的取值范围是(－2，2).故选B. (2)方程()x－x2－32x2＋x－3＝0的解集是________．　 1．(教材P89T1改编)设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 3．(教材P89T2改编)求满足()x2－8>42x的x的取值集合是________． 解析：由题，()x2－8>42x即4－ x2＋8>42x，所以－x2＋8>2x，x2＋2x－8<0， 所以(x＋4)(x－2)<0解得x∈(－4，2). 4．(2026·济源月考)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2，)，求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的最大值． 因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以0<x2－2x ≤3， 即函数g(x)＝ax2－2x (x≥0)的最大值为3. $