3.3.1&3.3.2 第2课时 指数函数及其性质的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学指数函数性质的应用，衔接指数函数定义、图象与基本性质，通过指数式大小比较、解指数型不等式或方程、指数型函数单调性分析及综合应用，构建从基础到应用的学习支架。 资料以“题型+通性通法+变式训练”设计，通过具体例题培养数学运算与逻辑推理能力，母题探究变式发展创新意识，助力教师系统授课，学生课后可自主复习查漏补缺，体现数学思维与探究精神。

第二课时　指数函数及其性质的应用 课标 要求 1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式（逻辑推理、数学运算）. 2.能利用指数函数的图象与性质解决较为一般的综合问题（直观想象、逻辑推理）. 题型一　指数式的大小比较 比较下列各题中两个值的大小： （1）1.11.1，1.10.9； 解：因为y＝1.1x是增函数，1.1＞0.9，故1.11.1＞1.10.9. （2）0.1－0.2，0.10.9； 解：因为y＝0.1x是减函数，－0.2＜0.9，故0.1－0.2＞0.10.9. （3）1.70.1，0.91.1； 解：因为1.70.1＞1.70＝1，0.91.1＜0.90＝1，故1.70.1＞0.91.1. （4）0.70.8，0.80.7. 解：取中间值0.70.7，因为0.70.8＜0.70.7＜0.80.7，故0.70.8＜0.80.7. 通性通法 比较指数式大小的3种类型及处理方法 比较下列各题中两个值的大小： （1）0.8－0.1，1.250.2； 解：∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数. ∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1， 而0.8－0.2＝＝1.250.2， 即0.8－0.1＜1.250.2. （2）与； 解：作出指数函数y＝与y＝的图象（如图），由图知＞. （3）a0.5与a0.6（a＞0，且a≠1）. 解：a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值. 当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上是减函数.∵0.5＜0.6，∴a0.5＞a0.6.当a＞1时，函数y＝ax在R上是增函数.∵0.5＜0.6，∴a0.5＜a0.6.综上所述，当0＜a＜1时，a0.5＞a0.6；当a＞1时，a0.5＜a0.6. 题型二　解指数型不等式或方程 求解下列不等式： （1）已知3x≥，求实数x的取值范围； 解：因为＝30.5，所以由3x≥可得3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5. （2）若a－5x＞ax＋7（a＞0且a≠1），求x的取值范围. 解：①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－. ②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－. 综上，当0＜a＜1时，x＞－；当a＞1时，x＜－. 通性通法 1.指数型不等式的求解方法 （1）指数型不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，且a≠1）的解法：当a＞1时，f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，f（x）＜g（x）； （2）如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0（a＞0，且a≠1），a－x＝（a＞0，且a≠1）等. 2.指数型方程的求解方法 （1）同底法：形如af（x）＝ag（x）（a＞0，且a≠1）的方程，化为f（x）＝g（x）求解； （2）换元法：形如a2x＋b·ax＋c＝0（a＞0，且a≠1）的方程，用换元法求解，求解时应特别注意ax＞0. 1.已知函数f（x）＝若f（a）＜1，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－3） B.（1，＋∞） C.（－3，1） D.（－∞，－3）∪（1，＋∞） 解析：C　由题意，知f（a）＜1等价于或解得－3＜a＜0或0≤a＜1，所以－3＜a＜1.故选C. 2.不等式23－2x＜0.53x－4的解集为　{x｜x＜1}　. 解析：原不等式可化为23－2x＜24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x＜4－3x，解得x＜1，则不等式的解集为{x｜x＜1}. 题型三　指数型函数的单调性 判断f（x）＝的单调性，并求其值域. 解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝. ∵u＝x2－2x＝（x－1）2－1在（－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增，又∵y＝在（－∞，＋∞）上为减函数， ∴y＝在（－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减. ∵u＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1， ∴y＝，u∈[－1，＋∞）， ∴0＜≤＝3，∴原函数的值域为（0，3]. 【母题探究】 1.（变条件，变设问）若函数y＝｜2x－1｜在（－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是　（－∞，0]　. 解析：在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位长度得到y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1在x轴下方的图象翻折到x轴上方，其余部分不变.如图，得到y＝｜2x－1｜的图象，由图可知y＝｜2x－1｜在（－∞，0]上单调递减，故m∈（－∞，0]. 2.（变条件，变设问）把本例的函数变为“f（x）＝”，求其单调区间. 解：函数y＝的定义域为R. 令u＝－x2＋2x，则y＝2u. 当x∈（－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x单调递增，函数y＝2u单调递增， 所以函数y＝在（－∞，1]上单调递增. 当x∈[1，＋∞）时，函数u＝－x2＋2x单调递减，函数y＝2u单调递增，所以函数y＝在[1，＋∞）上单调递减. 综上，函数y＝的单调减区间是[1，＋∞），单调增区间是（－∞，1]. 通性通法 函数y＝af（x）（a＞0，a≠1）的单调性的处理技巧 （1）指数型函数y＝af（x）（a＞0，且a≠1）的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f（x）的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f（x）复合而成； （2）求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f（u），u＝φ（x），通过考查f（u）和φ（x）的单调性，求出y＝f（φ（x））的单调性. 1.画出函数y＝2－｜x｜的图象，并根据图象求函数的单调区间. 解：y＝2－｜x｜＝的图象如图所示. 由图象可得函数y＝2－｜x｜的单调递增区间为（－∞，0]，单调递减区间为（0，＋∞）. 2.函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值. 解：①若a＞1，则f（x）在[1，2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a. 所以a2－a＝，解得a＝或a＝0（舍去）. ②若0＜a＜1，则f（x）在[1，2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2. 所以a－a2＝，解得a＝或a＝0（舍去）. 综上所述，a的值为或. 题型四　指数函数性质的综合应用 已知定义在R上的函数f（x）＝a＋是奇函数. （1）求a的值； 解：∵f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数， ∴f（0）＝0，即a＋＝0，∴a＝－. （2）判断f（x）的单调性（不需要写出理由）； 解：由（1）知f（x）＝－＋， 故f（x）在R上为减函数. （3）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求实数k的取值范围. 解：∵f（x）为奇函数， ∴f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0可化为f（t2－2t）＜f（k－2t2）. 由（2）知f（x）在R上为减函数， ∴t2－2t＞k－2t2， 即3t2－2t－k＞0对于一切t∈R恒成立， ∴Δ＝4＋12k＜0，得k＜－， ∴k的取值范围是. 通性通法 解决指数函数性质的综合问题的注意点 （1）注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧； （2）解答函数问题注意应在函数定义域内进行； （3）由于指数函数的单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论. 设a＞0，函数f（x）＝＋是定义域为R的偶函数. （1）求实数a的值； 解：由f（x）＝f（－x），得＋＝＋， 即4x＋＝0， 所以＝0， 根据题意，可得－a＝0， 又a＞0，所以a＝1. （2）求f（x）在[0，1]上的值域. 解：由（1）可知f（x）＝4x＋， 设任意的x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝＋－－＝（－）. 因为0≤x1＜x2，所以＜，所以－＜0. 又因为x1＋x2＞0，所以＞1，所以1－＞0， 所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）. 所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增. 所以函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）＝4＋＝；最小值为f（0）＝1＋1＝2. 故f（x）在[0，1]上的值域为. 1.方程42x－1＝16的解是（　　） A.x＝－ B.x＝ C.x＝1 D.x＝2 解析：B　∵42x－1＝42，∴2x－1＝2，即x＝. 2.若函数f（x）＝（1－2a）x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解析：B　由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是. 3.函数y＝的单调递增区间为（　　） A.（－∞，＋∞） B.（0，＋∞） C.（1，＋∞） D.（0，1） 解析：A　由已知得，f（x）的定义域为R.设u＝1－x，则y＝.因为u＝1－x在R上为减函数，又因为y＝在R上为减函数，所以y＝在R上为增函数，故选A. 4.〔多选〕下列大小关系正确的有（　　） A.22.1＞2.12 B.23.9＜3.92 C.＜ D.（＜（ 解析：BCD　当x∈（2，4）时，2x＜x2，所以22.1＜2.12，23.9＜3.92，故选项A错误，选项B正确；因为y＝为减函数，－0.2＞－0.3，故＜成立，故选项C正确；对于D，因为y＝在（0，＋∞）上为增函数，＜，所以（＜（，故正确.故选B、C、D. 5.不等式＞的解集为　（1，2）　. 解析：因为y＝是减函数，且＞，所以x2－2x－2＜x－4，即x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2. 1.“2x≤1”是“x＞－1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：D　由2x≤1＝20，得x≤0，所以“2x≤1”是“x＞－1”的既不充分也不必要条件.故选D. 2.函数y＝－1的值域为（　　） A.[1，＋∞） B.（－1，1） C.[－1，＋∞） D.[－1，1） 解析：D　∵2x＞0，∴4－2x＜4.又∵4－2x≥0，∴0≤4－2x＜4.令t＝4－2x，则t∈[0，4），∴∈[0，2），∴y∈[－1，1），即函数的值域是[－1，1）.故选D. 3.若关于x的不等式a2x≥a3－x（0＜a＜1）的解集为A，则函数y＝3x＋1，x∈A的最大值为（　　） A.1 B.3 C.6 D.9 解析：D　∵0＜a＜1，且a2x≥a3－x，∴2x≤3－x，解得x≤1，∴A＝{x｜x≤1}.又函数y＝3x＋1，x∈A为增函数，∴当x＝1时，y＝3x＋1取得最大值9. 4.函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则a＝（　　） A.或 B.或2 C. D.2 解析：B　函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍.当a＞1时，函数f（x）＝ax是增函数，f（x）max＝2f（x）min，∴f（2）＝2f（1），∴a2＝2a，∴a＝2.当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax是减函数，f（x）max＝2f（x）min，∴f（1）＝2f（2），∴a＝2a2，∴a＝.综上所述，a＝2或a＝.故选B. 5.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 解析：A　因为y＝（x＞0）为增函数，所以a＞c.因为y＝（x∈R）为减函数，所以c＞b，所以a＞c＞b. 6.〔多选〕若f（x）＝3x＋1，则（　　） A.f（x）在[－1，1]上单调递增 B.y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称 C.f（x）的图象过点（0，1） D.f（x）的值域为[1，＋∞） 解析：AB　f（x）＝3x＋1在R上为增函数，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f（0）＝2，得f（x）的图象过点（0，2），则C错误；由3x＞0，可得f（x）＞1，则D错误.故选A、B. 7.满足方程4x＋2x－2＝0的x的值为　0　. 解析：设t＝2x（t＞0），则原方程化为t2＋t－2＝0，∴t＝1或t＝－2.∵t＞0，∴t＝－2舍去.∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0. 8.已知函数f（x）＝为奇函数，则n的值为　2　. 解析：由f（0）＝＝0，解得n＝2，当n＝2时，f（x）＝，易证其是奇函数. 9.若不等式＞（）x＋1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为　　. 解析：因为不等式＞（）x＋1对一切实数x恒成立，所以＞（3－1）x＋1，即＞3－x－1对一切实数x恒成立，又因为y＝3x为R上的增函数，所以x2－2ax＞－x－1对一切实数x恒成立，所以x2＋（1－2a）x＋1＞0对一切实数x恒成立，故Δ＝（1－2a）2－4＜0，解得－＜a＜. 10.已知函数f（x）＝. （1）若a＝－1，求函数f（x）的单调增区间； （2）如果函数f（x）有最大值3，求实数a的值. 解：（1）当a＝－1时，f（x）＝， 令g（x）＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7， 由于g（x）在[－2，＋∞）上单调递减，y＝在R上是减函数，所以f（x）在[－2，＋∞）上单调递增，即f（x）的单调增区间是[－2，＋∞）. （2）令h（x）＝ax2－4x＋3，f（x）＝， 由于f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值－1. 因此必有解得a＝1， 即当f（x）有最大值3时，实数a的值为1. 11.若函数f（x）＝a｜2x－4｜（a＞0，且a≠1）满足f（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（　　） A.（－∞，2] B.[2，＋∞） C.[－2，＋∞） D.（－∞，－2] 解析：B　由f（1）＝，得a2＝，于是a＝，因此f（x）＝.令t＝｜2x－4｜，所以h（t）＝为减函数.因为g（x）＝｜2x－4｜在[2，＋∞）上单调递增，所以f（x）的单调递减区间是[2，＋∞）.故选B. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝a（）｜x｜＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则（　　） A.a＋b＝0 B.f（x）＝（）｜x｜－1 C.f（x）是偶函数 D.f（x）在（－∞，0]上单调递增 解析：AC　函数f（x）＝a（）｜x｜＋b的图象过原点，则a×（）0＋b＝0，即a＋b＝0，故A正确；函数f（x）的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，故b＝1，所以a＝－1，即f（x）＝－（）｜x｜＋1，故B错误；函数f（x）的定义域为R，f（－x）＝－（）｜－x｜＋1＝－（）｜x｜＋1＝f（x），故f（x）是偶函数，故C正确；当x∈（－∞，0]时，f（x）＝－（）－x＋1＝－3x＋1，所以f（x）在（－∞，0]上单调递减，故D错误. 13.函数y＝在区间（－∞，3）上单调递增，则实数a的取值范围是　[6，＋∞）　.若在区间[－1，1]上具有严格的单调性，则实数a的取值范围是　（－∞，－2]∪[2，＋∞）　. 解析：y＝在（－∞，3）上单调递增，即二次函数y＝－x2＋ax－1在（－∞，3）上单调递增，因此需要对称轴x＝≥3，解得a≥6.若函数在[－1，1]上具有严格的单调性，则≤－1或≥1，解得a≤－2或a≥2. 14.〔一题多解〕设函数f（x）＝kax－a－x（a＞0，且a≠1）是定义在R上的奇函数. （1）求k的值； （2）若f（1）＞0，试判断函数的单调性（不需证明），并求不等式f（x2＋2x）＋f（4－x2）＞0的解集. 解：（1）法一　∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（0）＝0，即k－1＝0，∴k＝1. 当k＝1时，f（x）＝ax－a－x，f（－x）＝a－x－ax＝－（ax－a－x）＝－f（x）， 故k＝1符合题意. 法二　∵f（－x）＝ka－x－ax，－f（x）＝－kax＋a－x，又f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）在定义域R上恒成立， ∴解得k＝1. （2）由（1）知f（x）＝ax－a－x，∵f（1）＝a－＞0， 又a＞0，且a≠1，∴a＞1. ∴y＝ax，y＝－都是R上的增函数， ∴f（x）是R上的增函数. 故f（x2＋2x）＋f（4－x2）＞0⇔f（x2＋2x）＞－f（4－x2）＝f（x2－4）⇔x2＋2x＞x2－4⇔x＞－2. ∴f（x）为R上的增函数，且不等式的解集为{x｜x＞－2}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $