第2章 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，涵盖由奇偶性求解析式、比较大小及解不等式三大核心内容，通过新知探究衔接已学奇偶性定义，以例题解析和跟踪训练搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合数学思维与数学语言，通过“感悟提升”提炼解题步骤，“母题探究”设计变式训练，如将偶函数比较大小改为奇函数情境，培养学生逻辑推理能力。课堂巩固与小结强化应用意识，助力学生系统掌握方法，教师可直接用于教学提升效率。

第2课时　函数奇偶性的应用 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 3 应用点一　由奇偶性求函数的解析式 [例1] (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．x2－3x B．－x2－3x C．－x2＋3x D．x2＋3x 【解析】由函数f(x)为偶函数，得当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x＝f(x)，　 所以当x<0时，f(x)＝x2＋3x. D 返回导航 【解析】由题意，函数f(x)在R上为奇函数，f(－x)＝－f(x)， 所以f(0)＝a＋2＝0，即a＝－2， 返回导航 感悟提升 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设x； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x). 注意　已知函数f(x)，g(x)的组合运算与奇偶性，把x换为－x，构造方程组求解． 返回导航 [跟踪训练1] 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)＝x2－2x＋3，则 f(x)＝______________________________． 解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0. 当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3； 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 又因为f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 返回导航 应用点二　利用函数的单调性和奇偶性比较大小 [例2] 设f(x)为定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序为(　　) A．f(－π)<f(－2)<f(3) B．f(－2)<f(3)<f(－π) C．f(－π)<f(3)<f(－2) D．f(3)<f(－2)<f(－π) 【解析】　因为f(x)为定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，2<3<π，所以f(2)<f(3)<f(π)，　 即f(－2)<f(3)<f(－π). B 返回导航 母题探究　本例中的条件“偶函数”变为“奇函数”时，三者的大小关系如何呢？ 解：因为f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，所以f(x)在R上为增函数，而－π<－2<3，所以f(－π)<f(－2)<f(3).　 返回导航 感悟提升 比较函数值大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小． 常用结论　(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，即奇函数在对称区间上的单调性相同． (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，即偶函数在对称区间上的单调性相反． 返回导航 返回导航 D 返回导航 返回导航 感悟提升 利用函数的奇偶性、单调性解不等式的步骤 (1)解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为两个函数值的大小关系． (2)利用单调性脱去符号“f”，转化为简单的不等式(组)求解． 注意　在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需要转化为含有符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)<f(1)；偶函数中f(x)＝f(|x|)的灵活应用． 返回导航 D 返回导航 返回导航 (2)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(－3)＝0，若不等式f(x－m)>0的解集为(－1，5)，则实数m＝__________________. 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0， 又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以不等式f(x－m)>0可转化为f(|x－m|)>f(3)，所以|x－m|<3，解得m－3<x<m＋3， 所以m－3＝－1且m＋3＝5，即m＝2. 2 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 18 C 1．(教材P69T5(1)改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，则x>0时，f(x)＝(　　) A．－x2－2x　　　　　　　 B．x2－2x C．－x2＋2x D．x2＋2x 解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－2x＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋2x. 返回导航 2．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)，则下列各式中一定成立的是(　　) A．f(－1)<f(3) B．f(1)<f(－3) C．f(3)>f(2) D．f(2)>f(0) 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，所以f(－3)>f(1)，f(3)>f(－1)都成立． AB 返回导航 3．请写出一个满足以下两个条件的函数f(x)＝_____________________． ①f(x)是偶函数；②f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 解析：因为f(x)是偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数可以是f(x)＝x2(答案不唯一). x2(答案不唯一) 返回导航 4．已知函数f(x)是定义域在R上的奇函数，且在区间(－∞，0]上单调递减，求满足f(x2＋2x－3)>f(－x2－4x＋5)的x的集合． 解：依题意得函数f(x)在R上单调递减， 由于f(x2＋2x－3)>f(－x2－4x＋5)， 所以x2＋2x－3<－x2－4x＋5，即x2＋3x－4<0， 所以x2＋3x－4＝(x＋4)(x－1)<0， 解得－4<x<1，所以满足f(x2＋2x－3)>f(－x2－4x＋5)的x的集合为{x|－4<x<1}． 返回导航 课堂小结 1．已学习：(1)利用奇偶性求函数的解析式． (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式． 2．须贯通：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，特别地，利用偶函数f(x)＝f(|x|)能起到化繁为简的效果． 3．应注意：解不等式易忽视函数的定义域． 返回导航 (2)设a为实数，函数f(x)＝是奇函数，则g(x)＝____________． [跟踪训练2] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(－3)，f，f的大小顺序是_____________________．(用“<”连接) $