第2章 4.1 第1课时 函数的奇偶性-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，涵盖概念、判断方法及图象特征，通过剪纸对称美导入，搭建从生活直观到数学抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合实例探究培养数学眼光，通过定义法判断步骤（定义域对称、算f(-x)、比较关系）发展数学思维，用表格梳理知识、例题规范解答体现数学语言。对学生提升抽象与推理能力，对教师提供系统教学资源，提高教学效率。

§ 4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4．1　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 　　生活因对称而美丽，观看下图中的剪纸工艺品图片，感受剪纸艺术中的对称美吧．   对称美在数学中更是体现得淋漓尽致，今天就让我们一起来探究函数图象中的对称美吧． 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．能判断函数的奇偶性，运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题． 3．会根据函数的奇偶性求函数值、参数或函数的解析式． 4．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决简单的综合问题． 返回导航 新课导入 学习目标 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　函数奇偶性的概念及判断 思考　画出函数y＝x2和y＝x3的图象，你发现它们的图象有什么特征吗？ 提示：观察图象(图略)发现，函数y＝x2的图象关于y轴对称，函数y＝x3的图象关于原点对称． 返回导航 [知识梳理] 类别 奇函数 偶函数 定义 前提 函数f(x)的定义域是A，对任意的x∈A，有－x∈A 条件 f(－x)＝_____________ f(－x)＝______________ 结论 称函数f(x)为 奇函数 称函数f(x)为 偶函数 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性 －f(x) f(x) 返回导航 原点 返回导航 [例1] (对接教材例2)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x4＋|x|； 【解】函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)4＋|－x|＝x4＋|x|＝f(x)，因此函数f(x)是偶函数． 返回导航 【解】函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 返回导航 感悟提升 定义法判断函数的奇偶性的步骤 返回导航 返回导航 (2)f(x)＝2－|x|； 解：函数的定义域为R，关于原点对称，由f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数． 解：由x－1≠0⇒x≠1，所以函数的定义域为{x|x≠1}，因为定义域不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 返回导航 知识点二　奇、偶函数的图象及应用 [知识梳理] 奇、偶函数的图象特征 (1)奇函数的图象关于______________对称． (2)偶函数的图象关于______________对称． 原点 y轴 返回导航 [例2] 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． 返回导航 (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； 【解】由题意作出函数图象如图所示． (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； 【解】由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞). (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．  【解】由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2). 返回导航 母题探究　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解：(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，1).　 (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞). 返回导航 感悟提升 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 注意　作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0). 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示，那么f(－2)与f(3)的大小关系是__________．(用“<”连接) 解析：由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．   观察图象，知f(3)<f(－2). f(3)<f(－2) 返回导航 解析：①先描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象，如图． 不等式xf(x)>0即横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2). ②画出函数f(x)的图象如图所示． 由图象可知，不等式xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0，2). (2)定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示． ①若f(x)为奇函数，则不等式xf(x)>0的解集为_________________； ②若f(x)为偶函数，则不等式xf(x)>0的解集为_________________． (－2，0)∪(0，2) (－∞，－2)∪(0，2) 返回导航 C 应用点　利用函数的奇偶性求值 [例3] (1)已知f(x)＝ax2＋bx＋4a＋2b是定义在[a－5，2a－1]上的偶函数，则a＋b＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】因为f(x)是偶函数，所以定义域关于原点对称，则a－5＋2a－1＝3a－6＝0，解得a＝2. 又f(x)＝f(－x)，即2x2＋bx＋8＋2b＝2(－x)2＋b(－x)＋8＋2b， 所以2bx＝0对任意的x∈[－3，3]恒成立，可得b＝0， 所以a＋b＝2. 返回导航 (2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝__________． 【解析】令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，易知g(x)是奇函数，所以f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2＝－3，所以g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7. 7 返回导航 感悟提升 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 返回导航 [跟踪训练3] (1)已知f(x)是偶函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋ax，若f(－1)＝2，则f(－2)的值是________． 解析：根据题意， 得f(－1)＝f(1)＝1＋a＝2，则a＝1， 所以当x＞0时，f(x)＝x2＋x， 又因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6. 6 返回导航 解析：方法一：设x<0，则－x>0， 则f(－x)＝－x2－ax，f(x)＝x2＋4x， 因为f(x)是奇函数， 则f(－x)＝－f(x)， 即－x2－ax＝－x2－4x， 可得a＝4. 方法二：因为f(x)是奇函数， 则f(－1)＝－f(1)，即1－4＝－(－1＋a)， 解得a＝4，经检验a＝4满足条件． 4 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 25 B 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) 解析：B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．故选B. 返回导航 A 返回导航 3．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________． 解析：方法一：显然x∈R， 由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|. 又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)， 即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|， 即|x＋a|＝|x－a|. 又x∈R，所以a＝0. 方法二：由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0，经检验a＝0符合题意． 0 返回导航 4．(2026·亳州月考)如图为奇函数y＝f(x)的部分图象，已知f(x)的定义域为[－5，5]. (1)求f(0)的值； 解：f(x)是定义在[－5，5]上的奇函数，故f(0)＝0. (2)试补全f(x)的图象； 解：图象如图所示． (3)比较f(1)与f(3)的大小． 解：由(2)中函数图象可以看出f(x)在[1，5]上单调递增，故f(1)<f(3). 返回导航 课堂小结 1．已学习：函数奇偶性的概念，奇、偶函数的图象特征及应用． 2．须贯通：利用函数的奇偶性解决一些简单的问题． 3．应注意：(1)判断奇偶性时忽略函数的定义域的对称性； (2)特值法求参数忽略检验． 返回导航 类别 奇函数 偶函数 定义域特征 奇函数和偶函数的定义域均关于______________对称 等价形式 f(x)＋f(－x)＝0 f(x)－f(－x)＝0 ＝－1 (f(x)≠0) ＝1 (f(x)≠0) $