第2章 3 第2课时 函数单调性的证明和应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数单调性的证明与应用，以定义证明为起点，通过例1及母题探究（含参数讨论）构建基础认知，再延伸至求最值、比较大小、解不等式、求参数等应用点，形成递进式学习支架。 其亮点在于通过“定义证明步骤总结+母题变式拓展+跟踪训练分层”设计，结合数学思维（推理、抽象）与数学语言（问题表达），如例3解不等式体现逻辑推理，母题探究培养参数讨论能力，助力学生提升理性思维，教师可高效开展分层教学。

第2课时　函数单调性的证明和应用 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 3 因为x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2， 返回导航 返回导航 返回导航 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－1，1)上单调递增． 综上，当a＝0时，f(x)在(－1，1)上不具有单调性； 当a＞0时，f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x)在(－1，1)上单调递增． 返回导航 感悟提升 (1)证明函数单调性的一般步骤 (2)常用的变形技巧 ①因式分解，当原函数是多项式函数时，通常作差变形后进行因式分解；②通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；③配方；④分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化． 返回导航 解：因为f(1)＝2， 所以2＝1＋m，所以m＝1. 返回导航 (2)根据定义证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 返回导航 因为2≤x1<x2≤4，所以x1－x2<0，1－x1<0，1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[2，4]上单调递增，所以f(x)max＝f(4)＝1，f(x)min＝f(2)＝－3. 返回导航 角度2　比较大小、解不等式 [例3] (1)函数f(x)在区间(－1，3]上单调递减，则(　　) A．f(－2)>f(2)　　　　 B．f(0)<f(3) C．f(－1)>f(3) D．f(0)>f(3) 【解析】对于A，因为－2∉(－1，3]，所以不能判断f(－2)，f(2)的大小关系，因此A不正确； 对于B，D，因为0，3∈(－1，3]，且函数f(x)在区间(－1，3]上单调递减， 所以f(0)>f(3)，因此B不正确，D正确； 对于C，因为－1∉(－1，3]，所以不能判断f(－1)，f(3)的大小关系，因此C不正确． D 返回导航 (2)(2026·焦作月考)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，且f(x－1)<f(1－3x)，则x的取值范围是____________． 返回导航 A 返回导航 角度3　已知函数单调性求参数 [例4] (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间[3，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是__________． 【解析】因为f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3， 所以函数的单调递减区间为[－a－1，＋∞)， 由f(x)在[3，＋∞)上单调递减知－a－1≤3， 解得a≥－4，即实数a的取值范围是[－4，＋∞). [－4，＋∞) 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在利用函数的单调性比较函数值大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间内． (2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错． (3)由分段函数单调性求参数范围时，一般从两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面是考虑端点处的衔接情况，由此列出另一相关式子，求解即可． 返回导航 C [跟踪训练2] (1)(2026·济源月考)函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[2，3) D．[0，3) 解析：因为f(2)＝－1，所以由f(2x－4)>－1，得f(2x－4)>f(2)，又f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，所以0≤2x－4<2，解得2≤x＜3，故选C. 返回导航 AC 又f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，所以f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增，故b≥－1.故选AC. 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 22 B 1．若函数f(x)＝2x2－ax＋3在区间[1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，4] C．[2，＋∞) D．[4，＋∞) 返回导航 2．函数f(x)＝(m－1)x＋b是R上的增函数，则(　　) A．f(m)>f(1) B．f(m)<f(1) C．f(m)≥f(1) D．f(m)≤f(1) 解析：由题意知m－1>0，所以m>1，所以f(m)>f(1). A 返回导航 [1，3] 返回导航 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增． 返回导航 (2)求函数在区间[2，4]上的最值． 返回导航 课堂小结 1．已学习：定义法证明、判断函数的单调性． 2．须贯通：利用函数的单调性求最值、比较大小、求参数、解不等式． 3．应注意：(1)用定义证明单调性时化简不彻底； (2)利用函数单调性解决问题时忽略其定义域． 返回导航 $