第2章 2.2 第2课时 分段函数-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦分段函数，涵盖求值、定义域值域、图象及方程不等式、实际应用等核心知识点，通过例题导入结合跟踪训练，构建从基础概念到实际问题的学习支架，衔接函数基本概念与复杂应用场景。 其亮点在于结合图象法与解析法培养几何直观（数学眼光），通过分类讨论求解问题发展推理能力（数学思维），实际应用案例强化模型观念（数学语言）。分层设计与母题探究帮助学生深化理解，教师使用可提升教学效率，助力学生掌握分段函数解题方法。

第2课时　分段函数 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 3 C 返回导航 函数f(x)的定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1，1). (－1，1) (－1，1) 返回导航 又当0<x<1时，0<－x2＋1<1； 当－1<x<0时，－1<x2－1<0； 当x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1). 返回导航 感悟提升 (1)分段函数的定义域是所有自变量取值范围的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式． (2)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集． 返回导航 解析：由题知，f(10)＝f(10－3)＝f(7)，f(7)＝f(7－3)＝f(4)， f(4)＝f(4－3)＝f(1)，f(1)＝f(1－3)＝f(－2)，f(－2)＝3×(－2)2－5＝7. 7 返回导航 {－2，0，2} 返回导航 知识点二　分段函数的图象 [例2] 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}，即f(x)和g(x)中的较小者． (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； 【解】在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象如图1. 由图1中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图2. 返回导航 返回导航 (2)求函数φ(x)的定义域，值域． 【解】由(1)中图2知，φ(x)的定义域为R，φ(x)的最大值为φ(1)＝1，所以φ(x)的值域为(－∞，1]. 返回导航 母题探究　在本例中，令u(x)＝max{f(x)，g(x)}，即f(x)和g(x)中的较大者． (1)分别用图象法和解析法表示u(x)； 解：由例2解析图1中函数取值的情况，结合函数u(x)的定义，可得函数u(x)的图象如图． 返回导航 (2)求函数u(x)的定义域，值域． 解：由(1)中图象知，u(x)的定义域为R，值域为R. 返回导航 感悟提升 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 返回导航 返回导航 (2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域． 由图象知，f(x)的值域为[1，3). 返回导航 1或2 (1，2)∪(2，＋∞) 返回导航 【解析】　若f(a)＝3，则 ①当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，所以a＝2＞－2，不符合题意，舍去． ②当－2＜a＜2时，f(a)＝a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.所以(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3. 因为1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)，所以a＝1符合题意． ③当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，所以a＝2，符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. 返回导航 若f(a)＞3，则 ①当a≤－2时，a＋1＞3，解得a＞2，不符合题意，舍去． ②当－2＜a＜2时，a2＋2a＞3，解得a＞1或a＜－3，又－2＜a＜2，所以1＜a＜2. ③当a≥2时，2a－1＞3，解得a＞2， 又a≥2，所以a＞2. 综上，实数a的取值范围是(1，2)∪(2，＋∞). 返回导航 感悟提升 与分段函数有关的方程、不等式的解法 先对未知数x的取值范围分类讨论；然后代入不同的解析式，解方程式或不等式；最后检验方程的解是否在所讨论的取值范围内或将得到的解集和所讨论的取值范围求交集． 返回导航 C 解析：当a<1时，得f(a)＝0≠1，不符合题意，故舍去； 当1≤a<2时，得f(a)＝a＋1＝1，解得a＝0，不符合范围条件，故舍去； 当a≥2时，得f(a)＝－a2＋5＝1，解得a＝2或a＝－2，由于a≥2，故得a＝2.故选C. 返回导航 解析：当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，满足条件，故a＜－3； 当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，解得a＜－4，不满足条件； 当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，解得a＜－1，不满足条件． 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－3). (－∞，－3) 返回导航 应用点二　分段函数的实际应用 [例4] 某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元．某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． 返回导航 (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式； 返回导航 (2)该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ 【解】①当12≤x≤20时，令6x＝90，解得x＝15，即当12≤x＜15时，f(x)＜g(x)； 当x＝15时，f(x)＝g(x)； 当15＜x≤20时，f(x)＞g(x). ②当20＜x≤30时，f(x)＞g(x). 综上，当12≤x＜15时，选A俱乐部合算； 当x＝15时，选A，B俱乐部都合算； 当15＜x≤30时，选B俱乐部合算． 返回导航 感悟提升 解决分段函数实际应用问题的策略 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 返回导航 [跟踪训练4] 下表为某市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米).　 阶梯 每户年用水量/立方米 水价 包含费用 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0～180(含) 5.00 2.07 1.57 1.36 第二阶梯 180～260(含) 7.00 4.07 第三阶梯 260以上 9.00 6.07 若某户居民一年交水费1 040元，则其中水资源费为________元；污水处理费为________元． 314　 272 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 31 C 返回导航 AD 返回导航 只有A，D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数． 返回导航 0 返回导航 解：利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． 返回导航 (2)求f(x)的定义域和值域．  解：由条件知，函数f(x)的定义域为R.由(1)中图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1]. 返回导航 课堂小结 1．已学习：分段函数的概念、图象及应用． 2．须贯通：(1)分段函数求值(范围)应先确定求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．常用到分类讨论思想． (2)明确研究分段函数的值域并利用分段函数的图象求解． 3．应注意：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实． 返回导航 $