第2章 第11节 函数与方程的综合应用(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程的综合应用”核心考点，依据高考评价体系明确零点和积、嵌套函数零点、性质与零点综合三大考查方向，通过真题分析细化函数图像分析、方程根转化等高频题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“题点突破+思维建模+真题演练”模式，如例1结合分段函数图像分析零点对称关系，培养数学思维与几何直观素养，即时训练融入2025-2026模拟题，总结“换元解套”“减元消参”等技巧，助力学生高效突破考点，教师可据此精准开展专题复习。

第十一节 函数与方程的综合应用 明确目标 　函数与方程的综合应用是高考的重点内容，要求能通过分析函数的性质，结合图象，研究函数的零点或方程的根等. 题点一　函数零点的和、积问题 √ [例1]　(多选)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)= f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x3x4=1 C.0<x1+x2+x3+x4< D.0<x1x2x3x4<1 √ √ 解析：函数f(x)= 的图象如图所示.设f(x1)=f(x2)= f(x3)=f(x4)=t， 则0<t<1，则直线y=t与函数y=f(x)的图象的4个 交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4.对于A，因为函数y=-x2-2x的图象关于直线x=-1对称，所以x1+x2=-2，故A错误；对于B，由图象知|log2x3|=|log2x4|且0<x3<1<x4，得-log2x3=log2x4，即log2(x3x4)=0，即x3x4=1，故B正确；对于C，由图象知t=|log2x3|∈(0，1)，则0<-log2x3<1，得<x3<1，所以x1+x2+x3+x4=x3+-2∈，故C正确；对于D，由图象知-2<x1<-1，所以x1x2x3x4=x1(-2-x1)=--2x1∈(0，1)，故D正确.故选BCD. 解题关键：(1)判断两零点是否“轴对称”，一旦满足了对称性，两零点之和为定值； (2)判断两零点之积是否为定值； (3)以数形结合的方法确定零点的取值范围. 思维建模 　求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和(积)时，实质上是等高线问题，重在“减元”，结合函数图象要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系. 即时训练 1.(2025·烟台二模)已知函数f(x)=若f(x)=m存在四个不相等的实根x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则4x3+x1x2x4的最小值是____________.  4 解析：作出函数f(x)=与y=m的图象如图所示. 由图可得0<m<1，∵f(x)=m存在四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，可得x1<-1<x2<0<x3<1<x4，可得ln(-x1)=-ln(-x2)，x3=，即x1x2=1，x3x4=1，所以4x3+x1x2x4=4x3+x4=+x4≥2=4，当且仅当=x4，即x4=2时等号成立，则4x3+x1x2x4的最小值是4. 题点二　嵌套函数的零点问题 √ [例2]　已知f(x)=|ex-1|-1，若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有三个零点，则a的取值范围为 (　　) A.(0，+∞) B.(-1，0)∪(0，+∞) C.(-1，0)∪(0，1) D.(1，+∞) 解析：函数f(x)=|ex-1|-1的图象如图所示，令f(x)=t，若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)-1有三个零点，方程h(t)=t2-at-1=0有一根在(-1，0)上，一根在[0，+∞)上，则即解得a>0；方程h(t)=t2-at-1=0有一根在(-1，0)上，一根等于-1，则此时无解.综上，a>0，故选A. 思维建模 对于一般的y=f(g(x))的函数零点问题的解答步骤 (1)换元解套，令t=g(x)，则y=f(t)，从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数t=g(x)和y=f(t)的零点问题； (2)依次解方程，令f(t)=0解出t的值，然后代入方程g(x)=t中解出x的值. 而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题，在上述解题要诀的基础上，让含参的值动起来，动静结合、数形结合，抓住临界位置进行求解. 即时训练 √ 2.[多选]已知f(x)=(a>1)，g(x)=[f(x)]2-mf(x)，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)有唯一零点 B.存在实数m使得函数g(x)有三个以上不同的零点 C.当m∈[1，+∞)时，函数g(x)恰有三个不同的零点 D.当m∈(-∞，0)∪(0，1)时，函数g(x)恰有两个不同的零点 √ √ 解析：作出函数y=f(x)的大致图象，如图所示.当x>0时，f(x)单调递减，且f(1)=0，f(x)只有一个零点❶；当x≤0时，f(x)>0，f(x)没有零点，所以函数f(x)有唯一零点，故A正确；由g(x)=0，得f(x)=0或f(x)=m，其中f(x)=0有唯一实数根，而f(x)=m实数根的个数即为函数y=f(x)与y=m图象交点的个数，由图可知，函数y=f(x)与y=m的图象至多有两个交点❷，所以不存在实数m使得g(x)有三个以上不同的零点，故B错误； 习得知能：①处，结合函数的单调性求函数的零点； ②处，函数零点个数转化为两个函数图象交点的个数. 当m∈[1，+∞)时，函数y=f(x)与y=m的图象有两个交点，所以函数g(x)恰有三个不同的零点，故C正确；当m∈(-∞，0)∪(0，1)时，函数y=f(x)与y=m的图象有一个交点，所以函数g(x)恰有两个不同的零点，故D正确. 3.函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个零点，则实数a的取值范围是____________.  解析：设t=f(x)，则t∈R，令g(x)=f(f(x))-a=0，则a=f(t). 在同一平面直角坐标系内作出直线y=a，y=f(t)的图象，如图所示. ①当a≥-1时，直线y=a与y=f(t)的图象有两个交点， 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)， 则t1<-1，t2≥-1.当t1<-1时，t1=f(x)有一个解； 当t2≥-1时，t2=f(x)有两个解，此时g(x)=f(f(x))-a有三个零点，满足题意. [-1，+∞) ②当a<-1时，直线y=a与y=f(t)的图象有一个交点. 设交点的横坐标为t3，则t3<-1， 此时t3=f(x)有一个解，不满足题意， 综上所述，当a≥-1时，函数g(x)=f(f(x))-a有三个零点. √ 题点三　函数性质与零点综合 [例3]　已知定义在R上的奇函数满足f(2-x)+f(x)=0，当x∈(0，1]时，f(x)=-log2x，若函数F(x)=f(x)-sin πx在区间[-1，m]上有10个零点，则m的取值范围是 (　　) A.[3.5，4) B.(3.5，4] C.(5，5.5] D.[5，5.5) 解析：由f(2-x)+f(x)=0⇒f(x)=-f(2-x)=f(x-2)， 得f(x)是一个周期为2的奇函数， 当x∈(0，1]时，f(x)=-log2x，因此f=-log2=1， f(1)=0，所以f(0)=0，f=-1，f(-1)=0，且g(x)=sin πx的周期为T==2，且g(-1)=0，g=-1，g(0)=0，g=1，g(1)=0，F(x)=f(x)-sin πx的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，如图为f(x)与g(x)在区间[-1，1]的图象，因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，若在区间[-1，m]上有10个零点，即两函数图象在[-1，m]上有10个交点，则第10个交点坐标为(3.5，-1)，第11个交点坐标为(4，0)，因此3.5≤m<4. 即时训练 √ 4.(2026·江油中学段考)函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1)，且当x∈ [-1，1]时，f(x)=1-x2.已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数为(　　) A.14 B.13 C.12 D.11 解析：易知函数y=f(x)的定义域为R，因为f(x+1)=f(x-1)，所以f(x)是周期为2的周期函数.易知当x∈(-∞，0)时，g(x)单调递增，且0<g(x)<1；当x∈(0，1]时，g(x)单调递减，且g(x)≥0；当x∈[1，+∞)时，g(x)单调递增，且g(x)≥0.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)，y=g(x)的大致图象，如图所示❶. 习得知能：①处，要求函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数，也就是求函数f(x)，g(x)的图象在区间[-6，6]内的交点个数，因此，准确作出两个函数的图象是求解本题的关键.准确作图的准备工作：研究函数图象的走势(通过判断单调性、周期性等)，确定函数图象所过的关键点(观察函数解析式确定)等； 由h(x)=0得f(x)=g(x)，即函数h(x)在[-6，6]内的零点个数就是函数y=f(x)，y=g(x)的图象在[-6，6]内的交点个数.观察图象知，函数y=f(x)，y=g(x)的图象在[-6，6]内有12个交点❷，所以函数h(x)在[-6，6]内有12个零点.故选C. 习得知能：②处，函数g(x)是分段函数，作图时一定要注意分界点处图象是实心点还是空心点，这个一旦出错，会影响最终的答案. 课时作业评价 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 √ 一、单选题 1.(2026·西安模拟)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，且x1≠x2≠x3≠x4，则实数t的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(0，2) C.(0，3) D.(1，3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：由题意，作出y=f(x)的大致图象， 如图所示，要使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t， 即函数y=f(x)与y=t的图象有4个不同的交点， 则0<t<1，所以实数t的取值范围是(0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 2.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-m有三个零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是(　　) A. B. C. D.[0，e] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：作出函数f(x)的图象如图所示， 不妨设x1<x2<x3，则方程f(x)=m有三个不同的根， 则0≤m<，当x≤0时，-x2-x-m=0， 得x2+x+m=0，则x1x2=m；当x>0时，ln x3=m，x3=em，则x1x2x3=mem，设h(m)=mem，则h'(m)=(m+1)em>0，所以h(m)在上单调递增，所以h(m)∈，即x1x2x3的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 3.(2026·汕头模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-2，-1) C. D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：由题意可画出函数f(x)的大致图象，∵关于x的方程[f(x)]2+a·f(x) +b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，设t=f(x)，则t≥，结合函数图象，可知方程t2+at+b=0必有两个根t1，t2，且t1=1，t2∈，∴t1+t2=-a∈，则-2<a<-，即a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 4.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，对于任意x∈R，=3x恒成立，若函数y=3f(x)+2g(x)+m有且仅有两个零点，则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞，-2) B.(0，2) C.(2，2) D.(2，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：由=3x可得f(x)-g(x)=2×3-x，① 所以f(-x)-g(-x)=2×3x，因为f(x)为偶函数， g(x)为奇函数，所以f(x)+g(x)=2×3x，② 由①②，可得f(x)=3x+3-x，g(x)=3x-3-x， 所以y=3f(x)+2g(x)+m=3(3x+3-x)+2(3x-3-x)+m=5×3x+3-x+m，令y=0，上式可化为5×32x+m×3x+1=0，令t=3x(t>0)，方程可化为5t2+mt+1=0，因为函数t=3x是增函数，若函数y=3f(x)+2g(x)+m有且仅有两个零点，只需要方程5t2+mt+1=0有两个不相等的正实数根，记为t1，t2.有解得m<-2， 故所求实数m的取值范围为(-∞，-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 5.函数f(x)=ex-1-e1-x-的所有零点之和为(　　) A.0 B.2 C.4 D.6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：令f(x)=ex-1-e1-x-=0，得ex-1-e1-x=，设g(x)=， g(x)的图象关于(1，0)对称，在(-∞，1)，(1，+∞)上单调递减. 设h(x)=ex-1-e1-x，令H(x)=h(x+1)=ex-e-x，H(-x)=e-x-ex=-H(x)， 所以H(x)是奇函数，图象关于原点对称， 所以h(x)图象关于(1，0)对称，h(1)=0， h(x)=ex-1-在R上单调递增， 所以h(x)与g(x)有两个交点，两个交点关于(1，0)对称， 所以函数f(x)=ex-1-e1-x-的所有零点之和为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 6.已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)-的零点个数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：令t=f(x)，则t≥0，若F(x)=0， 则f(t)-2t-=0，作出y=f(x)和直线y=2x+的图象， 由图象可得有两个交点， 设横坐标分别为t1，t2，t1<t2， ∴t1=0，t2∈(1，2).当f(x)=t1时， 有x=2，即有一个解；当f(x)=t2时， 有3个解，综上，F(x)=0共有4个解，即函数F(x)有4个零点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上单调递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4等于 (　　) A.-12 B.-6 C.-8 D.4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0，∵f(x-4)=-f(x)， ∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x)，∴f(x)的周期T=8.又∵f(x)是R上的奇函数， ∴由f(x-4)=-f(x)，得f(4-x)=f(x)，∴f(x)关于直线x=2对称， 再结合f(x)在区间[0，2]上单调递增，作出函数大致图象，如图所示. 根据图象，可得x1+x2=-12，x3+x4=4，∴x1+x2+x3+x4=-8，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ 8.已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))-a有且只有1个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，-1)∪[2，+∞) B.(-∞，0)∪[4，+∞) C.(-∞，1)∪[4，+∞) D.(-∞，1)∪[2，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：由函数f(x)= 当x<0时，f(x)=3-f(-x)=3-. 作出f(x)的图象如图所示，令f(x)=t，t∈R， 因为f(t)=a有且只有一个根，所以当t≥2时，对应的x只有一个解，此时f(t)≥4，即a≥4；当t<-1时，对应的x只有一个解，此时f(t)<1，即a<1.综上所述，实数a的取值范围是(-∞，1)∪[4，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ √ 二、多选题 9.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)-k=0，下列判断正确的是(　　) A.当k=1时，方程f(x)-k=0有3个不同的实数根 B.方程f(x)-k=0至少有2个不同的实数根 C.若方程f(x)-k=0有3个不同的实数根，则k的取值范围为(0，1] D.若方程f(x)-k=0有3个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为[-1，+∞) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：方程f(x)-k=0根的问题可以转换成y=k和y=f(x)图象的交点问题，如图所示.对于A，由图象可知， 当k=1时，方程f(x)-k=0有3个不同的实数根， 故A正确；对于B，当k<0时，结合图象可知， 方程无解，故B错误；对于C， 由图象可知y=k和y=f(x)的图象有3个交点时， k的取值范围为(0，1]，故C正确；对于D，假设x1<x2<x3，结合图象可知x1+x2=-2，x3≥1，所以x1+x2+x3≥-1，故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 √ √ 10.(2026·遵义模拟)已知函数f(x)=x，x∈[-1，1]，函数g(x)=2x2-1，x∈[-1，1]，则下列选项正确的是 (　　) A.方程f(g(x))=0无实数解 B.方程f(x)+g(x)=0有且仅有两个解 C.方程f(x)·g(x)=0有且仅有三个解 D.方程g(f(x))=0有且仅有四个解 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 解析：对于A，由题可知f(0)=0，故f(g(x))=0等价于g(x)=0，即2x2-1= 0⇒x=±∈[-1，1]，故方程f(g(x))=0有实数解，故A错误；对于B，方程f(x)+g(x)=0，即2x2+x-1=0，x∈[-1，1]，故(2x-1)(x+1)=0，解得x1=，x2=-1，故B正确；对于C，方程f(x)·g(x)=0，即(2x2-1)x=0，x∈[-1，1]，故解方程(2x2-1)x=0，得x=0或x=±∈[-1，1]，故C正确；对于D，因为g=0，所以方程g(f(x))=0等价于f(x)=±∈[-1，1]，故由函数f(x)=x，x∈[-1，1]，得方程f(x)=±的解为x=±，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 三、填空题 11.已知函数f(x)=若存在实数a，b，c满足a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)，则(a+b)c的取值范围是_____________.  解析：画出函数f(x)的图象，如图，存在a<b，f(a)=f(b)， 则a+b=-2，令2x-2=1，得x=log23，令2x-2=2，得x=2， 如图可知，log23≤c<2， 所以(a+b)c=-2c∈(-4，-2log23]. (-4，-2log23] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 12.(2026·无锡模拟)已知函数f(x)=若方程2[f(x)]2 -mf(x)=0有6个不相等的实根，则非零实数m的取值范围为__________.  解析：函数f(x)= 的图象如图，且f(2)=8，由2[f(x)]2-mf(x)=0， 可得f(x)=0或f(x)=，由图象可知方程 f(x)=0有3个不相等的实根，又方程 2[f(x)]2-mf(x)=0有6个不相等的实根，则f(x)=有3个不相等的实根， 又m≠0，所以∈[1，8)，解得m∈[2，16). [2，16) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 13.(2025·北京海淀三模)已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2)，且f(x)= 则函数f(x)的最大值为_____；方程2f(x)=x的实数解的个数为_________.  2 4 解析：由函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2)，则f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期为4.由f(x)=则f(8)=f(0)=2cos 0=2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 13 可得f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的最大值为2. 方程2f(x)=x的解，即为f(x)与g(x)=x的图象的交点横坐标，计算可得f(0)=2>g(0)=0，f(1)=0<g(1)=，所以在[0，1]有一个交点，f(2)=g(2)=1，f(4)=g(4)=2，且当x>4时g(x)=x>2，无交点.由图可知两图象交点个数为4，即方程2f(x)=x的实数解的个数为4. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $