第2章 第8节 对数与对数函数(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“对数与对数函数”专题，依据高考评价体系梳理了对数概念运算、函数图象性质、反函数及综合应用等核心考点，通过真题分析明确对数式运算、性质应用等高频考点权重，归纳比较大小、解不等式等常考题型。 课件亮点在于“真题改编+方法建模+易错警示”，如以2025全国Ⅰ卷比较大小题为例，用构造函数法突破，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）。特设思维建模和答题模板，帮助学生掌握技巧，教师可据此精准教学，提升备考效率。

第八节 对数与对数函数 明确目标 1.理解对数的概念与运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的实际意义，会画对数函数的图象，并能应用图象解决一些简单问题. 3.理解对数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 目录 课时作业评价 3 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识| 1.对数的概念 定义 一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数 性质 loga1=____，logaa=___，logaax=___，其中a>0，且a≠1;负数和0没有对数 x=logaN a N 0 1 x 2.对数的运算 运算 性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么loga(MN)=_______________; loga=_____________;logaMn=________ (n∈R) 换底 公式 logab=(a>0，且a≠1;b>0;c>0，且c≠1) logaM+logaN logaM-logaN nlogaM 3.对数函数的定义 一般地，函数______________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是__________. y=logax(a>0，且a≠1) (0，+∞) 4.对数函数的图象与性质   0<a<1 a>1 图象     定义域 _________ 值域 R (0，+∞) 续表   0<a<1 a>1 性质 过定点______，即x=1时，y=0 当x>1时，____; 当0<x<1时，_____ 当x>1时，____; 当0<x<1时，_____ 在(0，+∞)上是_______ 在(0，+∞)上是______ (1，0) y<0 y>0 y>0 y<0 减函数 增函数 5.反函数 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线_______对称. y=x Ⅱ.|发|掘|教|材|辅|文|价|值| 1.(人A必修①P132“探究”归纳结论)不论a>1还是0<a<1，对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的大致图象. 2.(人A必修①P140T4可得结论)在同一平 面直角坐标系内，当a>1时，随a的增大， 对数函数的图象愈靠近x轴;当0<a<1时， 对数函数的图象随a的增大而远离x轴. (如图)(对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大) 3.函数的凹凸性(源于人A必修①P101T8归纳拓展) (1)若f(x)=ax(a>0，且a≠1)，则≥f，则f(x)为下凸函数. (2)若g(x)=logax(a>0，且a≠1)，则当a>1时，≤g， 即g(x)为上凸函数;当0<a<1时，≥g， 即g(x)为下凸函数. Ⅲ.|练|悟|教|材|固|基|小|题| 1.(人A必修①P127T5改编)设lg 2=a，lg 3=b，则log1210=(　　) A. B. C.2a+b D.2b+a √ 解析：log1210===. 2.(人A必修①P127T6改编)若xlog34=1，则4x+4-x= (　　) A.1 B.2 C. D. √ 解析：∵xlog34=1，∴x=log43，∴4x=3， ∴4x+4-x=3+=.故选D. 3.(北师大必修①P114例7改编)已知a=log0.90.8，b=log0.80.9，c=1.41.9，则 (　　) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a √ 解析：因为a=log0.90.8>log0.90.81=2，b=log0.80.9<log0.80.8=1， 所以a>2>1>b.因为c=1.41.9<1.42=1.96<2， 故1<c<2.故选D. 4.(人B必修②P27例2改编)已知log0.7(2m)<log0.7(m-1)，则实数m的取值范围是____________.  解析：∵log0.7(2m)<log0.7(m-1)，∴解得m>1. (易错提醒：忽略对数函数的定义域) (1，+∞) 5.(人A必修①P140T1改编)函数y=的定义域为__________.  解析：要使函数有意义，则需满足解得<x≤1. 02 题点一　对数式的运算(自主练通) √ 1.已知x+log23=0，则2x+2-x= (　　) A. B. C.2 D.3 解析：由x+log23=0得x=-log23，所以2x==，2-x==3，因此，2x+2-x=+3=. √ 2.已知ab≠1，logam=，logbm=，则logabm=(　　) A.5 B. C.6 D. 解析：法一　由logam=可得logma=2，由logbm=可得logmb=3， 所以logabm====. 法二　由logam=，logbm=，得m==.a=m2，b=m3，ab=m5，logabm=lom=. 3.若a=log36，6b=18，则ab-log32= (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 √ 解析：由6b=18，得b=log618，又a=log36， 所以ab-log32=log36·log618-log32=log36·(log66+log63)-log32 =log36-log32+1=log33+1=2. 4.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度(单位：mol/L).某强酸溶液加水稀释后pH值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为 (　　) A.2 B. C.100 D. 解析：设稀释前溶液的pH值为m，氢离子的浓度为n1，加水稀释后pH值为m+2，氢离子的浓度为n2，则m=-lg n1，m+2=-lg n2，两式相减，可得-lg n2+lg n1=2，化简得lg=-2，解得=. √ 5.(2026·咸阳一模)已知3m=2n=k，且+=1，则k=___________.  解析：因为3m=2n=k，所以m=log3k，n=log2k，所以=logk3，=logk2， 所以+=logk2+3logk3=logk(2×33)=logk54=1，解得k=54. 54 思维建模 1.对数式化简求值的常用方法 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再用对数的运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 2.指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax=by=cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax=by=cz=k(k>0)，则x=logak，y=logbk，z=logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解. 题点二　对数函数的图象及应用 √ [例1] (1)已知函数f(x)=|log3x|，若b>a>0，且a，b是f(x)的图象与直线y=m(m>0)的两个交点对应的横坐标，则4a+b的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析：根据题意画出f(x)=|log3x|的图象如图所示，易知|log3a|=|log3b|=m，又b>a>0，可知b>1>a>0，所以-log3a=log3b，即log3a+log3b=0，所以ab=1，所以4a+b=+b≥2=4， 当且仅当b=2时，等号成立，即4a+b的最小值为4. 总结规律：函数f(x)=|logax|(a>0且a≠1)的图象 若f(m)=f(n)(m<n)，则①0<m<1<n;②mn=1. √ (2)[多选]已知函数f(x)=ln x，g(x)=lg x，若f(m)=g(n)，则下列结论可能成立的为 (　　) A.m=n B.n<m<1 C.m<1<n D.1<m<n √ √ 解析：根据题意，在同一平面直角坐标系中画出f(x)=ln x与g(x)=lg x的图象，如图所示，当x=1时，此时f(x)=g(x)，即f(m)=g(n)，故m=n=1，故A正确;当0<x<1时，若f(m)=g(n)，则n<m<1，故B正确;当x>1时，若f(m)=g(n)，则1<m<n，故D正确. 思维建模 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)对于较复杂的对数不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体步骤如下： ①对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x); ②在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及函数y=g(x)的图象; ③观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数，由此确定参数的取值或不等式的解的情况. 即时训练 √ 1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0，a≠1)的图象如图所示， 则a，b满足的关系是(　　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 解析：由题图易得a>1，∴0<a-1<1;取特殊点x=0⇒-1<y=logab<0⇒ -1=loga<logab<loga1=0，∴0<a-1<b<1.故选A. 2.[多选]下列选项正确的是 (　　) A.若函数f(x)=loga-1x+a2-5a+6是对数函数，则a=3 B.函数f(x)=的定义域为(1，4] C.函数f(x)=loga(4x-3)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0) D.函数f(x)=log2(x2-2x)的单调递增区间是(2，+∞) √ √ √ 解析：对于A，解得a=3，A正确;对于B，依题意有解得1<x<2或2<x≤4，B错误;对于C，令4x-3=1，解得x=1，则f(1)=loga1=0，C正确;对于D，x2-2x>0⇒x∈(-∞，0)∪(2，+∞)，可知当x>2时，y=x2-2x单调递增，当x<0时，y=x2-2x单调递减，结合复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，故D正确. 习得知能：对数函数图象过定点问题 由于对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，则求函数y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象所过的定点时，只需令f(x)=1，求出方程的根x0，即得定点为(x0，m).(本质：loga1=0) 3.若实数x，y，z互不相等，且满足2x=3y=log4z，则下列式子一定成立的是 (　　) A.z>x>y B.z>y>x C.x>y>z D.z>x，z>y √ 解析：设2x=3y=log4z=k>0，则x=log2k， y=log3k，z=4k，分别作出t=log2k，t=log3k， t=4k的图象如图所示，由图可知， 当k>0时，4k>log2k，4k>log3k，即z>x，z>y. √ 题点三　对数函数的性质及应用 考法(一)　比较大小 [例2]　设a=log25，b=log316，c=log524，则(　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 解析：a=log25>log24=2，b=log316>log39=2，c=log524<log525=2，则c<a，c<b.因为lg 3>0，lg 5>0，所以lg 3+lg 5>2，所以= =<=<1，所以log25<log316，所以a<b，所以c<a<b. 思维建模 比较对数函数值大小的方法 (1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底. (2)中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”. (3)图象法：根据图象观察得出大小关系. √ 考法(二)　解不等式 [例3] (1)已知函数f(x)=log2x-x+1，则不等式f(x)<0的解集是(　　) A.(0，1) B.(0，2) C.(1，2) D.(0，1)∪(2，+∞) 解析： f(x)=log2x-x+1的定义域为(0，+∞)， f(1)=log21-1+1=0，f(2)=log22-2+1=0，由f(x)<0可得log2x<x-1， 即y=x-1的图象在y=log2x图象的上方，画出y=log2x，y=x-1(x>0)的图象，如图，由图可知，不等式f(x)<0的解集是(0，1)∪(2，+∞). (2)已知a>0，且a≠1，则关于x的不等式|loga(1-x)|>|loga(1+x)|的解集为___________.  解析：易知-1<x<1，且x≠0，原不等式可化为>，即|lg(1-x)|>|lg(1+x)|，两边同时平方得[lg(1-x)]2>[lg(1+x)]2，即[lg(1-x) +lg(1+x)]·[lg(1-x)-lg(1+x)]>0，所以lg(1-x2)·lg>0.又-1<x<1，且x≠0，故0<1-x2<1，所以lg(1-x2)<0，从而lg<0，解得x∈(0，1). (0，1) 解题关键：此题中对数的底数是参数a，常规做法是分a>1与0<a<1进行讨论，但是如果用换底公式，便可以消去参数，避免讨论. 思维建模 解对数不等式的类型及方法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解.如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解. 考法(三)　对数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1，求f(x)的单调区间; 解：因为f(1)=1，所以log4(a+5)=1，因此a+5=4，解得a=-1. 所以f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0，得-1<x<3，即函数f(x)的定义域为(-1，3).令g(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，x∈(-1，3)， 则g(x)在(-1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减. 又y=log4x在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间是(-1，1]，单调递减区间是[1，3). (2)若f(x)的最小值为0，求a的值. 解：若f(x)的最小值为0，则y=ax2+2x+3有最小值， 且最小值为1，因此有 解得a=.故a的值为. 思维建模 解对数函数综合问题的策略 　　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. 即时训练 √ 4.已知a=log52，b=log5(log52)，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<c<b B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a 解析：因为0=log51<log52<log55=1， 所以0<a<1，log5(log52)<log51=0，所以b<0. 又c=a2，0<a<1，故c-a=a2-a=a(a-1)<0，所以0<c<a.综上，b<c<a. √ 5.[多选]已知函数f(x)=lo(x2-2ax+2)，则以下说法正确的是(　　) A.∃a∈R，使得f(x)为偶函数 B.若f(x)的定义域为R，则a∈(-) C.若f(x)在区间(-∞，1)上单调递增，则a的取值范围是[1，+∞) D.若f(x)的值域是(-∞，2]，则a∈ √ √ 解析：在f(x)=lo(x2-2ax+2)中，取a=0，则f(x)=lo(x2+2)，此时函数的定义域为R，且f(-x)=lo(x2+2)=f(x)，即f(x)=lo(x2+2)为偶函数，故A正确;因为f(x)的定义域为R，所以x2-2ax+2>0恒成立，即Δ=(-2a)2-8<0，解得-<a<，故B正确;令g(x)=x2-2ax+2，因为y=lox在定义域上单调递减，故要使函数f(x)在区间(-∞，1)上单调递增，则需使g(x)=x2-2ax +2在(-∞，1)上单调递减且恒大于0，故有解得1≤a≤，故C错误; 因为f(x)的值域是(-∞，2]，即f(x)max=2，由复合函数的单调性可知，g(x)min==，由g(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2，知g(x)min=g(a)=2-a2=，解得a=±，即a∈，故D正确. 习得知能：对数函数本身不具有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，得到的对数型复合函数就具有奇偶性了.如：y=lo(x2+2)，y=log2|x|都是偶函数. 6.已知对数函数y=logax(a>0，且a≠1)，且loga<loga，则关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为_____________.  解析：因为a>0，且a≠1，所以<.又因为loga<loga， 所以a>1，则对数函数y=logax在(0，+∞)上单调递增， 又关于x的不等式loga(2x-3)>0，所以2x-3>1，解得x>2. 所以关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为(2，+∞). (2，+∞) 03 培优点：幂、指、对比较大小的方法 　　函数比较大小是高考比较常考的题型，难度不定，解题方法多样，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起排序，常用的方法有中间值法、特值法及利用指数、对数及幂的性质化简后再比较等. 方法(一)　直接法比较大小 1.已知a=30.2，b=20.3，c=log0.23，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c 解析：∵a=90.1，b=80.1，∴90.1>80.1>0， 又∵c=log0.23<log0.21=0，故a>b>c. √ 习得知能：因为幂、指、对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1(或者-1)比较大小. 2.已知a=0.，b=log8，c=，则(　　) A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c √ 解析：由于y=0.7x是R上的减函数，则0<0.<0.70=1，所以0<a<1;由于y=log8x是(0，+∞)上的增函数，则log8<log81=0，所以b<0;由于y=4x是R上的增函数，则>40=1，所以c>1，所以b<a<c. 3.(2025·全国Ⅰ卷)若实数x，y，z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能是 (　　) A.x>y>z 　　　　B.x>z>y C.y>x>z 　　　　D.y>z>x √ 解析：特殊值法：令2+log2x=3+log3y=5+log5z=0，得x=，y=，z=，此时x>y>z;令2+log2x=3+log3y=5+log5z=5，得x=8，y=9，z=1，此时y>x>z;令2+log2x=3+log3y=5+log5z=8，得x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x.故选B. 4.已知a=，b=log32，c=sin，则(　　) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a √ 解析：由=3.375>e，可知>，所以<.由=log3=log3，8<9，得2<，所以log32<log3=.由=log3=log3，4>3，得2>，所以log32>log3=.由=sin≈0.52>，函数y=sin x在上单调递增，可知sin<sin=.综上可得，>>log32>>sin，所以a>b>c.故选D. 习得知能：一般情况下，作差法可处理底数不一样的对数比较大小问题.作差的难点在于后续变形处理，注意恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或计算化简，或放缩为具体值，准确计算找对变形方向. 　在指数、对数中通常可优先选择“-1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1=log22<log23<log24=2，进而可估计log23是一个1~2之间的数，从而便于比较. 方法点拨 方法(二)　利用运算性质化简比较大小 5.已知a=log63，b=log84，c=lg 5，则(　　) A.b<a<c 　 B.c<b<a C.a<c<b 　 D.a<b<c √ 解析：由题意得，a=log63=log6=1-log62=1-，b=log84=log8= 1-log82=1-，c=lg 5=lg=1-lg 2=1-，因为函数y=log2x在(0，+∞)上单调递增，所以0<log26<log28<log210，则>>，故1-<1-<1-，所以a<b<c.故选D. 6.已知a=，b=，c=，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b √ 解析：因为log23.4>log22=1=log44>log43.6，log30.3-1=log3>log33=1，且log23.4>log22==log3=log33>log3=-log30.3，所以log23.4>-log30.3>log43.6，所以>=>，即a>c>b. 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过指数或真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式及性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况. 方法点拨 方法(三)　构造函数法比较大小 7.已知a=e，b=3log3e，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 解析：设f(x)=，x≥e，则f'(x)=≥0恒成立，所以函数f(x)在 [e，+∞)上单调递增，又a=f(e)，b=3log3e==f(3)，c==f(5)， 因为e<3<5，所以f(e)<f(3)<f(5)，所以a<b<c.故选D. √ 8.设=log2a，2b=lob，=5，则a，b，c的大小关系是(　　) A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.b<c<a √ 解析：构造函数f(x)=log2x-，因为函数y=log2x，y=-在(0，+∞)上均单调递增，所以函数f(x)为(0，+∞)上的增函数，且f(1)=-<0，f(2)=>0，因为f(a)=0，由函数零点存在定理可知1<a<2，构造函数g(x)=2x-lox，因为函数y=2x，y=-lox在(0，+∞)上均单调递增，所以函数g(x)为(0，+∞)上的增函数，且g=-2<0，g=-1>0，因为g(b)=0，由函数零点存在定理可知<b<.因为=5，则c=lo5<lo1=0，因此c<b<a.故选B. 　　某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，但要细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. 方法点拨 课时作业评价 04 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.已知函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0，且a≠1)恒过定点(m，n)，则m+n=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：令2x-3=1，解得x=2，此时f(2)=1+loga1=1，所以f(x)恒过定点(2，1)，则m=2，n=1，所以m+n=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.设a=log30.4，b=log43，c=30.4，则 (　　) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c 解析：由a=log30.4<log31=0，log41<b=log43<log44，即0<b<1，c=30.4>30=1，故a<b<c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.已知a>0，且a≠1，则函数y=loga的图象一定经过(　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：当x=0时，y=loga=-1，则当0<a<1时，函数图象过第二、三、四象限，如图①; 当a>1时，函数图象过第一、三、四象限，如图②. 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限. 细节提醒：底数为参数的对数函数，需对底数分0<a<1，a>1讨论. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.若2x=6，y=log4，则x+2y的值是(　　) A.3 B.log23 C.-3 D.4 解析：由2x=6，得x=log26，由y=log4=lo=log2，得2y=log2， 所以x+2y=log26+log2=log2=log224=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4，+∞)，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B.(2，+∞) C.(1，2] D.(，2] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：由题意，得当x≤2时，0<2x≤4，4≤8-2x<8，所以f(x)∈[4，8)①. 当x>2时，分以下两种情况讨论：若0<a<1②，则f(x)=3+logax单调递减， 所以f(x)∈(-∞，3+loga2)，不满足f(x)的值域是[4，+∞). 若a>1②，则f(x)=3+logax单调递增，所以f(x)∈(3+loga2，+∞).要使f(x)的值域是[4，+∞)，则有4≤3+loga2<8，解得<a≤2.综上，实数a的取值范围为(，2].故选D. 解题关键：①处，注意区间端点值的取舍; ②处，要对底数a实施分类讨论，注意挖掘隐含条件，a>0，且a≠1;注意最后的结果“<a≤2”是在“a>1”的前提下得出的，将两个取值范围取交集. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.若函数f(x)=|ln x-a|+a(a∈R)在[1，e3]上的最大值为3，则a的最大值为 (　　) A.3 B. C. D.e 快审准解：令t=ln x∈[0，3]，问题转化为函数g(t)=|t-a|+a(a∈R)在[0，3]上的最大值为3，结合函数的对称性，讨论求最大值得解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：设t=ln x∈[0，3]，则问题转化为函数g(t)=|t-a|+a(a∈R)在[0，3]上的最大值为3，因为函数g(t)的对称轴为t=a，当a>时，g(t)max=g(0)=2a>3，不合题意;当a≤时， g(t)max=g(3)=|3-a|+a=3-a+a=3，符合题意，综上，a的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 二、多选题 7.(2025·孝感三模)已知函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞，1)上单调递增，则(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.f(a+2 026)>f(2 027) D.f(a+2 026)<f(2 027) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：f(x)=loga|x-1|的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞).设z=|x-1|， 可得函数z=|x-1|在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 根据复合函数的单调性可得0<a<1，故A正确，B错误;由0<a<1， 可得2 026<a+2 026<2 027，又f(x)在(1，+∞)上单调递减， 则f(a+2 026)>f(2 027)，故C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 8.已知函数f(x)=lg，则(　　) A.f(x)在定义域上单调递减 B.曲线y=f(x)关于点对称 C.当x∈N*时，f(x)< D.f(2)>2f(4) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：对于A，由>0⇔x(x+1)>0，可得x<-1或x>0，所以函数定义域为(-∞，-1)∪(0，+∞)，而f(-2)=lg<f(1)=lg 2，错误;对于B，f(-1-x) +f(x)=lg+lg=lg+lg=0，所以曲线y=f(x)关于点对称，正确;对于C，由f(x)=lg在区间(0，+∞)上单调递减，当x∈N*时，f(x)≤f(1)=lg 2<lg=，正确;对于D，2f(4)=2lg=lg>lg=lg=f(2)，错误.故选BC. 方法习悟：先求出函数定义域，再由特殊函数值大小比较判断A;通过f(-1-x)+f(x)=0是否成立判断B;由对数复合函数的单调性计算判断C;根据解析式及对数运算性质求函数值判断D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 9.已知102a=5，10b=2，则 (　　) A.a<b B.2a+b=1 C.log2a+log2b<-3 D.+>9 √ √ 解析：由102a=5得a=lg 5，由10b=2得b=lg 2.对于A，a-b=lg 5-lg 2=lg>lg 1=0，所以a>b，故A错误;对于B，2a+b=2×lg 5+lg 2=1，故B正确;对于C，由a=lg 5>0，b=lg 2>0，则1=2a+b≥2，当且仅当2a=b时等号成立，因为2a=lg 5≠lg 2=b，故等号不成立，即ab<，则log2a+log2b=log2ab<log2=-3，故C正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 对于D，法一　易知，+=(2a+b)=5++≥5+2=9，当且仅当=时等号成立，因为a≠b，故等号不成立，所以+>9.法二　若用权方和不等式，则有+=+≥=9，当且仅当a=b时等号成立，因为a≠b，故等号不成立，所以+>9，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 10.已知a，b>0，log2a=1.7，log2=-0.15，则=__________.  解析：因为log2=log2b=-0.15，则log2b=-0.3，又log2a=1.7，所以log2=log2a-log2b=1.7-(-0.3)=2，所以=4. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 11.不等式lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1的解集为_________.  解析：由对数函数的性质可得 解得x>2.∵lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1=lo[2(x-1)]，且y=lox为减函数， ∴ 解得2<x<3，综上所述，不等式的解集为(2，3). (2，3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x. (1)求函数f(x)的解析式;(4分) 解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0. ∵当x>0时，f(x)=log2x，∴当x<0时，f(x)=-f(-x)=-log2(-x)， ∴f(x)= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)若g(x)=f(x)·f，x∈[1，8]，求函数g(x)的值域.(6分) 解：由题意得g(x)=(log2x)·=(log2x)·(log2x-2)=-2log2x，x∈[1，8]， 令log2x=t，t∈[0，3]，问题等价于求h(t)=t2-2t，t∈[0，3]的值域， ∵函数h(t)=t2-2t图象开口向上，对称轴为直线t=1， ∴h(t)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，∵h(1)=1-2=-1，h(0)=0，h(3)=9-6=3，∴h(t)min=-1，h(t)max=3， ∴函数g(x)的值域为[-1，3]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.(15分)(2026·天津南开中学月考)设a>0且a≠1，函数f(x)=loga(x-1)，g(x)=loga(2x+t)(t∈R). (1)当t=1时，求不等式2f(x)≤g(x)的解集;(7分) 解：当t=1时，不等式2f(x)≤g(x)可化为2loga(x-1)≤loga(2x+1)， 若0<a<1，则解得x≥4， 所以不等式2f(x)≤g(x)的解集为[4，+∞). (易错提醒：底数范围不同决定了函数单调性不同，所以一定要对底数进行讨论) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 若a>1，则解得1<x≤4， 所以不等式2f(x)≤g(x)的解集为(1，4]. 综上所述，当0<a<1时，不等式2f(x)≤g(x)的解集为[4，+∞); 当a>1时，不等式2f(x)≤g(x)的解集为(1，4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)若函数h(x)=af(x)+tx2+2t+2在区间(1，3]上有零点，求t的取值范围.(8分) 解：由题意可知h(x)=+tx2+2t+2=tx2+x+2t+1， 令tx2+x+2t+1=0，即t(x2+2)=-(x+1)，因为x∈(1，3]，所以x+1∈(2，4]， 所以t≠0，所以=-， 设m=x+1∈(2，4]，则=-=-+2， 因为函数y=-+2在(2，4]上单调递减， 所以-≤<-，所以-<t≤-.故t的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 14.函数f(x)=x1-ln x，x∈(1，e)的最大值为(　　) A.e2 B.e C. D. 解析：设y=f(x)=x1-ln x，x∈(1，e)，故ln y=(1-ln x)ln x，x∈(1，e)，令t=ln x，x∈(1，e)，所以t∈(0，1)，则ln y=-t2+t=-+，t∈(0，1)， 当t=时，ln y=-+取到最大值， 故y的最大值为，即函数f(x)=x1-ln x，x∈(1，e)的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 15.(2026·重庆模拟)[多选]若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的是 (　　) A.ba<ca B.logba>logca C.cba<bca D.blogca>clogba √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：∵0<a<1，幂函数y=xa在(0，+∞)上单调递增，且b>c>1，∴ba>ca，故A错误;∵0<a<1，∴函数y=logax在(0，+∞)上单调递减，又∵b>c>1，∴logab<logac<loga1=0，∴0>>，即0>logba>logca，故B正确;∵0<a<1，则a-1<0，∵幂函数y=xa-1在(0，+∞)上单调递减，且b>c>1，∴ba-1<ca-1，∴cba<bca，故C正确;由B可知，0>logba>logca，∴0<-logba<-logca，∵b>c>1，∴c(-logba)<b(-logca)，∴blogca<clogba，故D错误. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $