第2章 第10节 函数与方程(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程”专题，依据高考评价体系梳理了函数零点定义、零点存在定理、二分法及二次函数零点关系等核心考点，通过分析近五年考情明确零点存在定理应用和零点个数判定为高频考点，归纳区间判定、个数计算、参数求解三大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“教材回扣+真题精析+思维建模”的三阶复习策略，如例1结合幂函数定义求参数后用零点存在定理确定区间，培养数学思维；例2通过数形结合分析函数图象交点，提升数学语言表达能力。包含2025年天津高考、湛江二模等真题训练，总结“解方程法”“图象法”等解题模板，帮助学生高效突破考点，教师可据此实施精准复习指导。

第十节 函数与方程 明确目标 1.了解函数的零点与方程解的关系.了解函数零点存在定理，并能简单应用. 2.能借用工具用二分法求方程的近似解，了解二分法求方程的近似解具有一般性. 目录 课时作业评价 3 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识| 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x)，我们把使______的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与_____有公共点⇔函数y=f(x)有____. f(x)=0 x轴 零点 (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有_________，那么，函数y=f(x)在区间_______内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得______，这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且__________的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. f(a)f(b)<0 (a，b) f(c)=0 f(a)f(b)<0 3.二次函数图象与零点的关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx +c(a>0)的图象       与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) _______ 无 零点个数 ____ ____ ___ (x1，0) 2 1 0 Ⅱ.|练|悟|教|材|固|基|小|题| 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (　　) (2)连续函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0. (　　) (3)连续函数y=f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点.(　　) (4)求函数零点的近似值都可以用二分法. (　　) × × × × √ 2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是 (　　) 3.(人A必修①P155T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为 (　　) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：由题表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)至少有3个零点. 4.(人B必修①P126T3改编)若函数f(x)=+a的零点为1，则实数a的值为(　　) A.-2 B.- C. D.2 √ 解析：由题意知，f(1)=+a=0，解得a=-. 5.(苏教必修①P253T8改编)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　) A.2 B.-2，0 C. D.0 √ 解析：当x≤1时，令f(x)=2x-1=0，解得x=0；当x>1时， 令f(x)=1+log2x=0，解得x=(舍去).综上，函数f(x)的零点为0. 02 题点一　函数零点所在区间的判定 √ [例1] (1)已知函数f(x)=(m-2)xm为幂函数，若函数g(x)=lg x+x-m，则g(x)的零点所在区间为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 解析：由f(x)=(m-2)xm为幂函数， 所以m-2=1，解得m=3，所以g(x)=lg x+x-3，易知g(x)是增函数，则g(x)至多只有一个零点，因为g(2)=lg 2-1<0，g(3)=lg 3>0，所以g(x)的零点所在区间为(2，3). (重点强调：幂函数的系数等于1) (2)在用二分法求方程x2=3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时，若我们选取的初始区间是[1.7，1.8]，为达到精确度要求至少需要计算的次数是__________.  解析：设至少需要计算n次，则n满足<0.001，即2n>100，由于26=64，27=128，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 7 思维建模 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)f(b)<0，若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断函数零点的位置. 即时训练 √ 1.(2025·天津高考)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是(　　) A.(0，0.3)　 B.(0.3，0.5)　 C.(0.5，1)　 D.(1，2) 解析：由指数函数、幂函数的单调性可知，y=0.3x在R上单调递减，y=在[0，+∞)上单调递增，所以f(x)=0.3x-在定义域上单调递减， 显然f(0)=1>0，f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0，f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0， 所以根据函数零点存在定理可知f(x)的零点所在区间是(0.3，0.5). √ 2.[多选]已知函数f(x)=2x2-4ln x-3，则 (　　) A.f(x)在内有零点 B.f(x)在内有零点 C.f(x)在内有零点 D.f(x)在(e，e2)内有零点 √ 解析：作出函数y=2x2-3和y=4ln x的图象，如图所示，由图象可知，f(x)最多有两个零点，因为f=+4-3>0，f()=2e-2-3>0，f(1)=2-3<0，f(e)=2e2-4-3>0，f(e2)=2e4-8-3>0，所以ff(1)<0，f(1)f()<0，由函数零点存在定理可知f(x)在内有零点，在(1，)内有零点. 题点二　函数零点个数的判定 √ [例2] (1)函数f(x)=2x|log2x|-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 解析：令f(x)=0，得|log2x|=， 在同一平面直角坐标系中分别作出 函数y=|log2x|与y=的图象如图所示，由图可知，函数y=|log2x|与y=的图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点，故选C. √ (2)(2025·湛江二模)已知函数f(x)=|2x-1|-a，g(x)=x2-4|x|+2-a，则 (　　) A.当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点 B.当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点 C.当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点 D.当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点 解析：作出y=|2x-1|，y=x2-4|x|+2的大致图象， 如图所示.两个函数的零点个数转化为图象 与y=a的图象公共点的个数. 由图可知，当g(x)有2个零点时， f(x)无零点或只有1个零点；当g(x)有3个零点时，f(x)只有1个零点； 当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点. 思维建模 函数零点个数的判定方法 (1)直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)利用函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数的图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 即时训练 √ 3.已知函数f(x)=则当k>0时，函数y=f(x)的零点个数为(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 解析：法一　当x>0时，由f(x)=0，可得ln x=0，解得x=1，符合题意；当x≤0时，由于k>0，由f(x)=0，可得kx+1=0，解得x=-<0，符合题意.因此，函数y=f(x)的零点个数为2. 法二　作出y=kx+1(x≤0)与y=ln x(x>0)的图象，如图所示，结合图象知，当k>0时，f(x)有两个零点. 4.函数f(x)=·cos x的零点个数为________.  解析：令36-x2≥0，解得-6≤x≤6，所以f(x)的定义域为[-6，6].令f(x)=0得36-x2=0或cos x=0，由36-x2=0得x=±6，由cos x=0得x=+kπ，k∈Z，又x∈[-6，6]，所以x的取值为-，-.故f(x)共有6个零点. 6 √ 题点三　根据函数零点存在情况求参数 [例3]　设c∈R，函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是(　　) A.(0，1) 　B.{0}∪[1，+∞) C. 　D.{0}∪ 解析：令g(x)=则g(x)的图象如图所示，函数f(x)的图象可由g(x)的图象分段平移得到，易知当c=0时，函数f(x)恰有一个零点，满足题意；当c<0时，将g(x)的图象向上平移得到f(x)的图象，显然没有零点，不符合题意；当c>0时，图象向下平移，当0<2c<1时，函数有两个零点；当2c≥1时，f(x)恰有一个零点，满足题意，即c≥.综上，c的取值范围是{0}∪. 思维建模 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 即时训练 √ 5.已知函数f(x)=若方程f(x)=k有三个不同的实数解，则k的取值范围为(　　) A.(-∞，3) B.(-∞，3] C.[3，4) D.(3，4) 解析：根据题意，画出函数y=f(x)和y=k的图象如图， 当x≤0时，f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，f(x)max=f(-1)=4，f(0)=3， 由图象可知当3≤k<4时，方程有三个解. √ 6.(2025·阳泉三模)函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1，2)存在零点，则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞，-5) B.(-5，-1) C.(1，5) D.(5，+∞) 解析：由y1=log2x在(0，+∞)上单调递增，y2=x2+m在(0，+∞)上单调递增，得函数f(x)=log2x+x2+m在区间(0，+∞)上单调递增，因为函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1，2)存在零点，所以 即解得-5<m<-1， 所以实数m的取值范围是(-5，-1). 课时作业评价 03 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.函数f(x)=的零点个数为(　　) A.1 　B.2 C.3 　D.4 解析：当x≤1时，令f(x)=0，即-x2-3x-2=0，解得x=-1或x=-2；当x>1时，令f(x)=0，即2x-2-4=0，解得x=4.综上可知，函数f(x)有3个零点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.用二分法求方程2x+x-8=0在[1，5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为 (　　) A.[1，2]或[2，3]都可以 　B.[2，3] C.[1，2] 　D.不能确定 解析：设f(x)=2x+x-8，则f(1)=2+1-8=-5<0，f(5)=25+5-8=29>0， 第一次取x1==3，有f(3)=23+3-8=3>0，故第二次取x2==2， 有f(2)=22+2-8=-2<0，故此时可确定近似解所在区间为[2，3]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.函数f(x)=ln x+2x-5的零点为x0，且x0∈(k，k+1)，k∈Z，则k= (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：因为函数f(x)=ln x+2x-5在(0，+∞)上单调递增，且f(2)=ln 2-1<0，f(3)=ln 3+1>0，即x0∈(2，3)，所以k=2，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，3) B.(1，3) C.(1，2) D.[2，+∞) 解析：因为函数y=2x，y=-在(0，+∞)上单调递增，所以函数f(x)=2x--a在(0，+∞)上单调递增，由函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1，2)内得f(1)=-a<0，f(2)=3-a>0，解得0<a<3，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.若函数f(x)=ax2-2x+1在(0，+∞)上有零点，则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞，0] B.(-∞，1] C.[0，+∞) D.[1，+∞) 解析：法一　分离参数法： 令ax2-2x+1=0，得a=，令t=-+=-+1，因为x>0， 所以>0，所以t=-+1≤1，所以a≤1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 法二　数形结合法：当a=0时，f(x)=-2x+1，令f(x)=0，得x=，符合题意；当a<0时，二次函数f(x)=ax2-2x+1的图象开口向下，因为f(0)=1>0，所以f(x)在(0，+∞)上一定有零点；当a>0时，二次函数f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上，对称轴为x=>0，要使f(x)在(0，+∞)上有零点，需Δ= (-2)2-4a≥0，解得a≤1，即0<a≤1.综上，实数a的取值范围为(-∞，1]. 法三　特值法：对于选择题，可考虑特值检验. 当a=1时，f(x)=x2-2x+1=0⇒x=1，符合题意，排除A；当a=10时，f(x)=10x2-2x+1，Δ=4-40<0，f(x)=0无解，排除C、D.故B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.已知函数f(x)=则方程f(x)-2|x|=0的解的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：由f(x)-2|x|=0可得f(x)=2|x|， 则方程f(x)-2|x|=0的解的个数等于函数 y=2|x|与函数y=f(x)的图象交点的个数， 作出函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象如图所示，由图可知，函数y=2|x|与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点，即方程f(x)-2|x|=0的解的个数为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 7.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有3个零点，则实数k的取值范围是(　　) A.(-2，0) B.(1，3) C.(0，3) D.(-2，3) 解析：由题意可知，g(x)=f(x)-k=0有3个实数根， 即函数y=f(x)和y=k的图象有3个交点， 画出函数y=f(x)的图象，若y=k与y=f(x)有3个交点，则0<k<3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+e)=f(x-e)，当x∈(0，e)时，f(x)=ln x，则f(x)在区间(-e，2e)内的所有零点之和为 (　　) A.3e-1 B.2e C.2e-1 D.0 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，因为f(x+e)=f(x-e)，所以f(x)的周期T=2e且f(e)=f(-e)=-f(e)⇒f(e)=0，因为当x∈(0，e)时，f(x)=ln x，所以f(1)=0，所以f(-1)=-f(1)=0，所以f(-1+2e)=f(-1)=0，故f(x)在区间(-e，2e)内的零点为-1，0，1，e，-1+2e，其零点之和为3e-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 二、多选题 9.下列函数在区间(-1，3)内存在唯一零点的是(　　) A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=(x+1-2 C.f(x)=-1 D.f(x)=1-ln(x+2) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：∵x2-2x-8=0的解为x1=-2，x2=4，∴f(x)在区间(-1，3)内没有零点，故A错误；∵f(x)=(x+1-2在[-1，+∞)上为增函数，且f(-1)=-2<0，f(3)=8-2= 6>0，即f(-1)f(3)<0，∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故B正确；∵f(x)=2x-1-1在R上为增函数，且f(-1)=-<0，f(3)=3>0，即f(-1)f(3)<0， ∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故C正确；∵f(x)=1-ln(x+2)在(-2，+∞)上为减函数，且f(-1)=1>0，f(3)=1-ln 5<0，即f(-1)f(3)<0，∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 10.下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)=x2+2x-8的零点是(-4，0)，(2，0) B.方程ex=3+x在区间(-3，0)，(0，10)上有解 C.函数y=3x，y=log3x的图象关于y=x对称 D.用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)上 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：对于A，令f(x)=x2+2x-8=0，解得x1=-4，x2=2，即函数f(x)=x2+2x-8的零点是-4和2，故A错误；对于B，令f(x)=ex-x-3， 则f(-3)=e-3>0，f(0)=-2<0，f(10)=e10-13>210-13=1 024-13=1 011>0，所以由函数零点存在定理可知f(x)=ex-x-3在区间(-3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex=3+x在区间(-3，0)，(0，10)内有解，故B正确；对于C，函数y=3x，y=log3x互为反函数，所以函数y=3x，y=log3x的图象关于y=x对称，故C正确；对于D，用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1.25，1.5)上，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 11.已知x1，x2分别是函数f(x)=2x-和g(x)=log2x-的零点，则(　　) A.-x2=0 B.log2x1+log2x2=0 C.x2>2 D.·log2x2=1 √ √ √ 解析：由题设知，f(x)的零点为函数y=2x与函数y=图象交点的横坐标.g(x)的零点为函数y=log2x与函数y=图象交点的横坐标，由y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称，y=的图象关于直线y=x对称， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 所以x1，x2关于直线y=x对称，y=2x，y=log2x，y=的图象如图所示， 所以点(x1，)与点(x2，log2x2)关于直线y=x对称， 即故-x2=0，·log2x2=1，log2x1+log2x2=log2(x1x2)=0，A、B、D正确；若x2>2，即x2=>2⇒x1>1，此时x1x2>2，与x1x2=1矛盾，C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 12.函数f(x)=的零点是__________.  解析：由已知可得，当x≥0时，f(x)≥3；当x<0时，f(x)=x+7=0， 解得x=-7，故f(x)的零点是-7. -7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.若函数f(x)=2x-+a在区间(1，2)上存在零点，则常数a的取值范围为____________.  解析：因为y=2x，y=-在(1，2)上均单调递增，所以函数f(x)=2x-+a在区间(1，2)上单调递增，且函数图象连续不间断，故若f(x)在区间(1，2)上存在零点，则解得-<a<-1.故常数a的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 14.已知函数f(x)为偶函数，且f(x)=若方程f(x)-a=0有六个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，2) B.[1，2] C.[-2，-1)∪(1，2] D.(-2，-1)∪(1，2) 快审准解：令f(x)-a=0，则a=f(x)，再作出函数图象，数形结合即可得到范围. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：当0≤x<1时，f(x)=21-x；当1≤x<2时，f(x)=2x-1，则当x≥0时，f(x)=令f(x)-a=0，则a=f(x)，方程f(x)-a=0有6个不同的实根，即直线y=a与函数y=f(x)的图象有6个交点， 在同一平面直角坐标系内作出直线y=a与 函数y=f(x)的图象，观察图象得当且仅当a∈(1，2)时直线y=a与函数y=f(x)的图象有6个交点，所以实数a的取值范围是(1，2).故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 15.已知函数f(x)=函数g(x)=m-f(3-x)，其中m∈R，若函数y=g(x)恰有3个零点，则m的取值范围是__________.  解析：令g(x)=m-f(3-x)=0，得f(3-x)=m，若3-x≤3，即x≥0， f(3-x)=2-|3-x|；若3-x>3，即x<0，f(3-x)=(3-x-3)2=x2. 所以y=f(3-x)= == (0，2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 画出其图象如图所示，当x=3时，y=2. 由图可知，要使函数y=g(x)恰有3个零点， 即y=m与y=f(3-x)的图象有3个交点，则m的取值范围是(0，2). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $