第2章 第6节 幂函数与二次函数(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦幂函数与二次函数专题，依据高考评价体系梳理了图象性质、解析式求解、单调性最值、根的分布四大核心考点，通过教材改编题与模拟题分析，明确二次函数占60%的高频考点分布，归纳出三类常考题型。 课件亮点在于“题点突破+培优深化+真题训练”的备考策略，如二次函数解析式的一般式、顶点式、零点式三法辨析，根的分布问题的数形结合四要素分析，培养学生逻辑思维与数学运算素养。特设易错警示与思维建模，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效规划复习。

第六节 幂函数与二次函数 明确目标 1.结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的图象，了解它们的变化情况;了解幂函数的概念. 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 目录 课时作业评价 3 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识| 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数_________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 ①幂函数的图象一定会出现在第一象限内， 一定不会出现在第____象限. ②幂函数的图象过定点______，如果幂函数 的图象与坐标轴相交，则交点一定是______. y=xα 四 (1，1) 原点 (3)幂函数的性质 ①幂函数在_________上都有定义; ②当α>0时，幂函数的图象都过点_______和_______，且在(0，+∞)上单调_____; ③当α<0时，幂函数的图象都过点_______，且在(0，+∞)上单调_____. (0，+∞) (1，1) (0，0) (1，1) 递减 递增 2.二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线)     定义域 _____ 值域 对称轴 x=_____ R - 续表 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c (a<0) 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上_________; 在上_________ 在上________; 在上_________ 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 Ⅱ.|练|悟|教|材|固|基|小|题|  1.(人A必修①P91T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　) A.64 B.4 C. D. 解析：设幂函数f(x)=xα，则由f(x)的图象过点，得f(2)=2α=，即α=-1，所以f(x)=x-1，则f(4)=. √ √ 2.(人B必修①P98T7改编)函数f(x)=-2x2+4x，x∈[-1，2]的值域为 (　　) A.[-6，2] B.[-6，1] C.[0，2] D.[0，1] 3.(人A必修①P58T6改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方，则a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意知即解得a>. 4.(苏教必修①P140例2改编)已知a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4，则a，b，c的大小关系是_________.(用“<”连接)  c<b<a 解析：由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 02 题点一　幂函数的图象和性质(自主练通) √ 1.函数y=的大致图象是(　　) 解析：易知y=满足(-x=，即函数y=为偶函数， 图象关于y轴对称，可排除D.易知当x∈(0，+∞)时，函数y=单调递增，可排除C，且当x>1时，函数y=的增长速度越来越慢，其图象在y=x图象下方，排除A.故选B. √ 2.下列比较大小正确的是 (　　) A.< B.< C.(-2.1<(-2.2 D.< 解析：对于A，由函数y=x0.7在(0，+∞)上单调递增，所以>，A错误;对于B，由函数y=x-1在(-∞，0)上单调递减，则>，B错误;对于C，(-2.1=，(-2.2=，又函数y=在R上单调递增，所以<，即(-2.1<(-2.2，C正确;对于D，=，函数y=在(0，+∞)上单调递增，则>，即>，D错误.故选C. 3.已知函数f(x)=m2是幂函数，且在(0，+∞)上单调递增，则实数m=(　　) A.2 B.-1 C.1 D.1或 -1 √ 解析：由题意幂函数可得m2=1，解得m=±1，当m=1时，f(x)=x-3在(0，+∞)上单调递减，不合题意，故舍去;当m=-1时，f(x)=x在(0，+∞)上单调递增，满足题意，故m=-1.故选B. 4.[多选]已知幂函数f(x)的图象经过点，则(　　) A.f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞) B.f(x)的值域是(0，+∞) C.f(x)为奇函数 D.f(x)为定义域上的减函数 √ √ 解析：设幂函数f(x)=xα，α∈R，因为幂函数f(x)的图象经过点，则()α==5-1=()-2，可得α=-2，即f(x)=x-2=.对于A，令x2≠0，可得x≠0，所以f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，故A正确;对于B，因为x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，则x2>0，可得f(x)=>0，所以f(x)的值域是(0，+∞)，故B正确;对于C、D，因为f(1)=f(-1)=1，所以f(x)不为奇函数，且在定义域内不为减函数，故C、D错误.故选AB. 思维建模 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区域，根据α<0，0<α<1，α=1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. (2)幂函数f(x)=(m，n互质)，当m为偶数时，函数为偶函数，当m为奇数，n为偶数时，函数为非奇非偶函数. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 题点二　二次函数的解析式 [例1]　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，求f(x)的解析式. 解：法一　利用二次函数的一般式： 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得解得 故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 法二　利用二次函数的顶点式： 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1)，∴抛物线的对称轴为x==. ∴m=，又根据题意函数有最大值8， ∴n=8，∴f(x)=a+8. ∵f(2)=-1，∴a+8=-1，解得a=-4，∴f(x)=-4x2+4x+7. 法三　利用二次函数的零点式： 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1， 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)，即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数f(x)有最大值8，∴=8. 解得a=-4或a=0(舍去)，故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 思维建模 求二次函数解析式的3个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式; (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式; (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式. 即时训练 1.已知函数f(x)为二次函数，f(x)的图象过点(0，2)，对称轴为x=-，函数f(x)在R上的最小值为，则f(x)的解析式为____________________.  解析：因为f(x)图象的对称轴为x=-，函数f(x)在R上的最小值为，所以可设f(x)=a+，a>0，将(0，2)代入f(x)，得a+=2，解得a=1，故f(x)=+. f(x)=+ 2.已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象经过点(1，13)，且函数y=f是偶函数，则函数f(x)的解析式为_________________.  解析：∵y=f是偶函数，有f=f， ∴f(x)关于x=-对称，即-=-，故b=1.又图象经过点(1，13)， ∴f(1)=13，可得c=11.故f(x)=x2+x+11. f(x)=x2+x+11 √ 题点三　二次函数的图象与性质 考法(一)　二次函数的图象 [例2]　(多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为x=-1，给出下面四个结论正确的为(　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c<0 D.5a<b √ 解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2-4ac>0，即b2>4ac，故A正确;对称轴为x=-1，即-=-1，所以2a-b=0，故B错误;结合题图，当x=-1时，y>0，即a-b+c>0，故C错误;由对称轴为x=-1，知b=2a，根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a=b，即5a<b，故D正确. 思维建模 　　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向. 考法(二)　二次函数的单调性与最值 [例3]　已知函数f(x)=x2-2ax+a. (1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立，求实数a的值; 解：由题意，对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立， 可得函数f(x)的图象关于x=1对称， 又由函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴方程为x=a， 所以a=1.故实数a的值为1. (2)若f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围; 解：函数f(x)=x2-2ax+a图象的对称轴为直线x=a，因为y=f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，可得a≤1，即实数a的取值范围是(-∞，1]. (3)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最大值. 解：由函数f(x)=x2-2ax+a，可得函数f(x)的图象开口向上，对称轴x=a，当a<0，x=1时，函数取得最大值f(x)max=1-a，当a>0，x=-1时，函数取得最大值f(x)max=1+3a，当a=0，x=1或x=-1时，函数取得最大值f(x)max=1. 思维建模 二次函数单调性与最值问题的解题策略 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系.当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. (2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解. 即时训练 √ 3.[多选]在一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，其中a与b同号，那么函数的图象可能为 (　　) √ 解析：对于A，开口向上，所以a>0，由题图知对称轴->0，所以b<0，与已知矛盾，故A错误;对于B，开口向上，所以a>0，由题图知对称轴-<0，所以b>0，满足条件，故B正确;对于C，开口向下，所以a<0，由题图知对称轴-<0，所以b<0，满足条件，故C正确;对于D，开口向下，所以a<0，由题图知对称轴->0，所以b>0，与已知矛盾，故D错误. 4.已知函数y=ax2-2ax+1+b(a>0). (1)若a=b=1，求y在[t，t+1]上的最小值; 解：当a=b=1时，函数y=x2-2x+2=(x-1)2+1，x∈[t，t+1]， 当t+1≤1，即t≤0时，原函数在[t，t+1]上单调递减， 当x=t+1时，ymin=t2+1; 当t≥1时，原函数在[t，t+1]上单调递增，当x=t时，ymin=t2-2t+2; 当0<t<1时，x=1，ymin=1，所以y在[t，t+1]上的最小值g(t)= (2)若函数在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，求实数a，b的值. 解：原函数的图象开口向上，且对称轴方程为x=1∉[2，4]， 则原函数在[2，4]上单调递增， 则当x=2时，y取得最小值b+1;当x=4时， y取得最大值16a-8a+1+b=8a+1+b， 依题意，解得 所以实数a，b的值分别为1，0. 03 培优点：二次方程根的分布 (1)求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向;②判别式;③对称轴;④在区间端点处的函数值. (2)当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数是否为0. 应用体验 1.关于x的一元二次方程x2+(a2-1)x+a-2=0有一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-1，2) B.(-2，0) C.(-2，1) D.(0，1) 解析：二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的图象开口向上，由f(x)=0的一个根小于1，另一个根大于1，得f(1)<0，因此12+(a2-1)+a-2<0，解得-2<a<1，所以实数a的取值范围是(-2，1). √ √ 2.若关于x的方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2，1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 (　　) A. B. C.∪(-1，+∞) D.∪(1，+∞) 解析：令g(x)=x2-2ax+a+2，因为方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2，1)上有两个不相等的实数解，所以即 解得-<a<-1，所以a的取值范围是. 3.已知方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于-2，则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞，-4) B.(-5，-4) C.(-∞，-4] D.(-∞，-4)∪(4，+∞) √ 解析：令f(x)=x2+2mx-m+12，因为方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于-2，所以由题意可得解得m≤-4. 4.方程x2+2ax-a=0在区间(0，1)和(1，2)内各有一个根的充要条件是 (　　) A.a∈(-∞，-1) B.a∈ C.a∈ D.a∈(-2，-1) √ 解析：因为一元二次方程x2+2ax-a=0在区间(0，1)和(1，2)内各有一个根，令f(x)=x2+2ax-a，则由题意可得 即解得-<a<-1，则方程x2+2ax-a=0在区间(0，1)和(1，2)内各有一个根的充要条件是a∈. 5.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，若∃x0∈R，使得a+bx0+c=x0成立，则称x0为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的不动点. (1)求二次函数y=x2+2x-2的不动点; 解：令x2+2x-2=x，则x2+x-2=0，可得(x-1)(x+2)=0， 解得x1=-2，x2=1. 所以二次函数y=x2+2x-2的不动点为-2和1. (2)对于二次函数y=2x2-(2+a)x+a-1. ①当0<x<2时，函数y'=y+2有唯一的不动点，求实数a的取值范围; 解：由题知y'=y+2=2x2-(2+a)x+a-1+2=2x2-(2+a)x+a+1，令2x2-(2+a)x+a+1=x⇒2x2-(3+a)x+a+1=(x-1)(2x-a-1)=0，解得x=1或x=， 由题可得≤0或≥2或=1，解得a≤-1或a≥3或a=1. 故a的取值范围是(-∞，-1]∪{1}∪[3，+∞). ②若函数y有两个不相等的不动点x1，x2，且x1，x2>0，求+的最小值. 解：二次函数y=2x2-(2+a)x+a-1有两个不相等的不动点x1，x2， 且x1，x2>0，令2x2-(2+a)x+a-1=x⇔2x2-(3+a)x+a-1=0. 由题可得2x2-(3+a)x+a-1=0有两个不相等的正实数根， 则必有解得a>1，得到a-1>0， +======++2≥2+2=6，当且仅当=，即a=5时等号成立.所以+的最小值为6. 课时作业评价 04 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 一、单选题 1.若二次函数g(x)满足g(1)=1，g(-1)=5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x 解析：由题意，设二次函数为g(x)=ax2+bx(a≠0)，则 解得a=3，b=-2，故所求的二次函数为g(x)=3x2-2x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 2.已知a=，b=，c=1，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 解析：由于c=1=，y=在(0，+∞)上单调递增，又<1<3， 则<<，则a<c<b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 3.(2026·浏阳一模)已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2在(0，+∞)上单调递增，则m的值为 (　　) A.1 B.-3 C.-4 D.1或-3 解析：由题意可得⇒⇒m=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 4.已知幂函数f(x)=(m2-6m+9)在(0，+∞)上单调递增，若f(2x-1)≥1，则x的取值范围是(　　) A.(-∞，0] B.[1，+∞) C.[0，1] D.(-∞，0]∪[1，+∞) 解析：因为f(x)=(m2-6m+9)是幂函数，所以m2-6m+9=1，解得m=2或m=4.当m=2时，f(x)=x-4，在(0，+∞)上单调递减，不满足题意;当m=4时，f(x)=x2，在(0，+∞)上单调递增，满足题意，所以f(x)=x2，且f(x)是偶函数.因为f(2x-1)≥1=f(1)，所以|2x-1|≥1，解得x≤0或x≥1，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 5.已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a，若对于区间[-1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，0] 　B.[0，3] C.(-∞，0]∪[3，+∞) 　D.[3，+∞) 解析：二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线x=a-1，∵对于任意x1，x2∈[-1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[-1，2]上具有单调性，∴a-1≤-1或a-1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(-∞，0]∪[3，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 6.“a<2”是“函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞，-3]上单调递增”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：f(x)=-x2-2(a+1)x+3的图象开口向下，对称轴为x=-=-a-1，要想f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞，-3]上单调递增，则-a-1≥-3，解得a≤2.由于{a|a<2}是{a|a≤2}的真子集，故“a<2”是“函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞，-3]上单调递增”的充分不必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 7.已知函数f(x)=|x2-2x-3|在[-1，m]上的最大值为f(m)，则m的取值范围是 (　　) A.(-1，1] B.(-1，1+2] C.[1+2，+∞) D.(-1，1]∪[1+2，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：由已知f(x)=|x2-2x-3|= 作出f(x)的大致图象，如图所示，结合图象知函数f(x)在(-∞，-1)和 (1，3)上单调递减，在(-1，1)和(3，+∞)上单调递增，所以当-1<m≤1时，f(x)在[-1，m]上单调递增，即函数f(x)的最大值为f(m)，成立;当1<m≤3时，f(x)在(-1，1)上单调递增，在(1，m)上单调递减，即函数f(x)的最大值为f(1)>f(m)，此时不成立;当m>3时， f(x)在(-1，1)和(3，m)上单调递增，在(1，3)上单调递减， 所以若此时f(x)的最大值为f(m)，则f(m)≥f(1)， 即解得m≥1+2， 综上所述m∈(-1，1]∪[1+2，+∞)，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 二、多选题 8.(2026·贵阳部分学校联考)已知幂函数f(x)=(8m2-5)，则(　　) A.m=± B.f(x)的定义域为R C.f(x)为非奇非偶函数 D.不等式f(2x+1)>f(5-x)的解集为 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：由幂函数的定义知，8m2-5=1，解得m=±，故A正确;f(x)==，则f(x)的定义域为[0，+∞)，所以f(x)为非奇非偶函数，故B错误，C正确;由f(x)=知函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，所以由f(2x+1)>f(5-x)可得0≤5-x<2x+1，解得<x≤5，即不等式f(2x+1)>f(5-x)的解集为，故D错误.故选AC. 易错提醒：对于D，易忽略f(x)的定义域为[0，+∞)，导致只得出5-x<2x+1，从而误认为D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 9.已知f(x)=x2-2x+a(a>0)，若f(t)<0，则 (　　) A.f(t-2)>0 B.f(t-1)<0 C.f(2-t)<0 D.f(4-t)>f(2) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：函数f(x)的图象关于x=1对称，在(-∞，1)上单调递减，(1，+∞)上单调递增.由f(t)<0，f(0)=f(2)=a>0可得，存在x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，使得f(x1)=f(x2)=0，其中t∈(x1，x2).因为t∈(x1，x2)，则t-2<0， 所以f(t-2)>f(0)>0，故A正确;因为t∈(x1，x2)， 则t-1可能小于0，也可能属于(x1，x2)， 故f(t-1)的符号不确定，故B错误; 根据对称性可得f(2-t)=f(t)<0，故C正确;由于t∈(x1，x2)，且x2∈(1，2)，所以4-t>2，又f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以f(4-t)>f(2)，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 三、填空题 10.(2025·上海徐汇二模)已知幂函数y=f(x)的图象过点，则该幂函数的值域是_______________.  解析：设幂函数f(x)=xα，α∈R，代入点可得3α==，即α=-，可得f(x)==，因为>0，可得f(x)=>0，所以该幂函数的值域是(0，+∞). (0，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 11.若函数f(x)=x2-2x+a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，则a-b的值为_____________.  解析：因为f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1，其图象的对称轴为x=1，开口向上，所以函数在[1，b](b>1)上单调递增，又因为定义域和值域均为[1，b](b>1)，所以即解得(舍去)或所以a-b=0. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=(3m2-8m-2)xm(m∈R)为幂函数，且f(x)在(0，+∞)上单调递增. (1)求f(x)的解析式;(5分) 解：因为函数f(x)=(3m2-8m-2)xm(m∈R)为幂函数， 且f(x)在(0，+∞)上单调递增， 则解得m=3，故f(x)=x3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 (2)若f(a+4)+f(-a2+a-1)<0，求实数a的取值范围.(5分) 解：因为函数f(x)=x3为奇函数且在R上单调递增， 所以不等式f(a+4)+f(-a2+a-1)<0可化为f(a+4)<f(a2-a+1)， 所以a+4<a2-a+1，即a2-2a-3>0， 解得a<-1或a>3， 故实数a的取值范围为(-∞，-1)∪(3，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 13.(10分)已知二次函数f(x)=x2-2ax+1. (1)当a=1时，若f(x)在[0，m]上的值域为[0，1]，求m的取值范围;(5分) 解：当a=1时，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，所以f(0)=1， 又因为f(x)min=f(1)=0，f(2)=1， 所以当f(x)在[0，m]上的值域为[0，1]时，1≤m≤2. 故m的取值范围为[1，2]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 (2)求f(x)在[0，1]上的最小值g(a)的解析式.(5分) 解：由题意可知，f(x)=x2-2ax+1图象的对称轴为x=a， 且f(x)图象开口向上， ①当a≤0时，f(x)在[0，1]上单调递增，故f(x)min=f(0)=1=g(a); ②当0<a<1时，f(x)在[0，a]上单调递减，在[a，1]上单调递增， 故f(x)min=f(a)=1-a2=g(a);③当a≥1时，f(x)在[0，1]上单调递减， 故f(x)min=f(1)=2-2a=g(a).综上所述，g(a)= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 |能力进阶|备选题| 14.(15分)设函数f(x)=x2-2tx+2，其中t∈R. (1)若t=1，且对任意的x∈[0，a+2]，都有f(x)≤5，求实数a的取值范围;(7分) 解：因为f(x)=x2-2tx+2=(x-t)2+2-t2，所以f(x)在区间(-∞，t]上单调递减，在区间[t，+∞)上单调递增，且对任意的x∈R， 都有f(t+x)=f(t-x).若t=1，则f(x)=(x-1)2+1， f(x)在区间(-∞，1]上单调递减，在区间[1，+∞)上单调递增. 对任意的x∈[0，a+2]，都有f(x)≤5等价于在区间[0，a+2]上，f(x)max≤5. 当a+2≥2，即a≥0时，f(a+2)≥f(0)，f(x)max=f(a+2)=(a+1)2+1≤5，解得 -3≤a≤1，所以0≤a≤1;当0<a+2<2，即-2<a<0时，f(x)max=f(0)=2≤5恒成立，故-2<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(-2，1]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 (2)若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)-f(x2)|≤8，求实数t的取值范围.(8分) 解：设函数f(x)在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，则对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)-f(x2)|≤8等价于M-m≤8. ①当t≤0时，M=f(4)=18-8t，m=f(0)=2， 由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1，无解; ②当0<t≤2时，M=f(4)=18-8t，m=f(t)=2-t2， 由M-m=18-8t-(2-t2)=t2-8t+16=(t-4)2≤8，得4-2≤t≤4+2，因此4-2≤t≤2; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 ③当2<t≤4时，M=f(0)=2，m=f(t)=2-t2， 由M-m=2-(2-t2)=t2≤8，得-2≤t≤2，因此2<t≤2; ④当t>4时，M=f(0)=2，m=f(4)=18-8t， 由M-m=2-(18-8t)=8t-16≤8，得t≤3，无解. 综上所述，实数t的取值范围为[4-2，2]. 解题关键：(1)先求出f(x)max，根据函数的对称性知t=1时，f(0)=f(2)，故分类为a+2≥2和0<a+2<2，分别得到f(x)max，再根据f(x)max≤5即可得解; (2)“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)-f(x2)|≤8”等价于最大值与最小值之差不大于8，根据二次函数的性质对t进行分类计算最大值、最小值即可. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $