第2章 第5节 函数性质的综合应用(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数性质的综合应用”专题，依据高考评价体系梳理了奇偶性、对称性、周期性、单调性四大性质的综合考查维度，通过真题模拟题分析明确比较大小、解不等式、求周期等高频题型，构建系统的解题思路体系。 课件亮点在于“结论习得+思维建模+易错警示”的备考策略，如例1通过奇偶性判断和单调性转化区间比较函数值，培养学生的推理能力和模型观念。特设“即时训练”和“课时作业”，教师可据此精准指导学生掌握构造函数、利用周期性等技巧，提升高考冲刺效率。

第五节 函数性质的综合应用 明确目标 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题.解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间的单调性，即实现区间的转换，掌握它们之间的关系是解题关键. 题点一　单调性与奇偶性相结合 发掘教材·习得结论 (人A必修①P101T9) (1)已知奇函数f(x)在[a，b]上单调递减，那么它在[-b，-a]上单调递增还是单调递减?  (2)已知偶函数g(x)在[a，b]上单调递减，那么它在[-b，-a]上单调递增还是单调递减? 习得结论： (1)已知奇函数f(x)在[a，b]上单调递减，那么它在[-b，-a]上也单调递减. (2)已知奇函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么它在[-b，-a]上也单调递增. (3)已知偶函数g(x)在[a，b]上单调递减，那么它在[-b，-a]上单调递增. (4)已知偶函数g(x)在[a，b]上单调递增，那么它在[-b，-a]上单调递减. √ [例1] (1)(2026·天津武清模拟)已知定义在R上的函数f(x)=x·e|x|，a=f(log3)，b=-f，c=f(ln 3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b 解析：f(x)=x·e|x|，定义域为R，关于原点对称， 且f(-x)=-x·e|-x|=-x·e|x|=-f(x)，所以函数f(x)=x·e|x|为奇函数，所以b=-f=f=f(log32).又f(x)=x·ex，x>0，任取x1，x2∈(0，+∞)，且0<x1<x2，则0<<，则f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，又由对数函数的单调性可得log32<log3<1<ln 3，所以f(log32)<f(log3)<f(ln 3)，即c>a>b. 解题关键：确定f(x)的定义域，由函数奇偶性的定义或性质判定f(x)是奇函数. (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1>x2时，>x1+x2恒成立，且f(3)=0，则满足f(m+3)≤m2+6m的实数m的取值范围为____________.  [-6，0] 解析：由>x1+x2可得f(x1)-f(x2)>-，即f(x1)->f(x2)-，令g(x)=f(x)-x2，则有g(x1)>g(x2)，又x1>x2，所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以g(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2=g(x)， 故g(x)为R上的偶函数.由f(m+3)≤m2+6m可得f(m+3)-(m+3)2≤-9， 而g(3)=f(3)-9=-9，则g(m+3)≤g(3)，由函数g(x)的单调性和奇偶性， 可得|m+3|≤3，解得-6≤m≤0. (方法习悟：通过移项构造出单调性已知的函数g(x)是关键，利用g(x)的单调性与奇偶性转化目标不等式，即可求解) 习得知能：解与偶函数有关不等式的一般结论 ①若当x≥0时，f(x)单调递增，则当x<0时，f(x)单调递减， 即f(m)>f(n)⇒|m|>|n|，f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|>|m|. ②若当x≥0时，f(x)单调递减，则当x<0时，f(x)单调递增， 即f(m)>f(n)⇒|m|<|n|，f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|<|m|. 思维建模 奇偶性与单调性结合问题的解法 (1)比较大小：利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. (2)解抽象函数不等式：先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组). 即时训练 √ 1.(2026·日照一模)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件：①f(-x)-f(x)=0;②对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时都有>0， 则f(-)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-) B.f(π)>f(-)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-) D.f(π)<f(-)<f(-3) 解析：因为定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(-x)-f(x)=0，所以函数f(x)是偶函数，对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时都有>0，所以不妨设x1>x2，则有f(x1)-f(x2)>0⇒f(x1)>f(x2)，因此当x∈[0，+∞)时，函数f(x)单调递增，因为函数f(x)是偶函数，所以f(-)=f()， f(-3)=f(3)，因为当x∈[0，+∞)时，函数f(x)单调递增， 所以f(π)>f(3)>f()，即f(π)>f(-3)>f(-)，故选A. 2.已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(3)=0，则满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是________________.  解析：因为定义域为R的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(3)=0，所以f(x)在(0，+∞)上也单调递减，且f(-3)=0，f(0)=0，所以当x∈(-∞， -3)∪(0，3)时，f(x)>0，当x∈(-3，0)∪(3，+∞)时，f(x)<0，所以由(x+1)f(x)≥0，可得或或x=0，解得0≤x≤3或 -3≤x≤-1，所以满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是[-3，-1]∪[0，3]. [-3，-1]∪[0，3] 易错提醒：(x+1)f(x)≥0，有三个条件： ①(x+1)与f(x)同号; ②其中至少有一个为0; ③定义在R上的奇函数有f(0)=0.不要忽视分类讨论思想的应用. 题点二　奇偶性、对称性与周期性相结合 √ [例2]　(多选)已知函数f(x)的定义域为R，函数y=xf(x+3)是奇函数，函数y=(x+1)f(x)的图象关于直线x=-1对称，则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)的图象关于直线x=3对称 B.f(x-2)的图象关于点(1，0)对称 C.8为f(x)的一个周期 D.f(1)=0 √ 解析：法一　因为y=xf(x+3)是奇函数，所以y=f(x+3)为偶函数，所以f(-x+3)=f(x+3)，即f(-x)=f(x+6)，故f(x)的图象关于直线x=3对称，A正确;由y=(x+1)f(x)的图象关于直线x=-1对称得(x+1)f(x)=(-2-x+1)f(-2-x)，即(x+1)f(x)=-(x+1)f(-2-x)，即f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)图象关于点 (-1，0)对称，则f(x-2)的图象关于点(1，0)对称，B正确;由上述分析知f(-x)=-f(x-2)，f(-x)=f(x+6)，所以f(x+6)=-f(x-2)，即f(x+8)=-f(x)，所以f(x+16)=-f(x+8) =f(x)，C错误;不能得到f(x)的奇偶性与f(1)的值，D错误.故选AB. (细节提醒：将函数图象的对称性“符号化”，反复赋值，得到f(x+T)=f(x)型的等式，即可得到函数的周期) 法二　对于A、B、C，因为y=xf(x+3)是奇函数，所以y=f(x+3)为偶函数，图象关于直线x=0对称，从而f(x)的图象关于直线x=3对称.y=(x+1)f(x)的图象关于直线x=-1对称，则y=xf(x-1)为偶函数，从而y=f(x-1)为奇函数，所以f(x-2)的图象关于点(1，0)对称，f(x)的图象关于点(-1，0)对称.利用“双对称”的结论可快速得到函数f(x)的周期为4×|-1-3|=16.A、B正确，C错误. (巧用二级结论：f(x)的图象关于直线x=a与点(b，0)对称，则周期T=4|b-a|) 思维建模 (1)解决函数奇偶性与图象的对称性综合问题时，要注意先把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心;也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性. (2)周期性与奇偶性结合问题多考查求函数值、比较大小等.常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调区间内求解. 即时训练 √ 解题关键：①处，由f(x+1)为奇函数知f(x+1)过原点，即f(1)=0; ②处，求出周期是求累加问题的关键; ③处，分组求和，处理余数. √ 题点三　函数性质的综合应用 [例3]　(多选)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)的导函数为f'(x)，f(2-x)+f(4+x) =0，f(x-1)=f(5-x)，当x∈[-2，0]时，f'(x)>0，则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称 C.f<f D. f(k)=1 √ 解析：由f(2-x)+f(4+x)=0，得f(6-x)=-f(x)，由f(x-1)=f(5-x)，得f(x)=f(4-x)，所以f(6-x)=-f(4-x)， 则f(6+x)=-f(4+x)，所以f(2+x)=-f(x)，则f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)的一个周期为4.由f(x)=f(4-x)与f(4+x)=f(x)，得f(4-x)=f(4+x)，即f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确;由f(2-x)+f(4+x)=0，得f(3-x)=-f(3+x)，所以f(x)的图象关于点(3，0)中心对称.又f(-1)=f(-4+3)=f(3)=0，所以f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称，故B正确; (习得知能：若函数f(x+a)=-f(x+b)，则周期T=2|a-b|) 因为当x∈[-2，0]时，f'(x)>0，所以当x∈[2，4]时，f'(x)>0，因为f(x)=f(4-x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，所以当x∈[0，2]时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，2)内单调递减， 所以f=f=f>f，故C不正确;因为f(1)+f(5)=0， 又f(5)=f(4+1)=f(1)，所以f(1)=0.又f(3)=f(1)=0，f(2)+f(4)=0， 所以 f(k)=506×0+f(1)=0，故D不正确. 思维建模 　对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题. 即时训练 √ 4.[多选]已知定义域为R的函数f(x)在(-1，0]上单调递增，f(1+x)=f(1-x)，且f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列结论正确的是 (　　) A.f(0)=f(2) B.f(x)的最小正周期T=2 C.f(x)在(1，2]上单调递减 D.f(2 025)>f(2 026)>f(2 027) √ 解析：由f(1+x)=f(1-x)知，f(x)图象的对称轴为直线x=1，所以f(0)=f(2)，故A正确;由f(1+x)=f(1-x)知，f(2+x)=f(-x)，又f(x)的图象关于点(2，0)对称，即f(2+x)=-f(2-x)，故f(4+x)=-f(-x)，所以-f(2+x)=f(4+x)， 即-f(x)=f(2+x)，所以f(x)=f(x+4)，f(x)的最小正周期为4，故B错误; 易错提醒：函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 因为f(x)在(-1，0]上单调递增，且T=4，所以f(x)在(3，4]上单调递增.又f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(x)在[0，1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)在(1，2]上单调递减，故C正确;根据f(x)的周期为4，可得f(2 025)=f(1)，f(2 026)=f(2)，f(2 027)=f(-1)，由A知f(2)=f(0)，由C的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(-1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x=±1，若f(-1)=f(1)=0，则f(2 025)>f(2 026)>f(2 027)不成立，故D错误. 课时作业评价 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 一、单选题 1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2-x)+f(x)=，则f(2 027)=(　　) A.- B. C.0 D.1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：由题意知f(x)的图象关于点对称，即f(1)=，因为 f(-x)=f(x)，所以f(2-x)+f(-x)=，即f(2+x)+f(x)=，所以f(2+x)-f(2-x)=0，即f(2+x)=f(2-x)=f(x-2)，所以f(x)=f(x+4)，故f(x)的周期为4，则f(2 027)=f(507×4-1)=f(-1)=f(1)=，故选B. 谨记结论：若f(x)的图象关于直线x=a和点(b，t)对称，则f(x)的周期为4|a-b|. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 2.(2025·郑州三模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=(x-3)f(x)的图象关于x=3对称，若g(-2)=-5，则f(4)= (　　) A.-3 B.-1 C.0 D.1 解析：因为g(-2)=(-2-3)f(-2)=-5f(-2)=-5，所以f(-2)=1，因为f(x)是奇函数，f(2)=-f(-2)=-1，所以g(2)=(2-3)f(2)=1，因为函数g(x)=(x-3)f(x)的图象关于x=3对称，所以g(4)=g(2)=1，即g(4)=(4-3)f(4)=f(4)=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 3.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x)，且f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(-6.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是 (　　) A.f(-1)<f(0)<f(-6.5) B.f(-6.5)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) D.f(0)<f(-6.5)<f(-1) 解析：∵f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x)，∴f(x)的周期为2，∵偶函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，f(-6.5)=f(6.5)=f(0.5)，f(-1)=f(1)，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(-6.5)<f(-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 4.(2026·大连期末)已知函数f(x)是定义在[-2，2]上的奇函数，且f(x)在[-2，0]上单调递增.若f(2t-1)+f(t)<0，则实数t的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：因为f(x)是定义在[-2，2]上的奇函数，且f(x)在[-2，0]上单调递增，所以f(x)在[-2，2]上单调递增. 又f(2t-1)+f(t)<0，则f(2t-1)<-f(t)，所以f(2t-1)<f(-t)， 所以解得-≤t<，故实数t的取值范围为. (奇函数在对称区间上的单调性相同) (不要忽略自变量的范围) 总结规律：在转化不等关系时，自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如f(1)=0，f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 5.(2026·青岛一模)已知函数f(x)的定义域为R，若f(2x+1)为偶函数，且f(x)+f(4-x)=2，f(1)=2，则 f(n)=(　　) A.2 026 B.2 025 C.2 024 D.2 023 解析：由f(2x+1)为偶函数，得f(2x+1)=f(-2x+1)，即f(1+x)=f(1-x)，则f(2-x)=f(x)，因此f(2-x)+f(4-x)=2，即f(2+x)+f(x)=2，则f(4+x)+f(2+x)=2，于是f(x+4)=f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数，由f(2+x)+f(x)=2，得f(1)+f(3)=2，f(2)+f(4)=2，因此f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，所以 f(n)= 506×4+f(1)=2 026. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 6.(2025·鹤壁二模)已知函数f(x)的定义域为R，若f(2x-1)为奇函数，且f(x+1)为偶函数，则 (　　) A.f(2 023)=0 B.f(2 024)=0 C.f(2 021)=0 D.f(2 022)=0 解析：∵f(2x-1)为奇函数，∴f(-2x-1)=-f(2x-1)，令u=2x-1， 则f(u)=-f(-u-2)，即f(x)=-f(-x-2)①.令x=0，得到f(-1)=0.∵f(x+1)为偶函数，∴f(-x+1)=f(x+1)，f(x)=f(2-x)②.结合①②得到f(2-x)=-f(-x-2)，f(x)=-f(x+4)，f(x+4)=-f(x+8)，∴f(x)=f(x+8)，∴函数的周期为8， ∴f(2 023)=f(253×8-1)=f(-1)=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 7.已知函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x)，对任意x1，x2∈(-∞，-2]，且x1≠x2，都有>0成立，且f(0)=0，则f(x)>0的解集是(　　) A.(-∞，-2)∪(2，+∞) 　　　B.(-2，2) C.(-∞，-4)∪(0，+∞) 　　　D.(-4，0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：因为函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x)，所以f(x)的图象关于x=-2对称.因为函数f(x)对任意x1，x2∈(-∞，-2]，且x1≠x2，都有>0成立，所以f(x)在(-∞，-2]上单调递增. 又因为f(x)的图象关于x=-2对称，f(0)=0， 所以f(x)在(-2，+∞)单调递减，且f(-4)=0. 用折线图表示函数f(x)的单调性， 如图所示，由图知f(x)>0⇒-4<x<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 8.已知f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈(1，2)时，f(x)=-3x2+2，则f=(　　) A.- B. C.- D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，f(2-x)=-f(x).因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x=2对称，f(2-x)=f(2+x)，所以f(2+x)=-f(x)，故f(2+2+x)=-f(2+x)=f(x)，即f(x)=f(x+4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.又当x∈(1，2)时，f(x)=-3x2+2，所以f=f=f=-f=-f=.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ √ 二、多选题 9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(-∞，0]上单调递增，g(x)在(-∞，0]上单调递减，则(　　) A.f(f(1))>f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2)) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：由奇偶函数的性质可得，f(x)在(-∞，0]上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，则f(1)>f(2)，g(1)>g(2).由题意只能得到f(1)>f(2)，并不能确定f(1)，f(2)的正负，所以无法判断f(f(1))与f(f(2))的大小，故A错误;由题意只能得到g(1)>g(2)，并不能确定g(1)，g(2)的正负，所以无法判断f(g(1))与f(g(2))的大小，故B错误;因为f(1)>f(2)，g(x)在R上单调递减，所以g(f(1))<g(f(2))，故C正确;因为g(1)>g(2)，g(x)在R上单调递减，所以g(g(1))<g(g(2))，故D正确.故选CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ √ √ 10.设f(x)是R上的奇函数，且∀x∈R，都有f(2-x)=f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=x2，则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)在[3，5]上单调递增 B.f(x)的最大值是1，最小值是0 C.直线x=1是函数f(x)的一条对称轴 D.当3≤x≤4时，f(x)=-(x-4)2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，又因为f(2-x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确;因为f(2-x)=f(x)=-f(-x)，即f(2-x)+f(-x)=0，从而f(2+x)+f(x)=0，所以f(4+x)+f(2+x)=0，所以f(4+x)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数.又因为当x∈[0，1]时，f(x)=x2单调递增，所以f(x)在[-1，0]上也单调递增，从而f(x)在[-1，1]上单调递增.又因为f(x)的周期为4，所以f(x)在 [3，5]上单调递增，故A正确;因为f(x)在[-1，1]上单调递增，且f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(x)在[-1，3]上的最大值为f(1)=1，最小值为f(-1)=-f(1)=-1，故B错误;当3≤x≤4时，0≤4-x≤1，所以f(4-x)=(4-x)2，因为周期为4，所以f(-x)=f(4-x)=(4-x)2，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-(4-x)2=-(x-4)2，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 11.(2025·巴中三模)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x)，若f(2x+1)与g(x+2)均为偶函数，则下列选项正确的是 (　　) A. g(i)=0 B.f(x)和g(x)是周期为4的周期函数 C.g(x+1)为奇函数 D.f(x)的图象关于点(2，0)对称 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析：因为g(x+2)为偶函数，所以g(-x+2)=g(x+2)，即g(x)=g(4-x)，所以函数g(x)的图象关于直线x=2对称，则g(1)=g(3).又f(2x+1)为偶函数，所以f(-2x+1)=f(2x+1)，即f(x)=f(-x+2)，两边求导得，f'(x)=-f'(-x+2)❶，即g(x)=-g(2-x)，g(x)的图象关于(1，0)对称，则g(x+1)的图象关于原点对称，g(x+1)为奇函数，故C正确.g(1)=0，g(0)=-g(2)，由以上分析得g(4-x)=-g(2-x)，即有g(x+2)=-g(x)，即g(x+4)=-g(x+2)=g(x)，且g(x+2)+g(x)=0，所以g(x)是周期为4的周期函数，g(1)+g(3)=0，g(2)+g(4)=0，故 g(i)=506[g(1)+g(2)+g(3)+ g(4)]+g(1)=g(1)=0，故A正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 对于B，由于g(-x+2)=g(x+2)，则f(x+2)=-f(-x+2)+c，由于f(x)=f(-x+2)，故f(x+2)=-f(-x+2)+c=-f(x)+c，所以f(x+4)=-f(x+2)+c=-[-f(x)+c]+c=f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，B正确.对于D，由于g(x)=g(4-x)，则f(x)=-f(4-x)+d❷，故f(x)的图象关于对称，由于d不一定为0，故D错误.故选ABC. 易错提醒：①处，注意等式右边是个复合函数，不要把负号漏掉了; ②处，易忽视积分常数d，积分时常数项不影响周期性，但会影响中心对称性. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 三、填空题 12.(2026·六安模拟)若偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=-f(1-x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=4x，则f(2 026)=___________.  解析：由f(x+2)=-f(1-x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=4x，f(x)=f(-x)， 得f(1)=4，f(2)=-4，f(3)=0，f(4)=-4，f(5)=4，f(6)=0，f(7)=4， f(8)=-4，…，则f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(2 026)=f(6×337+4)=f(4)=-4. -4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 13.(2025·日照二模)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)=4，g(x)=(x-1)f(x)，若g(x+1)是偶函数，则g(-0.5)=_________.  解析：因为g(x+1)是偶函数，所以g(x)的图象关于直线x=1对称，故g(x)=g(2-x)，即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x)，所以f(x)+f(2-x)=0.所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称.又f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)= -f(2-x)=-f(x-2)，所以f(x-4)=f((x-2)-2)=-f(x-2)=f(x)，即f(x-4)=f(x)， 所以函数f(x)的周期为4.所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=4， 所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5×f(2.5)=6. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 14.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(2，2)对称，且当x>y>2时，不等式x+f(4-y)>y+f(4-x)恒成立，其中f(4)=0，则不等式f(x)>4-x的解集为__________________.  解析：设函数g(x)=x+f(x)❶，因为f(x)的图象关于点(2，2)对称，所以f(x)+f(4-x)=4，则g(x)+g(4-x)=[x+f(x)]+[4-x+f(4-x)]=8，从而g(x)的图象关于点(2，4)对称.由x+f(4-y)>y+f(4-x)，可得x+4-f(y)>y+4-f(x)，整理得x+f(x)>y+f(y)，即g(x)>g(y)，则g(x)在(2，+∞)上单调递增. (0，2)∪(4，+∞) 解题细节：①处，由f(x)+x>4构造函数; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 因为g(x)的图象关于点(2，4)对称，所以g(x)在(-∞，2)上单调递增.由f(4)=0，得f(0)=4，则g(0)=g(4)=4❷.由f(x)>4-x，得x+f(x)>4，即g(x)>4，当x<2时，由g(x)>4=g(0)，可得0<x<2❸;当x>2时，由g(x)>4=g(4)可得x>4.因此，不等式f(x)>4-x的解集为(0，2)∪(4，+∞). 解题细节：②处，解不等式的前提条件; ③处，不要忽视g(x)的对称性，漏掉(-∞，2)的解. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数，且y=f(2x)的图象关于直线x=1对称，若f(0)=-1，则f(i)= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：由f(x+1)为奇函数，知f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(1)=0❶，由f(0)=-1，得f(2)=-f(0)=1.由y=f(2x)的图象关于直线x=1对称，则f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(4)=f(0)=-1，f(3)=f(1)=0.综上，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，由上f(x)+f(2-x)=0，f(2-x)=f(2+x)，得f(x)=-f(2+x)，所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，则4为f(x)的一个周期❷， 所以f(i)=0×12+f(1)+f(2)=1❸. $