第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的奇偶性与周期性”专题，依据高考评价体系明确了奇偶性含义、周期性几何意义及应用三大考查要求，通过梳理教材主干知识与近五年高考真题，分析出奇偶性应用（求解析式、解不等式）占比60%、周期性求值占比30%的高频考点，归纳了定义判断、性质应用等常考题型。 课件亮点在于“教材溯源+真题突破+思维建模”策略，如以2023新课标Ⅱ卷偶函数求参数题为例，用定义法和特殊值法解析，培养数学思维（逻辑推理）与数学语言（符号表达）。设易错提醒（如奇函数f(0)=0）和即时训练，助学生掌握技巧，教师可据此精准教学，提升备考效率。

第三节 函数的奇偶性与周期性 明确目标 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的奇偶性、周期性解决一些简单的问题. 目录 课时作业评价 3 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识| 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于____对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且__________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于____对称 f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且___________，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x) 最小 最小正数 Ⅱ.|发|掘|教|材|辅|文|价|值| (1)(人A必修①P161T11拓展)f(x)=loga(m+nx)(m-nx)(a>0，且a≠1，mn≠0)为偶函数;g(x)=loga(a>0，且a≠1，mn≠0)为奇函数. (2)(湘教必修①P84T4拓展)g(x)=f(x)+f(-x)为偶函数，h(x)=f(x)-f(-x)为奇函数. (3)(人B必修①P115T4拓展)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R，则①f(x)|g(x)|是奇函数;②f(x)g(x)是奇函数;③f(g(x))是偶函数. (4)(北师大必修①P73T2结论)若函数f(x)的定义域是R，且对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，则f(x)是奇函数. Ⅲ.|练|悟|教|材|固|基|小|题| 1.(人A必修①P84例6改编)[多选]给出下列函数，其中为奇函数的是(　　) A.f(x)=x4 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= √ √ 解析：对于f(x)=x4，f(x)的定义域为R，由f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，可知f(x)=x4是偶函数，同理可知f(x)=x5，f(x)=x+是奇函数，f(x)=是偶函数. 2.(苏教必修①P134T8)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，则下列关系式中成立的是 (　　) A.f(-1)<f(-2) B.f(1)<f(2) C.f(-1)<f(2) D.f(-1)>f(2) √ 解析：因为f(x)是偶函数，所以f(1)=f(-1)，f(-2)=f(2)，又f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以f(-1)>f(-2)，f(1)>f(2)，f(-1)>f(2).故选D. 3.(北师大必修②P4T3改编)已知f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(-1)=2f(10)+3，则f(2 026)=___________.  -1 解析：由题意知f(2 026)=f(3×675+1)=f(1)，而f(-1)=2f(10)+3， 所以f(-1)=-f(1)=2f(3×3+1)+3=2f(1)+3，即3f(1)=-3， 解得f(1)=-1，故f(2 026)=f(1)=-1. 4.考教衔接训练(重视教材的基础本位，消除高考畏惧感) 4-1 (人A必修①P161T12)对于函数f(x)=a-(a∈R)， ①探索函数f(x)的单调性; ②是否存在实数a使函数f(x)为奇函数? 提示：①单调递增;②存在a=1. 4-2 (2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln为偶函数，则a=(　　) A.-1 B.0 C. D.1 √ 解析：因为f(x)=(x+a)ln为偶函数，f(-1)=(a-1)·ln 3，f(1)=(a+1)ln=-(a+1)ln 3，所以(a-1)ln 3=-(a+1)ln 3，解得a=0，当a=0时，f(x)的定义域关于原点对称，故f(x)是偶函数. 变与不变：高考题与教材习题均考查已知函数的奇偶性求参数值.此类问题的解法一般有两个：一是定义法，二是特殊值法. 5.激活方法(用“函数的奇偶性”解题) [多选]下列函数是偶函数的是(　　) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y=2x+ D.y=x2+sin x √ √ 解析：由题意，四个函数定义域都是R，在f(x)=x+sin 2x中， f(-x)=-x+sin(-2x)=-x-sin 2x=-f(x)，是奇函数;在g(x)=x2-cos x中， g(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=g(x)，是偶函数;在h(x)=2x+中， h(-x)=2-x+=2x+=h(x)，是偶函数;在w(x)=x2+sin x中， w(-x)=(-x)2+sin(-x)=x2-sin x≠±w(x)，所以y=x2+sin x既不是奇函数， 也不是偶函数. 02 题点一　函数奇偶性的判断(自主练通) √ 1.(2026·长春模拟)函数f(x)=是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 解析：法一　图象法：作出f(x)的图象，如图， 易知f(x)的图象关于原点对称， 所以f(x)为奇函数，故选A. 法二　定义法：易知f(x)的定义域关于原点对称.当x>0时，-x<0，f(-x)=-x+3=-(x-3)=-f(x);当x<0时，-x>0，f(-x)=-x-3=-(x+3)=-f(x).所以f(x)为奇函数，故选A. √ 2.(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析：法一　通解：对于A，f(-x)==≠f(x)，故f(x)不是偶函数;对于B，f(-x)===f(x)，故f(x)是偶函数;对于C，f(x)的定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数;对于D，f(-x)===-=-f(x)，故f(x)是奇函数.故选B. 法二　性质法：易知y=x2+1与y=e|x|均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y=ex-x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数;对于B，y=cos x+x2是偶函数，所以f(x)是偶函数;对于C，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数;对于D，y=sin x+4x是奇函数，所以f(x)是奇函数，故选B. 借题发挥：(1)常见的偶函数有y=ax+a-x(a>0且a≠1)，y=cos x，y=x2n(n∈Z)，y=|x|等; (2)常见的奇函数有y=ax-a-x，y=sin x，y=tan x，y=x2n+1(n∈Z)，y=loga，y=loga(x+ )等，其中a>0且a≠1. 3.设函数f(x)=，则下列函数为奇函数的是(　　) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 √ 解析：令g(x)=f(x-1)-1=-1=，则函数g(x)的定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称，所以该函数不是奇函数，A错误;令h(x)=f(x-1)+1 =+1=，则函数h(x)的定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称，所以该函数不是奇函数，B错误;令t(x)=f(x+1)-1=-1=，则函数t(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且t(-x)==-t(x)，所以该函数是奇函数，C正确;令m(x)=f(x+1)+1=+1=+2，则函数m(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，但m(-x)=+2≠-m(x)，所以该函数不是奇函数，D错误. 思维建模 判断函数奇偶性的方法 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(-x)的关系 取特殊值 排除法 比如若根据函数得到f(1)≠f(-1)，则排除f(x)是偶函数，适用于选择题 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数;两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数;一个奇函数与偶函数的积为奇函数 题点二　函数奇偶性的应用 考法(一)　利用奇偶性求解析式 [例1]　已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=4-x+1，则函数 f(x)的解析式为___________________.  解析：当x>0时，-x<0，所以f(x)=-f(-x)=-(4x+1)=-4x-1，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，综上，函数f(x)的解析式为f(x)= (易错提醒：求奇函数解析式时，忽略x=0会造成解析式缺失) f(x)= 思维建模 利用奇偶性求解析式的关键点 (1)将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出. (2)如果f(x)是一个奇函数，f(x)要么在x=0处没有定义，要么在x=0处的函数值为0，即f(0)=0. 考法(二)　利用奇偶性求值 [例2] (1)(2025·阜阳三模)已知函数f(x)=x2的图象关于原点对称，则a=(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 √ 解析：易知f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数， 则f(-x)+f(x)=(-x)2+x2=0对任意x均成立， 所以+=0，即2a--=0，2a=2，解得a=1. (2)设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为m，则M+m等于 (　　) A.0 　　　　B.2 C.1 　　　　D.3 √ 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)=f(x) -1=x5+2x3+3x，则函数g(x)为奇函数，所以g(x)在区间[-2 025，2 025]上的最大值与最小值之和为0，即M-1+m-1=0，所以M+m=2. 谨记结论：偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 思维建模 利用奇偶性求值的策略 　　利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 考法(三)　利用奇偶性解不等式 [例3]　定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若 f(1-m)<f(m)，则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D. √ 解析：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)=f(|x|)❶.∴f(1-m)=f(|1-m|)，f(m)=f(|m|).又f(x)在[-2，0)上单调递增，在[0，2]上单调递减， ∴原不等式等价于解得-1≤m<. 故实数m的取值范围是. 解题关键：①处，偶函数f(x)具有性质f(x)=f(|x|).因为当x>0时，必有f(|x|)=f(x);当x<0时，f(|x|)=f(-x)=f(x); ②处，大前提(函数的定义域)不能忘; ③处，自变量x对应的点到对称轴的距离越大，函数值越小. 思维建模 利用奇偶性解不等式的步骤 　　转化、定性、去f、求解：即先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).当涉及f(x)是偶函数时，常用f(x)=f(|x|)，将问题转化到区间[0，+∞)上求解. 即时训练 √ 1.(2026·天津和平一模)已知函数f(x)=(x+a)·是偶函数，则实数a=(　　) A.-2 B.0 C.2 D.4 解析：对于函数f(x)=(x+a)·， 有e2x-1≠0，解得x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}， 且f(x)=(x+a)·=.因为函数f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，即=，可得a-x=-(x+a)对任意的x≠0恒成立，则a=0. (细节提醒：判断函数的奇偶性，首先判断定义域是否对称) √ 2.已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且满足f(x)+g(x)=ex+x，则g(x)= (　　) A. B. C. D. 解析：由题意知，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(-x)=-f(x)， g(-x)=g(x)，所以 即解得g(x)=. 3.已知函数f(x)=-2x-x5，则不等式f(x-1)+f(5-3x)<0的解集是_________.  解析：由y=-2x，y=-x5在R上都单调递减，且都是奇函数， 所以f(x)=-2x-x5是单调递减的奇函数， 故f(x-1)<-f(5-3x)=f(3x-5)，则x-1>3x-5，即x<2， 所以不等式的解集为(-∞，2). (重点强调：减函数+减函数=减函数，奇函数+奇函数=奇函数) (-∞，2) √ 题点三　函数的周期性及应用 [例4] (1)(2025·全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f=(　　) A.- B.- C. D. 解析：法一　∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f=f. ∵f(x)的周期为2，∴f=f=f. 又∵2≤≤3，∴f=f=5-2×=-. 法二　f=f=f=f=f=f=5-2×=-. 法三　∵当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，∴当0≤x≤1时，2≤x+2≤3，则f(x+2)=5-2(x+2)=-2x+1.又f(x)的周期为2，∴f(x+2)=f(x)=-2x+1，∴f=f=-2×+1=-. 法四　∵f(x)图象关于x=0对称且周期为2， ∴f(x)图象关于x=1，x=2对称， ∴f=f=f=f=-. (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为_________________________.  解析：根据题意，设x∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]， 则有4-x∈[0，2]，又x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)， 则f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x).又f(x)是周期为4的偶函数， 所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x)，x∈[2，4]. f(x)=log2(5-x)，x∈[2，4] 掌握周期性的几个结论 对于f(x)定义域内任一自变量的值x， (1)若f(x+a)=-f(x)，则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (2)若f(x+a)=，则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (3)若f(x+a)=-，则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (4)若f(x)+f(x+a)=k(k为常数)，则2a(a>0)是f(x)的一个周期. 思维建模 与周期有关的解题策略 (1)求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期. (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 即时训练 √ 4.已知函数f(x)满足f(1)>0，f(2)=1，f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x，y∈R)，则f(50)= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：令y=2，可得f(x)=f(x+2)+f(x-2)，则f(x+2)=f(x+4)+f(x)=f(x+4)+ f(x+2)+f(x-2)，即f(x+4)=-f(x-2)，即f(x+6)=-f(x)，所以f(x+12)=f(x)，函数f(x)是周期为12的周期函数，则f(50)=f(2)=1.故选C. 5.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)f(x)=1，若f(0)∈(1，2)， 则f(2 026)的取值范围为____________.  解析：因为f(x+2)f(x)=1，所以f(x+2)=，所以f(x+4)===f(x)，即f(x+4)=f(x)，所以4是函数f(x)的一个周期，所以f(2 024)=f(0).因为f(0)∈(1，2)，所以f(2 026)==∈. 课时作业评价 03 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.已知函数f(x)是周期为2的奇函数，且f(202.5)=1，则f(-0.5)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：已知函数f(x)是周期为2的奇函数，且f(202.5)=f(101×2+0.5) =f(0.5)=1，所以f(-0.5)=-f(0.5)=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.(2025·天津河西二模)已知函数y=f(2x)+2x是偶函数，且f(2)=2， 则f(-2)= (　　) A.-3 B.4 C.5 D.6 解析：因为函数y=f(2x)+2x是偶函数，且f(2)=2，则f(-2)-2=f(2)+2，故f(-2)=f(2)+4=2+4=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.(2025·许昌三模)下列函数中，值域为R且为奇函数的是 (　　) A.y=ex-1 B.y=xsin x C.y= D.y=x- 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：对于函数y=ex-1，定义域为R，而f(-x)≠-f(x)，∴该函数不是奇函数，故A错误.对于函数y=xsin x，定义域为R，f(-x)=(-x)sin(-x)=(-x) ×(-sin x)=xsin x=f(x)，∴该函数是偶函数，不是奇函数，故B错误.对于函数y=，定义域为{x|x≠0}，f(-x)==-=-f(x)，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为(-∞，0)∪(0，+∞)，不是R，故C错误.对于函数y=x-，定义域为{x|x≠0}，f(-x)=-x-=-=-f(x)， ∴该函数是奇函数.当x趋于正无穷时，y=x-趋于正无穷;当x趋于负无穷时，y=x-趋于负无穷;并且函数在定义域内是连续的，∴值域为R，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.(2025·昆明二模)若函数f(x)=(a>0且a≠1)是偶函数，则a=(　　) A. B. C.2 D.4 解析：f(x)==+，则f(-x)=+，由于f(x)是偶函数，故+=+=2x+对∀x∈R恒成立，故=，所以a=4，故选D. 习得知能：f(x)是偶函数⇒f(x)-f(-x)=0=1(f(x)≠0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.(2026·遂宁期中)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且当0<x<1时，f(x)=-x2+2x，则f=(　　) A.- B.- C. D. 解析：因为f(x+1)=-f(x)，则f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，可知函数f(x)的一个周期为2.又因为f(x)为奇函数，且当0<x<1时，f(x)=-x2+2x， 所以f=f=-f=-=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.(2025·玉溪二模)已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)g(x)的图象可能是 (　　) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：由题图可知函数y=f(x)g(x)的定义域为函数y=f(x)和函数y=g(x)的定义域的交集(-∞，0)∪(0，+∞)，故函数y=f(x)g(x)的图象不经过坐标原点，排除B、C;又因为函数y=f(x)是偶函数，函数y=g(x)是奇函数，所以函数y=f(x)g(x)是奇函数，排除D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 7.设函数f(x)=，则下列函数为奇函数的是(　　) A.f(x+1)+1 B.f(x+1)-1 C.f(x-1)-1 D.f(x-1)+1 (习得知能：分离常数法是解决这类问题的有效方法) 解析：法一　f(x)===+1. f(x-1)+f(-x-1)=+1++1=2，所以函数f(x)的图象关于点(-1，1)对称，所以f(x-1)-1的图象关于点(0，0)对称，是奇函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 法二　f(x)===+1，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得图象对应的函数为 f(x-1)-1=，显然为奇函数，故选C. (总结规律：奇函数÷偶函数=奇函数) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 法三　排除法：易知f(x)的定义域为R，若函数为奇函数，则其图象必过点(0，0)，将x=0依次代入四个选项.对于A，f(x+1)+1=f(1)+1=+1≠0，排除A;对于B，f(x+1)-1=f(1)-1=-1≠0， 排除B;对于C，f(x-1)-1=f(-1)-1=-1=0;对于D， f(x-1)+1=f(-1)+1=+1≠0，排除D.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 8.已知函数f(x+1)为定义在[a-3，a+7]上的偶函数，且f(x)在[a+2，a+7]上单调递增，则满足不等式f(2+2am)<f(4)的实数m的取值范围为 (　　) A.(-1，2) B.(-2，3] C.(-1，2] D.(-1，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：函数f(x+1)为定义在[a-3，a+7]上的偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则=1，解得a=-1，所以函数f(x)的定义域为[-4，6]，且函数f(x)在[1，6]上单调递增，在[-4，1]上单调递减. 由f(2-2m)<f(4)，可得-2<2-2m<4， 解得-1<m<2，即实数m的取值范围为(-1，2).故选A. (重点强调：在对称轴左侧，离对称轴越远，函数值越大) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 二、多选题 9.(2025·汉中二模)若函数f(x)=x，则(　　) A.f()= B.f(x)的最小值为0 C.f(x)是奇函数 D.f(x)的定义域为(-∞，-1]∪[1，+∞) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：f()=×=，故A正确.由x2-1≥0， 得x∈(-∞，-1]∪[1，+∞)，故D正确.因为f(-2)<0， 所以f(x)的最小值不是0，故B错误.因为f(-x)=-x=-f(x)， 所以f(x)是奇函数，故C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ √ 10.已知函数f(x)为R上的奇函数，且x≥0时，f(x)=-x2+2x+m，则 (　　) A.f(1)=1 B.当x<0时，f(x)=x2+2x C.当0<x<1时，f(x)>f() D.当1<x<2时，f(x)<f(-x-2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0，即m=0，∴当x≥0时， f(x)=-x2+2x;对于A，f(1)=-12+2×1=1，A正确;对于B，当x<0时，-x>0， ∴f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2+2×(-x)]=x2+2x，B正确;对于C， 当0<x<1时，0<<1且x<，∵f(x)在(0，1)内单调递增， ∴f(x)<f()，C错误;对于D，当1<x<2时，-x-2∈(-4，-3)， ∵f(x)在(-4，-3)内单调递减，在(1，2)内单调递减， ∴f(-x-2)>f(-3)=9-6=3，f(x)<f(1)=-1+2=1，∴f(x)<f(-x-2)，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 11.(2026·青岛模拟)已知f(x)为偶函数，若当x≥0时，f(x)=x2+4x，则 f(x)的解析式是________________________.  解析：若x<0，则-x>0，当-x>0时，f(-x)=x2-4x，又f(x)为偶函数，则f(-x)=x2-4x=f(x)，即当x<0时，f(x)=x2-4x，因此可得f(x)= f(x)= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 12.已知函数f(x)=x3+，若f(a)+f(a-6)=0，则实数a=_______.  解析：因为f(x)=x3+，定义域为R，所以f(-x)=-x3-=-f(x)，即f(x)为奇函数，因为f(x)=x3+在R上单调递增，若f(a)+f(a-6)=0，则f(a)=-f(a-6)=f(6-a)，所以a=6-a，即a=3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.设f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(-x)=f(x+2)，f(1)=1， 则f(-1)+f(8)=___________.  解析：由f(x)为定义在R上的奇函数，则f(x)=-f(-x)，则f(-1)=-f(1)=-1，f(0)=0，由f(-x)=f(x+2)，则f(x)=-f(-x)=-f(x+2)，即有f(x+2)=-f(x+4)，则有f(x)=f(x+4)，故f(x)是以4为周期的周期函数，故f(8)=f(4)=f(0)=0，则f(-1)+f(8)=-1+0=-1. -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 14.(2025·深圳二模)[多选]已知函数f(x)的定义域为R，[f(x)]2+[f(y)]2=f(x+y)f(x-y)+1，f(1)=0，则(　　) A.f(0)=0 B.f(3)=0 C.f(x)为偶函数 D.f(x)为奇函数 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：对于A，令x=y=0，则2[f(0)]2=[f(0)]2+1，即[f(0)]2=1，得f(0)=±1，A错误;对于B，令x=y=1，则2[f(1)]2=f(2)f(0)+1，即f(2)f(0)+1=0，所以f(2)=-.令x=3，y=2❶，可得[f(3)]2+[f(2)]2=f(5)f(1)+1，得[f(3)]2=0，则f(3)=0，B正确;对于C、D，因为[f(x)]2+[f(y)]2=f(x+y)f(x-y)+1，用y替换x，用x替换y❷，则有[f(y)]2+[f(x)]2=f(y+x)f(y-x)+1，所以f(x+y)f(x-y) =f(x+y)f(y-x).若f(x+y)=0，则f(x)=0，这与f(0)=±1矛盾，故f(x+y)≠0，则有f(x-y)=f(y-x).令y=0，则f(x)=f(-x)，故函数f(x)为偶函数，C正确，D错误.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解题关键：①处，要求函数值，必然要构造关于所求值的方程.若令x=2，y=1，此时由于f(1)=0，代入式子中f(3)就没有了，故令x=3，y=2; ②处，判断抽象函数的奇偶性就是通过赋值变形寻找只含f(x)与f(-x)的等式，那么本题就需要先把二次项消掉，结合已知等式的结构形式，用y替换x，用x替换y后相减即可消掉二次项，从而即可构建只含f(x+y)，f(x-y)，f(y-x)的关系式，由x-y与y-x互为相反数，即可判断奇偶性; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 快捷技法：多选题排除两个，即可得正确选项 若f(x)为R上的奇函数，则必有f(0)=0，由A项知f(0)=±1，故D错误.本题为多选题，则必有C正确，选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 -10 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 15.(2025·重庆二模)已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x)，且f(1)=3，f(5)=5，则f(k)=　　　　.  解析：由f(x+2)=f(x+1)-f(x)，得f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)，两式相加得f(x+3)=-f(x)，则f(x+6)=f(x)，所以函数f(x)的周期T=6.设f(2)=a，则f(3)=f(2)-f(1)=a-3，f(4)=f(3)-f(2)=a-3-a=-3，f(5)=f(4)-f(3)=-a，又f(5)=5，则-a=5，即a=-5，所以f(2)=-5，f(3)=-8，f(4)=-3，f(5)=5，f(6)=8，所以f(k)=337[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3)=337×0-10=-10. $