第2章 第4节 函数的对称性(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性”专题，覆盖轴对称、中心对称、互对称三大核心考点，依据高考评价体系梳理教材结论（如f(a+x)=f(b-x)对称轴公式），结合2023全国乙卷、2024新课标Ⅰ卷真题分析考点权重，归纳对称判断、交点横坐标之和等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“教材溯源+真题突破+思维建模”策略，如例2通过“先猜后证”和奇函数平移法解析中心对称证明，培养学生数学思维与符号表达能力。设“即时训练”与“习得知能”模块，帮助学生掌握对称性质应用技巧，教师可据此高效指导高考冲刺。

第四节 函数的对称性 明确目标 掌握一些函数的轴对称和中心对称公式和推论，会利用函数的对称性解决相关问题. 题点一　轴对称问题 发掘教材·习得结论 (人B必修①P113例5)求证：二次函数f(x)=x2+4x+6的图象关于x=-2对称. 习得结论：函数y=f(x)的图象关于直线x=对称⇔f(a+x)=f(b-x).特别地，函数y=f(x)的图象关于x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a+x)=f(a-x). [例1]　(2023·全国乙卷，节选)已知函数f(x)=ln(1+x)，是否存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称?若存在，求a，b的值;若不存在，说明理由. 解：假设存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称. 令g(x)=f=(x+a)ln=(x+a)·ln，因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称，所以g(x)=g(2b-x)，即(x+a)ln=(2b-x+a)ln= (x-2b-a)ln，于是解得 当a=，b=-时，g(x)=ln，g(-1-x)=ln=ln=ln=ln=g(x)， 所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称，满足题意. 故存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称，且a=，b=-. 习得知能：若曲线y=f关于x=b对称，则该函数定义域一定也关于x=b对称. 即时训练 √ 1.[多选]已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x=3，则函数f(x)的解析式可以是 (　　) A.f(x)=x+ B.f(x)=ex-3+e3-x C.f(x)=x4-18x2 D.f(x)=|x2-6x| √ 解析：若f(x)的图象的对称轴方程为x=3， 则f(6-x)=f(x).对于A，f(6-x)=6-x+≠f(x)，A错误; 对于B，f(6-x)=e3-x+ex-3=f(x)，B正确;对于C， ∵f(0)=0，f(6)=64-18×62=648，∴f(0)≠f(6)，即f(6-x)=f(x)不恒成立，C错误;对于D，f(6-x)=|(6-x)2-6(6-x)|=|x2-6x|=f(x)，D正确. √ 2.已知函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x)，若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有交点的横坐标之和为 (　　) A.0 　　　B.m C.2m 　　　D.4m 解析：依题意函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x)，得y=f(x)的图象关于直线x=2对称.因为函数y=|x2-4x-5|的图象也关于直线x=2对称，所以若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则x1+x2+…+xm=4×=2m. [练有所获] 由上面第2题可总结以下结论： (1)若f(x)与g(x)关于x=a对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和为am; (2)若f(x)与g(x)关于(a，b)对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和为am，纵坐标之和为bm. 题点二　中心对称问题 发掘教材·习得结论 (人A必修①P87T13)我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心; (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论. 习得结论： (1)若f(x+a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a，0). (2)函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x) =f(2a-x). (3)若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点成中心对称. [例2]　(2024·新课标Ⅰ卷，节选)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3，证明：曲线y=f(x)是中心对称图形. 证明：法一　先猜后证：由>0，可得x(2-x)>0， 所以x(x-2)<0，解得0<x<2，故f(x)的定义域是(0，2). 设x∈(0，2)，则2-x∈(0，2)，且2-x与x关于1对称. 因为f(2-x)+f(x)=ln+a(2-x)+b(2-x-1)3+ln+ax+b (x-1)3=ln+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ax+b(x-1)3=ln+2a= ln 1+2a=2a，所以曲线y=f(x)关于点(1，a)中心对称. 法一：解题关键 先猜后证：观察发现b(1-x)3有对称中心(1，0)，猜想f(x)对称中心横坐标为1.又f(1)=a，猜想f(x)关于(1，a)对称. 法二　利用奇函数平移变换：因为f(x)=ln+ax+b(x-1)3， 所以f(x+1)=ln+a(x+1)+bx3=ln+ax+bx3+a. 因为y=ln+ax+bx3是奇函数，其图象关于原点对称，所以曲线f(x+1)关于点(0，a)中心对称，所以曲线f(x)关于点(1，a)中心对称. 法二：方法解读 利用函数平移不改变对称性，任何中心对称图形均可由奇函数平移得到，反之奇函数图象经过平移后仍是中心对称图象. 即时训练 √ 3.已知函数f(x)=的图象关于点(1，f(1))对称，则a=(　　) A.1 B.2 C.e D.e2 解析：由对称中心性质可知函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=2f(1)， 即+=，整理可得e3-x+ex+1-2e2=aex+ae2-x-2ae， 即e(e2-x+ex-2e)=a(ex+e2-x-2e)，解得a=e. √ 4.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)=的图象关于点(-2，2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称 C.若函数y=f(x)过定点(0，1)，则函数y=f(x-1)+1过定点(1，2) D.函数y=的图象关于点(3，c)中心对称，则b+c=2 √ √ 解析：对于A，f(x)===2-，其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y=-的图象关于原点对称，故f(x)=的图象关于点(-2，2)中心对称，A正确;对于B，因为f(2x-1)为奇函数，所以f(2x-1)=-f(-2x-1)，所以f(x-1)=-f(-x-1)，所以f(x)=-f(-x-2)，所以函数f(x)关于点(-1，0)中心对称，B正确;对于C，函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象，由于y=f(x)过定点(0，1)，故函数y=f(x-1)+1过定点 (1，2)，C正确;对于D，函数y===1+的图象关于点(3，c)中心对称，所以解得所以b+c=4，D不正确. 习得知能：①f(mx+a)+b是奇函数⇒f(x)的图象关于(a，-b)对称; ②f(mx+a)+b是偶函数⇒f(x)的图象关于x=a对称. √ 题点三　互对称问题 [例3]　已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象 (　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3，0)对称 解析：设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))，所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上.而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1对称，所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. 思维建模 (1)函数y=f(x)的图象关于x=a对称的函数为y=f(2a-x). (2)函数y=f(x)的图象关于y=b对称的函数为y=2b-f(x). (3)函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. (4)函数y=f(a+x)与y=c-f(b-x)的图象关于点对称. 即时训练 √ 5.下列函数中，其图象与函数y=f(2x-1)的图象关于直线x=1对称的是 (　　) A.y=f(-2x-1) B.y=f(-2x+1) C.y=f(-2x+3) D.y=2-f(2x-1) 解析：设函数y=f(2x-1)的图象为曲线C1，该曲线关于x=1对称的曲线为C2，设曲线C1上任意一点的坐标为(x0，y0)，该点关于直线x=1对称的点的坐标为(x，y)，则有y0=f(2x0-1)，因此有⇒代入y0=f(2x0-1)中，得y=f(2(2-x)-1) ⇒y=f(3-2x).故选C. 课时作业评价 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.函数y=f(x)与函数y=2x+1-1的图象关于直线x=2对称，则f(4)的值为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析：设g(x)=2x+1-1，因为函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(4)=g(0)=2-1=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.已知函数f(x)=，则函数f(x)图象的对称中心的坐标为(　　) A.(-1，-3) B.(-1，3) C.(-1，-2) D.(-1，2) 解析：因为f(-1+x)+f(-1-x)=+=-=-4， 所以函数f(x)的图象关于点(-1，-2)对称. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 解析：由y=f(3x+1)是偶函数，得y=f(3x+1)的图象关于y轴对称，而函数y=f(3x)的图象可由y=f(3x+1)的图象向右平移个单位长度得到，所以函数y=f(3x)图象的对称轴是x=. 3.设函数y=f(3x+1)是偶函数，则下列直线中，一定是函数y=f(3x)图象的对称轴的是 (　　) A.x=0 B.x= C.x=- D.x=-1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1，0)对称，则b= (　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析：法一　∵函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)+f(2-x)=0，即x3+ax2+x+b+(2-x)3+a(2-x)2+2-x+b=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0， ∴解得故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 法二　由题意可得，解得 快捷技法：三次函数的性质 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心为点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.已知函数f(1-x)的图象与函数f(2+x)的图象关于直线x=m对称，则m等于 (　　) A.3 B. C.-1 D.- 解析：设点P(x，y)在函数y=f(1-x)的图象上，点P关于直线x=m的对称点Q(x'，y')，则所以 则y'=f(1-2m+x')，即y=f(1-2m+x)与y=f(1-x)的图象关于直线x=m对称，则1-2m=2，解得m=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.已知定义在R上的函数f(x)，对∀x∈R，都有f(x+4)=-f(x)+4，若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(4 050)= (　　) A.-2 B.-1 C.2 D.1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：因为函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称， 又f(x)的图象由f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到，所以f(x)的图象关于直线x=0对称，故f(x)为偶函数.因为f(x+4)=-f(x)+4， 所以f(x+8)=-f(x+4)+4=-[-f(x)+4]+4=f(x)，故f(x)是以8为一个周期的偶函数，所以f(4 050)=f(8×506+2)=f(2).由f(2)=f(-2+4)=-f(-2)+4= -f(2)+4，得f(2)=2，则f(4 050)=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，则以下函数图象一定关于点(-1，0)成中心对称的是 (　　) A.y=(x-1)2f(x-1) 　B.y=(x+1)2f(x+1) C.y=x[f(x)]2+1 　D.y=x[f(x)]2-1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：设m(x)=x2f(x)，则m(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-m(x)，所以m(x)为奇函数，其图象的对称中心为(0，0). 因为y=(x-1)2f(x-1)的图象是由m(x)=x2f(x)的图象向右平移1个单位长度所得，故其对称中心为(1，0)，所以A错误;因为y=(x+1)2f(x+1)的图象是由m(x)=x2f(x)的图象向左平移1个单位长度所得，故其对称中心为(-1，0)，所以B正确;设n(x)=x[f(x)]2，则n(-x)=(-x)[f(-x)]2=-x[f(x)]2=-n(x)，所以n(x)为奇函数，其图象的对称中心为(0，0).因为y=x[f(x)]2+1的图象是由n(x)=x[f(x)]2的图象向上平移1个单位长度所得，故其对称中心为(0，1)，所以C错误;因为y=x[f(x)]2-1的图象是由n(x)=x[f(x)]2的图象向下平移1个单位长度所得，故其对称中心为(0，-1)，所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 二、多选题 8.设函数f(x)=2x-1+21-x，则下列说法错误的是(　　) A.f(x)在(0，+∞)上单调递增 B.f(x)为奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于点(1，0)对称 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：∵f(x)=2x-1+21-x，∴f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x)， 即f(x)=f(2-x)，f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确，A、D错误;∵f(-1)≠-f(1)， ∴f(x)不是奇函数，故B错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 9.已知定义在R上的函数f(x)，若f(x+1)的图象关于点(-1，0)对称，恒有f(x-1)=f(3-x)，且f(x)在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是 (　　) A.直线x=1是f(x)图象的对称轴 B.周期T=2 C.函数f(x)在[4，5]上单调递增 D.f(5)=0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：因为f(x-1)=f(3-x)，所以直线x=1是f(x)图象的对称轴，故A正确;因为f(x+1)的图象关于点(-1，0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，又因为f(x)图象的对称轴为x=1，所以f(x)的周期T=4，故B错误;直线x=1是f(x)图象的对称轴，且函数f(x)在[1，2]上单调递减，所以函数f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的周期T=4，所以函数f(x)在[4，5]上单调递增，故C正确;因为f(x)的周期T=4，f(4)=f(0)=0，则f(5)>f(4)=0，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 10.设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于____________对称.  解析：由于x∈R，恒有y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称，又y=f(x)的图象向右平移一个单位长度得到y=f(x-1)的图象，y=f(-x)的图象向右平移一个单位长度得到y=f(1-x)的图象，故函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于x=1对称. x=1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 11.(2026·巴中模拟)已知函数f(x)=x++3的图象与直线y=k(x-1)+4有两个交点(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2+y1+y2=___________.  10 解析：由题意可得直线y=k(x-1)+4恒过点(1，4)，且直线与函数f(x)的图象有两个交点.又函数f(x)=x++3=x-1++4图象的对称中心为(1，4)，因此两个交点关于(1，4)对称，所以x1+x2=2，y1+y2=8，所以x1+x2+y1+y2=10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=log2|x-2|+x2-4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性;(5分) 解：f(x)的图象关于直线x=2对称.证明如下： 由|x-2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(-∞，2)∪(2，+∞). 因为f(2-x)=log2|x|+(2-x)2-4(2-x)=log2|x|+x2-4，f(2+x)=log2|x|+(2+x)2-4(2+x)=log2|x|+x2-4， 所以f(2+x)=f(2-x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)求f(x)的单调区间.(5分) 解：设y1=log2|x-2|，y2=x2-4x，当x>2时，y1=log2|x-2|=log2(x-2)单调递增，y2=x2-4x也单调递增，故f(x)=log2|x-2|+x2-4x在(2，+∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x=2对称，故f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.(15分)给定函数f(x)=x-. (1)求函数f(x)图象的对称中心;(4分) 解：设函数f(x)图象的对称中心为(a，b)，则f(a+x)+f(a-x)-2b=0，即(x+a)-+(-x+a)--2b=0，整理得(a-b)x2=(a-b)(a+1)2-6(a+1)，于是a-b=(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0，解得a=b=-1， 所以f(x)图象的对称中心为(-1，-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)用定义证明f(x)在区间(-1，+∞)上的单调性，并求f(x)在[1，5]上的值域;(5分) 解：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2)， 因为x1-x2<0且1+>0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)=x-在(-1，+∞)上单调递增. 所以f(x)在[1，5]上单调递增，故f(x)的值域为[-2，4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (3)已知函数g(x)的图象关于点(1，1)对称，且当x∈[0，1]时，g(x)=x2.若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g(x1)=f(x2)+m，求实数m的取值范围.(6分) 解：由于对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g(x1)=f(x2)+m，于是问题转化为g(x)在[0，2]上的值域是f(x)+m在[1，5]上值域的子集，由g(x)在[0，1]上单调递增，图象又关于点(1，1)对称且经过点(1，1)，可知g(x)在(1，2]上也单调递增，故g(x)在[0，2]上单调递增， 又g(0)=0，g(2)=2，所以g(x)在[0，2]上的值域为[0，2]. 又f(x)+m在[1，5]上的值域为[-2+m，4+m]， 所以[0，2]⊆[-2+m，4+m]，所以解得-2≤m≤2， 则m的取值范围是[-2，2]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 方法习悟： (1)抽象函数不等式问题：单调性搭桥，实现函数值与自变量的转化. (2)恒成立问题：最值法是核心，先求函数最值，再转化为参数不等式. (3)多变量恒成立：主元法，确定主元构造函数，分析端点最值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 14.[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x+6)=f(-2x)， 且f(x-1)+f(x+1)=f(-2)，f(-1)=1，则(　　) A.4为f(x)的一个周期 B.f(2 025)=1 C.f(x)的图象关于直线x=3对称 D.f(x)的图象关于直线x=-3对称 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：由f(x-1)+f(x+1)=f(-2)知f(x+1)+f(x+3)=f(-2)，所以f(x-1)=f(x+3)，即f(x)=f(x+4)❶，所以4为f(x)的一个周期，A正确;在f(2x+6)=f(-2x)中，令x=0，则f(6)=f(0)，在f(x-1)+f(x+1)=f(-2)中，令x=-1，则f(-2)+f(0)= f(-2)，所以f(0)=0，从而f(6)=f(0)=0，则f(-2)=f(-2+2×4)=f(6)=0，在f(x-1)+f(x+1)=f(-2)中，令x=0，得f(-1)+f(1)=f(-2)=0，所以f(1)=-f(-1)=-1，所以f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=-1，B错误;由f(2x+6)=f(-2x)得f(x+6)= f(-x)，则f(x)的图象关于直线x=3对称，C正确;f(x+6)=f(x+6-3×4)= f(x-6)=f(-x)，则f(x)的图象关于直线x=-3对称❷，D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 习得知能：①处，求抽象函数的周期牢牢抓住f(x)=f(x+T)即可，这是解题时要转化的目标，如此项在对已知式中的自变量进行替换变形时，需抓住“等式两边自变量相差4”这一点; ②处，判断f(x)图象是否关于直线x=a对称，即判断等式f(x)=f(2a-x)是否成立，判断f(x)图象是否关于点(a，b)对称，即判断等式f(x)=2b-f(2a-x)是否成立.解题时要盯准这两个式子，如此项需盯住f(x+6)=f(-x)这个式子，结合周期，对f(x+6)中的自变量反复替换即可. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 15.若函数f(x)=(x2-2x)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称，则f(x)的最小值为_____________.  解析：因为函数f(x)=(x2-2x)(x2+ax+b)的图象关于x=-2对称，令f(x)=0，可得x2-2x=0，可得x=0或x=2，由对称性可知，方程x2+ax+b=0的两根分别为x1=-4，x2=-6，由根与系数的关系可得 可得则f(x)=x(x-2)(x2+10x+24)=x(x-2)(x+4)(x+6)，f(x)=(x2+4x)(x2+4x-12)，令t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4， h(t)=t(t-12)=t2-12t=(t-6)2-36，所以h(t)min=h(6)=-36. -36 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $