第2章 第7节 指数与指数函数(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与指数函数”专题，依据高考评价体系梳理了指数幂运算性质、指数函数图象与性质两大核心考点，通过教材主干知识落实与高考真题分析，明确了比较大小、函数性质应用等高频考点的权重，归纳出运算类、图象识别类、性质综合类等常考题型，构建了系统的备考框架。 课件亮点在于“真题引领+素养渗透+技巧提炼”的复习模式，如结合2023天津高考比较大小题，运用“单调性分析+中间量搭桥”方法突破，培养学生的数学思维；通过指数函数模型解决食品保鲜时间问题，强化数学语言表达能力。特设易错点警示与答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此实现考点精准突破，提升复习效率。

第七节 指数与指数函数 明确目标 1.通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1， m n为正整数，且n>1)、实数指数幂ax(a>0，x∈R)含义的理解，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象，并能应用图象解决一些简单问题.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 目录 课时作业评价 3 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识| 1.根式 (1)概念 式子 叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质 ①_____没有偶次方根; ②0的任何次方根都是0，记作=_____; ③()n=a(n∈N*，且n>1); ④ =a(n为大于1的奇数); ⑤ =|a|=(n为大于1的偶数). 根式 负数 0 2.分数指数幂 (1)正分数指数幂：= _____(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)负分数指数幂：=_____=(a>0，m，n∈N*，n>1). (3)0的正分数指数幂等于___，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 (1)aras=______ (a>0，r，s∈R). (2)(ar)s=____ (a>0，r，s∈R). (3)(ab)r=____ (a>0，b>0，r∈R). 4.指数函数的定义 一般地，函数__________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. ar+s ars arbr y=ax(a>0，且a≠1) 5.指数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象      性质 定义域为_____;值域为_________ 图象过定点_______，即当x=__时，y=__ 当x>0时，恒有____; 当x<0时，恒有______ 当x>0时，恒有_______; 当x<0时，恒有_____ 在R上为增函数 在R上为减函数 R (0，+∞) (0，1) 0 1 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 Ⅱ.|发|掘|教|材|辅|文|价|值| (1)(人A必修①P117“探究”归纳结论)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (2)(湘教必修①P113T6归纳结论)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (3)(湘教必修①P114T7归纳结论)指数函数在 同一平面直角坐标系中图象的相对位置 与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. √ Ⅲ.|练|悟|教|材|固|基|小|题| 1.(人B必修②P13T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1，2)，那么这个函数也必定经过点(　　) A. B. C.(1，2) D. 解析：由题意设f(x)=ax，则f(-1)=a-1=2，所以a=，f(x)=，故f(3)=. 2.(人A必修①P117例3改编)设a=1.70.3，b=0.93.1，c=0.91.7，则a，b，c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b √ 解析：易得1.70.3>1，y=0.9x在定义域内是减函数，则b<c<1，故a>c>b. 3.(北师大必修①P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为_________.  解析：因为|x|≥0，所以3|x|≥1，所以f(x)≥2. [2，+∞) 4.(苏教必修①P86T8改编)已知+=3，则a+a-1=__________; a2+a-2=___________.  7　 47　 解析：由+=3，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7，则a2+a-2+2=49，即a2+a-2=47. 5.考教衔接训练(重视教材的基础本位，消除高考畏惧感) 5-1 (人A必修①P119T6)比较下列各题中两个值的大小： ①30.8，30.7;②0.75-0.1，0.750.1; ③1.012.7，1.013.5;④0.993.3，0.994.5. 提示：①>;②>;③<;④>. 5-2 (2023·天津高考)若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c √ 解析：法一　因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1;因为函数g(x)=0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60=1，即c<1.综上，b>a>c.故选D. 法二　因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a;因为函数h(x)=x0.5在(0，+∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D. 变与不变：以上两题均考查指数函数比较大小.教材题是两个值的比较，高考题是三个值的比较，增加了难度和思维含量.考查了比较大小的两种常用方法： ①利用函数的单调性;②借助于0或1作为中间数. 02 题点一　指数幂的运算(自主练通) √ 1.(2025·乐山三模)已知2lg 2=m，10n=3，则的值为(　　) A. B. C. D. 解析：由2lg 2=m可得1=2，又因为10n=3， 所以1===. √ 2.设实数a，b满足2a+41-b=8，则a-2b的最大值为 (　　) A.2 B.2+ C.2 D.3 解析：令a-2b=t⇒a=2b+t，则有8=2a+41-b=22b+t+22-2b≥2 ⇒16≥22+t⇒2+t≤4⇒t≤2，当且仅当22b+t=22-2b， 即a=2，b=0时取等号. 解题关键：利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 3.计算： (1)×++(-6)0+ =____________;  解析：原式=×++1+-2=++1+-2=2+. 2+ (2)+(a>0，b>0)=_________.  a+1 解析：原式=+=+=a+1. 4.若10m=4，10n=5，则的值为__________.  解析：由10m=4，10n=5得===. 思维建模 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号;底数是小数，先化成分数;底数是带分数，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一. 题点二　指数函数的图象及应用 √ [例1] (1)当a≠0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是(　　) 解析：对于A，由一次函数的图象知，a>0，0<b<1，此时函数y=bax为减函数，A正确;对于B，由一次函数的图象知，a>0，b>1，此时函数y=bax为增函数，B错误;对于C，由一次函数的图象知，a<0，b>1，此时函数y=bax为减函数，C错误;对于D，由一次函数的图象知，a<0，0<b<1，此时函数y=bax为增函数，D错误. 细节提醒：一次函数与指数函数都含有参数，需对a，b分类讨论. (2)若方程|3x-1|=k有一解，则k的取值范围为_______________.  解析：函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.当k=0或k≥1时，直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点，即方程|3x-1|=k有一解. (细节提醒：注意图象的左侧无限接近于y=1，同时不要忽略k=0的情形) {0}∪[1，+∞) 思维建模 指数函数的图象及其应用策略 (1)已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断. (2)进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象. (3)根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x=1与图象的交点进行判断. 即时训练 √ 1.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象如图所示，则g(x)=ax-b的图象可能是 (　　) 解析：根据函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象可知a>1>b>0，再由指数函数的图象及性质可知，g(x)=ax-b单调递增，可排除A、B;且与y轴交点为(0，1-b)，又1>b>0，所以1-b∈(0，1)，即交于y轴正半轴上，排除D.故选C. √ 2.[多选]下列选项正确的是 (　　) A.函数f(x)=(2a2-3a+2)·ax是指数函数，则a= B.指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的值域为(0，+∞) C.函数y=ax+1(a>0，且a≠1)的图象可以由f(x)=ax的图象向右平移一个单位长度得到 D.函数y=a2x+3-1(a>0，且a≠1)恒过定点 √ √ 解析：对于A，2a2-3a+2=1且a>0，a≠1，则a=，A正确;对于B，不论0<a<1，还是a>1，值域都为(0，+∞)，B正确;对于C，f(x)=ax的图象向左平移一个单位长度得到y=ax+1的图象，C错误;对于D，令2x+3=0，则x=-，y=0，所以函数y=a2x+3-1(a>0，且a≠1)恒过定点，D正确. 方法习悟：解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y=k·ax+c+b(k≠0，a>0且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x+c=0，得x=-c，y=k+b，故函数图象过定点(-c，k+b)(本质：a0=1). 3.[多选]已知实数a，b满足等式3a=6b，则下列可能成立的关系式为 (　　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b √ √ √ 解析：法一　由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象，如图所示，由图象知，当a=b=0时，3a=6b=1，故A正确;作出直线y=k，当k>1时，若3a=6b=k，则0<b<a，故B正确;作出直线y=m，当0<m<1时，若3a=6b=m，则a<b<0，故C正确;当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b=6b，故D错误. 法二　特殊值法：当a=b=0时，3a=6b，故A正确.因为3a=6b， 所以aln 3=bln 6.所以=>1.若b>0，不等式>1两边同乘正数b， 得a>b>0，故B正确，D错误.若b<0，不等式>1两边同乘负数b， 得a<b<0. √ 题点三　指数函数的性质及应用 考法(一)　比较大小 [例2] (1)设a=，b=20.4，c=ln，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 解析：a==30.3>1，b=20.4>1，a10=33=27，b10=24=16，故a10>b10，所以a>b>1，c=ln<ln e=1，所以c<b<a. √ (2)若ea+πb≥e-b+π-a，下列结论一定成立的是 (　　) A.a+b≤0 B.a-b≥0 C.a-b≤0 D.a+b≥0 解析：因为ea+πb≥e-b+π-a，所以ea-π-a≥e-b-πb(*)， 令f(x)=ex-π-x， 则f(x)是R上的增函数，(*)式即为f(a)≥f(-b)， 所以a≥-b，即a+b≥0. 思维建模 比较指数式大小的方法 (1)直接法：当指数式的底数相同时，直接运用指数函数的单调性比较. (2)转化法：当指数式的底数不同时，利用幂的运算法则将底数统一. (3)中间量法：当指数式的底数不同且不能化为同底时，可利用中间量“1，0”进行比较. 考法(二)　解不等式 [例3]　若不等式≤对任意的x∈[3，4]恒成立，则实数a的取值范围为__________.  解析：原不等式等价于≤22ax-3，即x2+1≤2ax-3，则x2-2ax+4≤0对任意x∈[3，4]恒成立，即a≥+在x∈[3，4]上恒成立， 即a≥(x∈[3，4])，因为y=+在x∈[3，4]上单调递增， 所以当x∈[3，4]时，=， 所以a≥. (细节提醒：掌握对勾函数的性质，能快速解题) (细节提醒：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题不能直接用判别式求解) 思维建模 解指数不等式的常用方法 (1)性质法：解形如ax>ab的不等式，可借助函数y=ax的单调性求解.如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)隐含性质法：解形如ax>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=ax的单调性求解. (3)图象法：解形如ax>bx的不等式，可利用对应的函数图象求解. 考法(三)　指数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f(x)=为奇函数. (1)求a的值; 解：因为函数f(x)=为奇函数，定义域为R，所以f(0)==0， 即a=1，此时f(x)=，则f(-x)===-f(x)， 满足题意，所以a=1. (2)利用定义证明y=f(x)在R上单调递增; 解：证明：由(1)知，f(x)===1-，任取x1，x2∈R， 且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=1--1+=-==，因为x1<x2，所以-<0，(+1)(+1)>0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以y=f(x)在R上单调递增. (3)若存在实数x∈[0，2]，使得f(k·4x-1)+f(2x)>0成立，求实数k的取值范围. 解：由f(k·4x-1)+f(2x)>0，即f(k·4x-1)>-f(2x)=f(-2x)， 因为函数y=f(x)在R上单调递增，所以k·4x-1>-2x，即k>-. 由题意，存在实数x∈[0，2]，使得k>-成立，则k>， 令t=，则k>(t2-t)min，因为t2-t=-，所以当t=时， (t2-t)min=-，即k>-，所以k的取值范围为. 方法习悟：(1)根据函数解析式明确其定义域，利用奇函数性质建立方程，并结合奇函数定义进行验证; (2)在定义域上任意取x1<x2，利用作差法，根据指数函数的单调性，结合函数单调性定义求解; (3)利用函数的奇偶性与单调性化简不等式，再利用分离参数整理不等式求解. 思维建模 指数型函数的应用技巧 (1)函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断，其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解. (2)对于函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)，一般要通过换元令ax=t，化为函数y=g(t)，再研究其各种性质. 即时训练 √ 4.设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b　 B.a>b>c　 C.b>a>c　 D.a>c>b 解析：依题意，函数y=在(0，+∞)上单调递增，函数y=在R上单调递减，则a=>c=>=b，所以a，b，c的大小关系为a>c>b. √ 5.[多选]已知函数f(x)=，则(　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(0，2] C.函数f(x)在[-2，+∞)上单调递增 D.f()>f(4) √ √ 解析：令u=x2+4x+3=(x+2)2-1，则u∈[-1，+∞)，f(x)的定义域为R，故A正确;因为y=，u∈[-1，+∞)的值域为(0，2]，所以函数f(x)的值域为(0，2]，故B正确;因为u=x2+4x+3=(x+2)2-1在[-2，+∞)上单调递增，且y=在u∈[-1，+∞)上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数f(x)在[-2，+∞)上单调递减，故C不正确;由于函数f(x)在[-2，+∞)上单调递减，则f()>f(4)，故 D正确. 解题关键：求复合函数值域时，谨记复合函数单调性的结论—“同增异减”. 课时作业评价 03 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.函数f(x)=ax-2+1(其中a>0，a≠1)的图象恒过的定点是(　　) A.(2，1) B.(2，2) C.(1，1) D.(1，2) 解析：令x-2=0，得x=2，f(2)=2，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.计算：+0.1-2+-3π0+=(　　) A.0 B.1 C.100 D.5 解析：原式=++-3+=+100+-3+=100. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 解析：易知c===，又y=在定义域上单调递减，<1<，所以b>>c.易知y=(x>0)单调递增，>>，则a=>>=b.综上a>b>c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 (　　) A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：由题图可知，函数f(x)为减函数，从而有0<a<1. 法一　由f(x)=ax-b的图象，知函数与y轴交点的纵坐标y∈(0，1)，令x=0，得y=a-b，由0<a-b<1，即0<a-b<a0，解得b<0. 法二　特殊技法：函数f(x)的图象可看作是由y=ax(0<a<1)的图象向左平移得到的，则-b>0，即b<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.(2026·汕头模拟)某食品保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx+b(k，b为常数)，若该食品在0 ℃的保鲜时间是168小时，在20 ℃的保鲜时间是42小时，则该食品在30 ℃的保鲜时间是 (　　) A.21小时 B.22小时 C.23小时 D.24小时 解析：当x=0时，eb=168，当x=20时，e20k+b=42，所以e20k==，e10k=;当x=30时，y=e30k+b=·(eb)=×168=21. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.(2026·广州模拟)设大于1的实数a，b满足aa=2，(2a)2a=b，则 (　　) A.4<b<8 B.8<b<16 C.16<b<32 D.32<b<64 解析：∵aa=2，又==<4，22=4>2，且当a>1时，y=aa随a的增大而增大，∴<a<2，3<2a<4，22a∈(8，16)，则(2a)2a=22a·=4·22a∈(32，64)，即32<b<64. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 7.已知函数f(x)=在区间(1，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.[4，+∞) B.(4，+∞) C.(-∞，4] D.(-∞，4) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：因为函数g(x)=为R上的减函数， 根据复合函数的单调性可知，要使函数f(x)=在区间(1，+∞)上单调递减，则函数h(x)=2x2-ax在区间(1，+∞)上单调递增.根据二次函数的性质可知，函数h(x)=2x2-ax=2-在上单调递增，所以≤1，即a≤4，故选C. (重点强调：对于二次函数，当函数的图象开口向上时，函数在对称轴的右侧单调递增) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 易错提醒：对于形如y=af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断，常用复合函数法.复合函数的单调性：当a>1时，函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相同;当0<a<1时，函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相反. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 二、多选题 8.若4m-4n<5-m-5-n，则下列关系正确的是(　　) A.m<n B.n-3>m-3 C.< D.3-n<3-m √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：由4m-4n<5-m-5-n得4m-5-m<4n-5-n， 令f(x)=4x-5-x， 则f(m)<f(n).因为函数y=4x，y=-5-x在R上都是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以m<n，故A正确.当m=1，n=2时，=n-3<m-3=1，故B错误.因为函数y=在R上单调递增，所以由m<n得<，故C正确.因为函数y=3-x在R上单调递减，所以由m<n得3-n<3-m，故D正确. (等价变形，不等式左右两边结构相同) (构造函数) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 9.已知函数f(x)=-1，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的值域为(-1，+∞) B.f(x+1)>1的解集为(-2，+∞) C.f(x)的图象与g(x)=2x-1的图象关于y轴对称 D.函数y=f(x)-f(-x)是偶函数 快审准解：A项，根据的性质易求出函数的值域;B项，写出f(x+1)的表达式，根据y=的单调性，即可求出f(x+1)>1的解集;C项，求出f(-x)的表达式，得出与g(x)的表达式相同，即可得出结论;D项，设h(x)=f(x)-f(-x)=2-x-2x，利用函数的奇偶性定义即可判断. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：对于A，因为>0，所以f(x)=-1>-1，即值域为(-1，+∞)，故A正确;对于B，因为f(x+1)=-1，由f(x+1)>1得>2，即>，因为函数y=为减函数， 所以x+1<-1，解得x<-2， 故f(x+1)>1的解集为(-∞，-2)，故B错误; 对于C，由f(x)=-1，可得f(-x)=-1=2x-1=g(x)， 由图知，f(x)的图象与g(x)=2x-1的图象关于y轴对称，故C正确;对于D，设h(x)=f(x)-f(-x)=2-x-2x，函数的定义域为R，关于原点对称， 且h(-x)=2x-2-x=-h(x)，故h(x)=f(x)-f(-x)为奇函数，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 10.已知函数f(x)=(a>0)的图象经过点P(m，3)，Q(n，-2)，若3m+n=25mn，则a=________.  解析：依题意，整理得则6a2mn=6·3m+n，而3m+n=25mn，因此a2mn=25mn，又mn>0，所以a2=25，而a>0，所以a=5. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 11.若函数f(x)=的图象与平行线y=m，y=n，m≠n有且仅有三个交点，则实数m+n的取值范围是__________.  (1，2) 解析：f(x)=的图象如图所示，不妨设m>n， 因为f(x)=的图象与平行线y=m，y=n， m≠n有且仅有三个交点，所以由图可知m=1， 0<n<1，所以1<m+n<2，即实数m+n的取值范围是(1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=3x，f(a+2)=81，g(x)=. (1)求g(x)的解析式;(3分) 解：由f(x)=3x，f(a+2)=81，可得3a+2=81⇒a=2，所以g(x)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)判断g(x)的奇偶性;(2分) 解：由g(x)的定义域为R，关于原点对称，g(-x)===-g(x)，故g(x)是奇函数. (3)求函数g(x)的值域.(5分) 解：由g(x)===-1+，因为2x>0，所以2x+1>1，所以0<<1，即0<<2，所以-1<-1<1，故函数g(x)的值域为(-1，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.(10分)已知函数f(x)=4x-a·2x-1. (1)当a=1时，求f(x)在区间[-1，2]上的值域;(6分) 解：当a=1时，f(x)=4x-2x-1=-2x-1，令t=2x， 因为x∈[-1，2]，所以t∈. 令g(t)=t2-t-1=-，则函数g(t)在t∈上单调递增， 所以当t=时，g(t)有最小值g=-， 当t=4时，g(t)有最大值g(4)=11，所以函数g(t)在区间上的值域为.故a=1时，f(x)在区间[-1，2]上的值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)当a=3时，解不等式f(x)+3>0.(4分) 解：当a=3时，f(x)=4x-3·2x-1. 由f(x)+3>0，得4x-3·2x+2>0，即(2x-1)(2x-2)>0， 解得 2x>2或2x<1，所以 x>1或x<0， 所以不等式f(x)+3>0的解集为{x|x>1，或x<0}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 14.已知函数f(x)的定义域为D，若∀x∈D，都有f(x+t)>f(x)，t∈N*，则称函数f(x)为“t距”增函数.若函数f(x)=(a∈R)，且f(x)是(-1，+∞)上的“3距”增函数，则实数a的取值范围为(　　) A.(-1，+∞) B.(-3，+∞) C.(-∞，-4) D.(-∞，-2) 快审准解：由题意可得，当x>-1时，(x+3)2+a(x+3)>x2+a|x|恒成立，分x≥0，-1<x<0两种情况可求得实数a的取值范围. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：∵函数f(x)=(a∈R)，且f(x)是(-1，+∞)上的“3距”增函数，∴当x>-1时，f(x+3)-f(x)>0恒成立.又∵y=2x为增函数，∴(x+3)2+a(x+3)>x2+a|x|.当x≥0时，(x+3)2+a(x+3)>x2+ax，即2x+a+3>0恒成立，于是a+3>0，解得a>-3;当-1<x<0时，(x+3)2+a(x+3)>x2-ax，即2ax+6x+3a+9>0恒成立，整理得(2x+3)(a+3)>0，解得a>-3.综上，实数a的取值范围为(-3，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 15.[多选]已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=e-x，则下列说法正确的是 (　　) A.[g(x)]2-[f(x)]2=1 B.g(2x)=2f(x)g(x) C.若g(t-2)+g(2t)>0，则t>1 D.若方程f(x)=m有两个不相等的实数根，则m>1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 且f(x)-g(x)=e-x①，所以f(-x)-g(-x)=ex，即f(x)+g(x)=ex②， 联立①②解得f(x)=，g(x)=，对于A，因为f(x)-g(x)=e-x，所以f(x)+g(x)=ex，所以两式相乘得[f(x)]2-[g(x)]2=1，故[g(x)]2-[f(x)]2=-1，A错误;对于B，2f(x)g(x)=2××==g(2x)，B正确;对于C，因为y=，y=-都是在R上的增函数，所以g(x)=在R上单调递增，由g(x)为奇函数，所以不等式g(t-2)+g(2t)>0⇔g(t-2)>-g(2t)=g(-2t)，即t-2>-2t，解得t>，C错误; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 对于D，方程f(x)=m有两个不相等的实数根，则=m有两个不相等的实根，整理得(ex)2-2mex+1=0，令s=ex>0，则s2-2ms+1=0有两个不相等的正实根，由根与系数的关系和判别式可得解得m>1，D正确. 方法习悟：根据奇偶性构造方程组求出函数f(x)，g(x)，然后根据解析式代入计算可判断A、B;判断函数g(x)的单调性，结合奇偶性去掉函数符号求解可判断C;令s=ex>0，将问题转化为方程s2-2ms+1=0有两个不相等的正实根，根据根与系数的关系和判别式列不等式组求解可判断D. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $