第2章 第2节 函数的单调性与最大(小)值(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性与最大(小)值”专题，依据高考评价体系梳理了单调性定义、单调区间求法、最值概念及应用三大核心考点，通过教材主干知识与辅文拓展（如复合函数“同增异减”、对勾函数性质）对接高考要求，归纳出求区间、比较大小、解不等式、求参数范围等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题融入+思维建模+易错警示”，如以2024新课标Ⅰ卷分段函数单调性题为例，运用数学思维分析定义域优先、分界点函数值比较等关键，培养学生推理能力与符号表达能力。通过“定义法证明单调性”“复合函数单调性判断”等思维模型，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

第二节 函数的单调性与最大(小)值 明确目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数最大值、最小值的概念，理解它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值. 3.能够利用函数的单调性解决有关问题. 目录 课时作业评价 3 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识| 1.函数的单调性 (1)单调性  定义 设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象 描述   自左向右看图象是上升的   自左向右看图象是下降的 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) (2)单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上_________或_________，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 单调递增 单调递减 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D，都有_________; ∃x0∈D，使得________ ∀x∈D，都有_______; ∃x0∈D，使得_______ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)=M Ⅱ.|发|掘|教|材|辅|文|价|值| 1.(人A必修①P86T9结论)若∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在区间I上单调递增. (2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在区间I上单调递减. 2.(苏教必修①P129“问题与探究”拓展)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”. 3.对勾函数的性质(源于人A必修①P79例3拓展) 我们称形如f(x)=ax+(a>0，b>0)的函数为对勾函数. (1)函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞). (2)函数f(x)在和上单调递减;在和上单调递增. (3)函数f(x)的图象如图所示. (4)f(x)是奇函数. √ Ⅲ.|练|悟|教|材|固|基|小|题| 1.(人A必修①P77“思考”改编)下列函数是增函数的为(　　) A.f(x)=|x| B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析：对于A，f(x)=|x|在R上不具有单调性，不合题意.对于B，f(x)=为R上的减函数，不合题意.对于C，f(x)=x2在R上不具有单调性，不合题意.对于D，f(x)=为R上的增函数，符合题意，故选D. 2.(人A必修①P81例5改编)已知函数f(x)=(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为_________，最大值为___________.  解析：由于f(x)=在[2，6]上单调递减，故f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(6)=. 　 3.(苏教必修①P134T6)设m为实数，若函数f(x)=x2+mx-2在区间 (-∞，2)上单调递减，则m的取值范围为__________.  解析：由题意得-≥2，解得m≤-4. (-∞，-4] 4.激活方法(用“复合函数单调性”解题) 已知f(x)=2x+x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：因为函数y=2x，y=x在R上为增函数，则函数f(x)=2x+x在R上为增函数，则“f(x1)=f(x2)”可以推出“x1=x2”，“x1=x2”也可推出“f(x1)=f(x2)”，故“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的充要条件. 5.考教衔接训练(重视教材的基础本位，消除高考畏惧感) 5-1 (北师大必修①P73T3)已知函数f(x)=在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围. 提示：. 5-2 (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) √ 解析：若函数f(x)在R上单调递增，则需满足　 解得-1≤a≤0，即a的取值范围是[-1，0].故选B. (易忽视分界点处函数值大小的比较) 变与不变：两题均以分段函数为载体考查函数的单调性，高考题把教材题中的一次函数变为对数函数，减函数变为了增函数，难度稍增. 02 题点一　确定函数的单调性 √ 考法(一)　求函数的单调区间 [例1]　函数f(x)=的单调递增区间为(　　) A. B.(-∞，-1] C. D. 解析：由题意可得2x2-x-3≥0， 即(2x-3)(x+1)≥0，解得x≤-1或x≥. 令t=2x2-x-3，则y=，因为t=2x2-x-3图象的对称轴为x=， 所以t=2x2-x-3在(-∞，-1]上单调递减，在上单调递增，又因为y=在定义域内单调递增，所以f(x)=在(-∞，-1]上单调递减，在上单调递增.故选C. (重点强调：求函数的单调区间或讨论函数的单调性，必须先求函数的定义域) 考法(二)　判断或证明函数的单调性 [例2]　试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1，1)上的单调性. 解：法一　定义法：设-1<x1<x2<1❶， 因为f(x)=a=a， 所以f(x1)-f(x2)=a-a=. 因为-1<x1<x2<1，所以x2-x1>0，x1-1<0，x2-1<0， 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递减;当a<0时，f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递增❷.综上，当a>0时，f(x)在(-1，1)上单调递减，当a<0时，f(x)在(-1，1)上单调递增. 细节提醒：①处，必须在定义域内判断函数的单调性. ②处，式子中含有参数，必须有规律地进行分类讨论. 法二　导数法：f'(x)===-. 当a>0时，f'(x)<0，函数f(x)在(-1，1)上单调递减;当a<0时，f'(x)>0，函数f(x)在(-1，1)上单调递增. 思维建模 1.已知函数解析式求单调区间的策略 注意函数的定义域，复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 2.确定函数单调性的方法 (1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解. (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间. (3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 即时训练 √ 1.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.函数y=e-x-在(-∞，0)上单调递减 B.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1] C.函数y=的单调递增区间为[1，+∞) D.函数y=2x+2cos x是增函数 √ √ 解析：在(-∞，0)上函数y=e-x与y=-都单调递减，所以y=e-x-在(-∞，0)上单调递减，故A正确;作出函数y=2|x+1|的图象，如图所示，由图象可知，函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1]，故B正确;由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得y=的单调递增区间为(-∞，1]，故C错误;因为y'=2-2sin x≥0， 所以y=2x+2cos x是R上的增函数，故D正确. (方法点拨：无法利用单调性的定义及图象判断单调性时，想到利用导数) 2.设函数f(x)=-，证明函数f(x)在(-∞，+∞)内是增函数. 证明：设x1，x2是(-∞，+∞)内任意两实数，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=--+=， ∵x1<x2，∴-<0，∴f(x1)-f(x2)<0， ∴函数f(x)在(-∞，+∞)内是增函数. 题点二　函数单调性的应用 √ 考法(一)　比较大小 [例3]　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且∀x1，x2∈(-∞，2](x1≠x2)，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，则f(0)，f(3)，f(π)的大小关系是(　　) A.f(0)<f(3)<f(π) B.f(3)<f(π)<f(0) C.f(0)<f(π)<f(3) D.f(π)<f(3)<f(0) 解析：由函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，可得函数f(x)的图象关于x=2对称，且f(0)=f(4)，又由∀x1，x2∈(-∞，2](x1≠x2)，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，根据函数单调性的定义，可得函数f(x)在(-∞，2]上单调递减，结合对称性知函数f(x)在(2，+∞)上单调递增.因为3<π<4，所以f(3)<f(π)<f(4)，所以f(3)<f(π)<f(0). 思维建模 　比较函数值的大小时，要先判断函数的单调性，然后把自变量先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 考法(二)　解不等式 [例4]　(2025·烟台三模)已知函数f(x)=ln x+2x，若f(2t)<2，则实数t的取值范围是(　　) A.　　　　B. C. D.(0，1) (组合函数的性质：增函数+增函数=增函数) 解析：因为f(x)=ln x+2x， 其中y=ln x和y=2x均为单调递增函数， 且y=ln x的定义域为(0，+∞)，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=ln 1+21=2，可得f(2t)<f(1)，可得0<2t<1，解得0<t<. √ 思维建模 利用函数的单调性解不等式的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为关于自变量的不等式.需要注意的是不要忘记函数的定义域. 考法(三)　求参数的取值范围 [例5]　若函数f(x)=(a>0且a≠1)在R上为减函数，则a的取值范围是(　　) A. 　　　B. C. 　　　D. √ 解析：当x<2时，f(x)=(1-4a)x+1单调递减须满足1-4a<0，解得a>;当x≥2时，f(x)=ax-8a+单调递减须满足0<a<1，且f(x)max=f(2)=a2-8a+，所以要使函数f(x)在R上为减函数，须满足 即解得<a≤，所以a的取值范围是. 解题关键：要使函数f(x)在R上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 思维建模 利用单调性求参数的策略 (1)依据函数的单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较. (2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 考法(四)　求函数的最值 [例6] (1)函数f(x)=x-+1在[1，4]上的值域为(　　) A.B.[0，1] C. D. √ 解析：由y=x在[1，4]上单调递增，且y=在[1，4]上单调递减，可得f(x)=x-+1在[1，4]上单调递增.又f(1)=0，f(4)=，故函数f(x)在[1，4]上的值域为. (2)函数y=-1+x(x≥3)的最小值为___________.  解析：设t=x-1，t≥2，则y=-1+x=t+(t≥2)，又函数y=t+在[2，+∞)上单调递增，所以当t=2，即x=3时，函数有最小值2+=. 重申要点：对勾函数在解题中经常遇到，掌握对勾函数的图象与单调性，解题“事半功倍”. 思维建模 (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域. (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值. 即时训练 √ 3.[多选]函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列结论正确的是 (　　) A.函数f(x)是减函数 B.f(-5)<f(0)<f(1) C.f(0)=0 D.不等式f(2x-1)<f(3-x)的解集为 √ 解析：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，因此f(x)是增函数，A错误;由-5<0<1，得f(-5)<f(0)<f(1)，B正确;不一定有f(0)=0，如f(x)=2x在R上为增函数，f(0)=1，C错误;由f(2x-1)<f(3-x)，得2x-1<3-x，解得x<，D正确. 4.函数y=在[2，3]上的最小值为____________.  解析：因为y=x+1在[2，3]上单调递增，且y>0恒成立，所以函数y=在[2，3]上单调递减，当x=3时，y=，所以函数y=在[2，3]上的最小值为. 5.已知函数f(x)=在区间(-2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是_____________.  解析：因为f(x)==1+，结合复合函数的单调性，再根据f(x)在区间(-2，+∞)上单调递增，可得g(x)=在区间(-2，+∞)上单调递增，那么a-2<0，即a<2. 解题关键：先将函数f(x)进行变形，然后根据函数的单调递增区间来确定实数a的取值范围. (-∞，2) 03 培优点：求函数值域的常见方法 方法(一)　配方法 　　对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域或最值. √ [例1]　函数f(x)=的值域为(　　) A.[0，4] B.(-∞，2] C.[2，+∞) D.[0，2] 解析：由题意知-1≤x≤3，令t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，当x=1时，tmax=4.又t≥0，所以t∈[0，4]，即t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4∈[0，4]，所以f(x)=∈[0，2]. 易错提醒：求f(x)的值域，首先确定f(x)的定义域. 方法(二)　分离常数法 　　形如y=(ac≠0，ad≠bc)的函数常用到分离常数法求值域. [例2]　函数f(x)=在(-1，+∞)上的值域为_________________.  解析：f(x)===1-， 因为x∈(-1，+∞)，所以x2≥0，所以x2+2≥2， 则0<≤，所以-≤-<0，所以-≤1-<1，即-≤f(x)<1， 所以函数f(x)在(-1，+∞)上的值域为. 方法(三)　基本不等式法 　　形如y=ax+(ab>0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a+b≥2求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a>0，b>0;②a+b(或ab)为定值;③取等号的条件为a=b，三个条件缺一不可. [例3]　已知x≥0，y≥0，且(x+1)(y+2)=4，则x+y的最小值是 (　　) A.4 B.2 C.1 D.3 √ 解析：因为4=(x+1)(y+2)≤，所以(x+y+3)2≥16，因为x≥0，y≥0，所以x+y+3>0，所以x+y+3≥4，即x+y≥1，当且仅当x+1=y+2=2，即x=1，y=0时，等号成立.所以x+y的最小值是1. 解题关键：利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的不等式即可得解. 方法(四)　换元法 　　利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 (1)y=或y=的结构，可用“=t”换元; (2)y=ax+b±(a，b，c，d均为常数，a≠0，c≠0)，可用“=t”换元; (3)y=bx±型的函数，可用“x=acos θ(θ∈[0，π])”或“x=asin θ”换元. [例4]　函数y=的最大值为____________________.  解析：因为y===，令t=，则t≥2，令g(x)=x+，x∈[2，+∞)，因为函数g(x)=x+在[2，+∞)上单调递增，所以g(x)∈，即+∈，则∈，即函数y=的最大值为，当且仅当x=0时取等号. [例5]　函数f(x)=sin 2x+2cos x-2sin x的值域为______________.  解析：∵f(x)=2sin xcos x+2(cos x-sin x)=1-(cos x-sin x)2+2(cos x-sin x)， ∴令cos x-sin x=t，t∈[-]，原函数的值域即g(t)=-t2+2t+1， t∈[-]的值域. 由于g(t)关于t=1对称，故g(t)max=g(1)=2，g(t)min=g(-)=-1-2， ∴f(x)的值域为[-1-2，2]. [-1-2，2] 方法习悟：本题可先用sin 2x=2sin xcos x将自变量统一成x，然后再考虑换元将其转化为我们熟悉的二次函数形式. 方法(五)　数形结合法 　　画出函数的图象，根据图象确定函数的最大值与最小值，常见于含绝对值的函数. [例6]　对∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}，若函数M(x)=max{-x+3，(x-1)2}，求M(x)的最小值. 解：当-x+3≥(x-1)2，即x2-x-2≤0，即-1≤x≤2时，M(x)=-x+3; 当-x+3<(x-1)2，即x2-x-2>0，即x>2或x<-1时，M(x)=(x-1)2，所以M(x)=函数图象如图所示， 由图可得，函数M(x)在(-∞，-1)，[-1，2]上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，所以M(x)min=M(2)=-2+3=1. 课时作业评价 04 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有<0，则(　　) A.f(3)<f(π)<f(2) B.f(π)<f(3)<f(2) C.f(2)<f(π)<f(3) D.f(3)<f(2)<f(π) 解析：易知f(x)是R上的减函数，又π>3>2，故f(π)<f(3)<f(2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.函数f(x)=-x+在上的最大值是(　　) A. B.- C.-2 D.2 解析：因为函数y=-x和y=在上均单调递减，所以f(x)=-x+在上单调递减，所以f(x)max=f(-2)=2-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.函数f(x)=|x|(x-1)的单调递减区间是 (　　) A.(-∞，0) B. C. D.(1，+∞) 解析：f(x)=作出图象，如图所示，可以得到函数f(x)的单调递减区间是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.已知函数f(x)=+2x，若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4)，则实数a的取值范围是(　　) A.∪(2，+∞) 　　B.[2，6) C.∪[2，6) 　　D.(0，6) 解析：由题意可知，函数f(x)在[2，+∞)上单调递增， ∵f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4)，∴2≤2a2-5a+4<a2+a+4， 解得2≤a<6或0<a≤.故选C. (易错提醒：若不注意定义域，会丢失2a2-5a+4≥2的限制条件，而得错解0<a<6) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)内单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，0) B.[-1，0] C.[-1，0) D.(-1，0) 解析：令t=ax+2，则y=ln t，因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)内单调递减，且y=ln t在定义域内单调递增，所以 解得-1≤a<0.故选C. 方法习悟：利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而使题目得以顺利解决. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　) A.[-1，0] B.[-1，2] C.[-2，-1] D.[-2，0] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：因为f(x)=当x=0时，f(0)=a2，由于f(0)是f(x)的最小值，所以(-∞，0]为f(x)的单调递减区间，即有a≤0，则a2≤x++a对x>0恒成立.因为x+≥2=2，当且仅当x=1时取等号，所以 a2≤2+a，解得-1≤a≤2.所以a的取值范围为[-1，0]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 二、多选题 7.下列说法正确的是(　　) A.f(x)=-2x+1是减函数 B.f(x)=在(0，+∞)上单调递增 C.f(x)=x+在[3，+∞)上单调递增 D.f(x)=x2-2x在[-2，4]上的最小值为-1 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：因为斜率k=-2<0，所以函数f(x)=-2x+1是减函数，故A正确;函数y=x2+1在(0，+∞)上单调递增，且此时有y=x2+1>1，根据复合函数的单调性可知f(x)=在(0，+∞)上单调递减，故B错误;由对勾函数的性质可知f(x)=x+在[3，+∞)上单调递增，故C正确;函数f(x)=x2-2x的图象的对称轴为直线x=1，且1∈[-2，4]，又函数f(x)=x2-2x的图象开口向上，所以f(x)=x2-2x在[-2，4]上的最小值为f(1)=1-2=-1，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 8.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A.f(x)在R上为增函数 B.f(e)>f(2) C.若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≤-1或a≥0 D.当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为[1，2] √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：f(-1)=1，f=-1+<-1+21=1，A错误;易知f(x)在(0，+∞)上单调递增，又e>2，所以f(e)>f(2)，B正确;若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≥0或a+1≤0，即a≤-1或a≥0，C正确;当x∈[-1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(-∞，2]，故x∈[-1，1]时，f(x)的值域为(-∞，2]，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 9.若函数f(x)=|x-a+1|在区间[1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为__________.  (-∞，2] 解析：法一　由题设f(x)= 显然f(x)在[a-1，+∞)上单调递增， 要使函数在区间[1，+∞)上单调递增，则a-1≤1，即a≤2.  法二　数形结合法：作出f(x)的图象如图所示，因为f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，故a-1≤1，即a≤2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 10.函数f(x)=的单调递增区间为____________________.  解析：f(x)===2-，由2x+3≠0，得x≠-，当x∈时，y=单调递减，f(x)单调递增;当x∈时，y=单调递减，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递增区间为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 11.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数a，b都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且当x>0时，f(x)>1.若f(2)=3，则不等式f(x2-x-1)<2的解集为__________.  解析：由题意，设x1>x2，则x1-x2>0，f(x1-x2)>1❶.所以f(x1)-f(x2)= f((x1-x2)+x2)-f(x2)=f(x1-x2)-1>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)是增函数.因为f(2)=3，即f(2)=f(1)+f(1)-1=3，所以f(1)=2❷.所以原不等式f(x2-x-1) <2等价为f(x2-x-1)<f(1)，则x2-x-1<1，即x2-x-2<0，则(x-2)(x+1)<0，解得-1<x<2，故不等式的解集为(-1，2). 解题细节：①处，由x>0，f(x)>1得到，此步是判断单调性的关键; ②处，转化不等式的关键. (-1，2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=. (1)利用函数单调性的定义证明：函数f(x)在(-1，+∞)上单调递增;(6分) 解：证明：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=-=， 因为x1，x2∈(-1，+∞)，x1<x2，所以x1-x2<0，x1+1>0，x2+1>0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(-1，+∞)上单调递增. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)求函数f(x)在区间[1，4]上的最大值和最小值.(4分) 解：由(1)知f(x)在区间[1，4]上单调递增， 所以f(x)min=f(1)=-，f(x)max=f(4)=1， 所以函数f(x)在区间[1，4]上的最大值为1，最小值为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.(10分)已知定义在区间(0，+∞)上的函数f(x)单调递增，f(1)=0，f(3)=1. (1)解不等式0<f(x2-1)<1;(4分) 解：由题意得解得<x<2或-2<x<-. 所以原不等式的解集为(-2，-)∪(，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0，3]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围.(6分) 解：因为函数f(x)在(0，3]上单调递增，所以f(x)在(0，3]上的最大值为f(3)=1，所以不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0，3]，a∈[-1，1]恒成立转化为1≤m2-2am+1对所有a∈[-1，1]恒成立，即m2-2am≥0对所有a∈[-1，1]恒成立.设g(a)=-2ma+m2，a∈[-1，1]，所以需满足即解得m≤-2或m≥2或m=0，即实数m的取值范围为(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 14.已知函数f(x)在R上具有单调性，若x1≠x2，且α=，β=，则(　　) A.|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)| B.|f(x1)-f(x2)|=|f(α)-f(β)| C.|f(x1)-f(x2)|>|f(α)-f(β)| D.|f(x1)-f(x2)|与|f(α)-f(β)|大小不确定 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：根据题意，不妨设x1<x2，则x1<α<β<x2，当函数f(x)单调递增时，可得f(x1)<f(α)<f(β)<f(x2)，所以f(x2)-f(x1)>f(β)-f(α)>0，所以|f(x1)-f(x2)|>|f(α)-f(β)|;当函数f(x)单调递减时，f(x1)>f(α)>f(β)>f(x2)，所以f(x1)-f(x2)>f(α)-f(β)>0，所以|f(x1)-f(x2)|>|f(α)-f(β)|，综上可得|f(x1)-f(x2)|>|f(α)-f(β)|. 解题关键：函数具有单调性，既可能单调递增也可能单调递减，不要忽视分类讨论. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 15.已知f(x)=，g(x)=mx+1-2m，若对任意的x1∈[2，3]，总存在x2∈[2，3]，使f(x1)=g(x2)成立，则实数m的取值范围为__________.  [1，+∞) 解析：若对任意的x1∈[2，3]，总存在x2∈[2，3]，使f(x1)=g(x2)成立，则只需在区间[2，3]上函数f(x)的值域为函数g(x)的值域的子集.因为函数f(x)=1+，所以函数f(x)在[2，3]上单调递减，所以函数f(x)的值域为.对于函数g(x)=mx+1-2m，x∈[2，3]，①当m=0时，g(x)=1，不符合题意;②当m>0时，g(x)单调递增，则g(x)的值域为[1，m+1]，此时只需m+1≥2，解得m≥1;③当m<0时，g(x)单调递减，则g(x)的值域为[m+1，1]，不符合题意.综上，m的取值范围为[1，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 习得知能：设函数y=f(x)，x∈A的值域为D1，y=g(x)，x∈B的值域为D2，则∀x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)=g(x2)⇔D1⊆D2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $