第2章 第1节 函数的概念及表示(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的概念及表示”核心考点，覆盖定义域值域求解、函数表示法、分段函数应用等高考考查要求。通过教材知识梳理与辅文挖掘，对接高考评价体系，结合模拟题分析考点权重，归纳出定义域、解析式、分段函数等常考题型，实用性强。 课件亮点在于“题点逐点清+思维建模+易错警示”策略，如以2026潍坊一模分段函数题为例，解析“从内到外”求值法，培养数学思维与符号语言表达能力。通过待定系数法等突破解析式求法，设“易错陷阱”提醒，帮助学生掌握技巧，教师可精准教学，提升复习效率。

第二章 函　数 第一节 函数的概念及表示 明确目标 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.了解简单的分段函数，并能简单应用. 目录 课时作业评价 4 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识| 1.函数的概念 (1)一般地，设A，B是____________，如果对于集合A中的______一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有___________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. (2)在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集. 非空的实数集 任意 唯一确定 2.构成函数的三要素 (1)函数的三要素：函数由________、________和对应关系三个要素构成，在函数y=f(x)，x∈A中，________________ (即数集A)称为这个函数的定义域.______________ 组成的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)同一个函数：如果两个函数的_______相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也_____，那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有________、图象法和_______. 定义域 值域 自变量的取值范围 所有函数值 定义域 对应关系 相同 解析法 列表法 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的______. 并集 5.常用结论 (1)直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. (2)注意以下几种特殊函数的定义域： ①分式型函数，分母不为零的实数集合. ②偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. ③f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. ④若f(x)=x0，则定义域为{x|x≠0}. Ⅱ.|发|掘|教|材|辅|文|价|值| 常用的分段函数(源于湘教必修①P75“多知道一点”) (1)绝对值函数：f(x)=|x|，如图1. 性质：定义域为R，值域为[0，+∞)，偶函数. (2)取整函数：g(x)=[x]，[x]表示不大于x的最大整数，如[4.1]=4，[-3.14]=-4等，如图2. 性质：①[x]≤x<[x]+1;②x为整数⇔[x]=x;③[x+y]≥[x]+[y]. (3)符号函数：h(x)=sgn x=如图3. 性质：定义域为R，值域为{-1，0，1}，奇函数，x=|x|sgn x. (4)狄利克雷函数：D(x)=它常用来举反例和构造具有某种特性的函数. Ⅲ.|练|悟|教|材|固|基|小|题| 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数. (　　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示. (　　) (3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点. (　　) (4)函数f(x)=的定义域为R. (　　) × × √ √ √ 2.(苏教必修①P115T7改编)已知函数f(x)=则f(f(2))=(　　) A. B. C.2 D.-2 解析：由题意得f(2)=-2，f(-2)=，故选B. 3.(人B必修①P97T6改编)下列四个图象中，不是函数图象的是 (　　) √ 解析：根据函数的定义知，若y是x的函数，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上：图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点.对照选项，可知只有B不符合此条件. 4.(人A必修①P100T1(2)改编)函数f(x)=的定义域为(　　) A.[4，+∞) B.[4，5)∪(5，+∞) C.(4，5)∪(5，+∞) D.(-∞，-5)∪(4，5] √ 解析：要使函数f(x)=有意义，则解得x≥4且x≠±5，故函数f(x)的定义域为[4，5)∪(5，+∞). 5.(人A必修①P65例2改编)已知函数f(x)=x+3+，若f(a)=，则a=__________.  解析：由a+3+=，化简得3a2+2a-5=0，解得a=1或a=-，均符合题意，所以a=1或a=-. 1或- 02 题点一　函数的概念(自主练通) √ 1.已知函数y=f(x)的定义域为[-1，4]，则y=的定义域为(　　) A.[-5，5]　 B.　 C.(1，5]　 D. 解析：因为y=f(x)的定义域为[-1，4]， 所以解得1<x≤， 所以y=的定义域为. 易错提醒：求解复合函数的定义域问题时，易搞不清函数的自变量是哪一个而致误.f(φ(x))的定义域是指x的范围，而不是φ(x)的范围，即同一个“f”下括号内的范围是一样的. √ 2.[多选]下列说法正确的有 (　　) A.f(x)=与g(x)=表示同一个函数 B.函数f(x)=-的定义域是[-1，0)∪(0，+∞) C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数 D.若f(x)=|x-1|-x，则f=0 √ 解析：函数f(x)=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，函数g(x)=的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误;由题意，在f(x)=-中，解得x≥-1且x≠0，故B正确;因为函数f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确; 由f(x)=|x-1|-x，得f=0，所以f=f(0)=1，故D错误. 3.已知函数y=f(x-1)的定义域为[1，2]，则函数y=f(2x-1)的定义域为__________.  解析：∵函数y=f(x-1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，可得0≤x-1≤1，∴函数y=f(x)的定义域为[0，1].令0≤2x-1≤1，解得≤x≤1，故函数y=f(2x-1)的定义域为. 4.若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围是________.  解析：∵函数y=的定义域为R， ∴ax2-ax+1>0恒成立， 当a=0时，1>0恒成立，满足题意;当a≠0时，解得a∈(0，4).综上，实数a的取值范围是[0，4). (易错提醒：只需满足根号下的式子有意义且不为0) [0，4) 思维建模 (1)判断两个函数是否为同一个函数，关键有两点：定义域是否相同，对应关系即解析式是否相同. (2)求具体函数的定义域：即求使解析式有意义的自变量x的取值集合，如分式的分母不等于0、对数的真数大于0，底数大于0且不等于1等，所以往往归结为求解自变量满足的不等式(组)，不等式(组)的解集即为定义域. (3)求抽象函数的定义域：若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数y=f(g(x))的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出;若复合函数y=f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a，b])的值域. 题点二　函数的解析式 [例1] (1)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式; 解：∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)， ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴ 解得∴f(x)的解析式为f(x)=2x+7. (2)(配凑法)已知f=x4+，求f(x)的解析式; (易错提醒：对于复合函数f(g(x))，注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域) 解：∵f=x4+=-2，又x2+≥2=2， 当且仅当x2=，即x=±1时等号成立.设t=x2+，则t≥2， ∴f(t)=t2-2(t≥2)，∴f(x)=x2-2(x≥2). (3)(换元法)已知f(1-sin x)=cos2x，求f(x)的解析式; 解：设1-sin x=t，t∈[0，2]，则sin x=1-t， ∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x， ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2，t∈[0，2]. ∴f(x)=2x-x2，x∈[0，2]. (易错提醒：利用换元法求函数解析式时，一定要根据原函数与定义域求出新变量的范围) (4)(方程组法)若对任意实数x，均有f(x)-2f(-x)=9x+2，求f(x)的解析式. 解：∵f(x)-2f(-x)=9x+2　①， ∴f(-x)-2f(x)=9(-x)+2　②， 由①+2×②得-3f(x)=-9x+6，∴f(x)=3x-2. 思维建模 函数解析式的求法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (2)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式,特别注意形如x±,x2+,ax±a-x和a2x+a-2x,sin x±cos x与sin xcos x一般都运用配凑法. (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 即时训练 √ 1.已知函数f(1-x)=(x≠0)，则f(x)=(　　) A.-1(x≠0) B.-1(x≠1) C.-1(x≠0) D.-1(x≠1) 解析：令1-x=t(t≠1)，则x=1-t， 所以f(t)==-1，所以f(x)=-1(x≠1). √ 2.已知f(x)的定义域为(0，+∞)，满足2f(x)-f=2x+1，则f(x)的最小值为(　　) A.1+ B.1+ C.1+ D. 解析：由2f(x)-f=2x+1，得2f-f(x)=+1，联立消去f，得f(x)=+1，而x>0，则f(x)=+1≥+1=+1， 当且仅当2x=，即x=时取等号，所以当x=时，f(x)取得最小值1+. 习得知能：若两个正数的积为定值，求两个正数的和的最小值，常用基本不等式求解，注意等号成立的条件.本题也可以利用对勾函数的性质求解. 3.设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意的实数x，y都有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，则f(x)的解析式为_________________.  f(x)=x2+x+1 解析：法一　令y=x，则f(x-y)=f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=1， 所以f(x)=x2+x+1. 规律方法：赋值法求函数解析式 当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式.具体取什么特殊值，要根据题目特征而定. 法二　令x=0，得f(0-y)=f(0)-y(-y+1)，即f(-y)=1-y(-y+1). 将-y用x替换得f(x)=x2+x+1. √ 题点三　分段函数 考法(一)　分段函数求值 [例2]　(2026·潍坊一模)已知函数f(x)= 则f(f(-1))=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：将x=-1代入，得到f(-1)=(-1)2+(-1)=0，所以f(f(-1))=f(0)， 将x=0代入，得到f(0)=e0+ln 1=1.因此，f(f(-1))=f(0)=1. 思维建模 求分段函数函数值的方法： 　　先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入相应的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. √ 考法(二)　分段函数与方程结合 [例3]　(2026·南昌模拟)已知函数f(x)=若f(a)=5-a，则实数a的值为(　　) A.或2 B.或1 C.1 D. 解析：当a>1时，因为f(a)=5-a，得到2a+2=5-a⇒2a+a=3，解得a=1，因为a>1，故a=1不符合题意;当a≤1时，由f(a)=5-a， 得到4a+3=5-a⇒5a=2，解得a=，综上，实数a的值为. (易错提醒：已知函数值求自变量的值时，易忽略自变量的取值范围而出错) 思维建模 　已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量范围. √ 考法(三)　分段函数与不等式结合 [例4]　已知f(x)=则不等式f(2x)<f(x-1)的解集为(　　) A.(-1，1) B.(0，1) C. D. 解析：因为f(x)=当x>1时， f(2x)=f(x-1)=1，不合题意;当0<x≤1时，f(2x)=1， f(x-1)=(x-1)2+1，由不等式f(2x)<f(x-1)可得1<(x-1)2+1，解得x≠1， 所以0<x<1;当x≤0时，f(2x)=4x2+1，f(x-1)=(x-1)2+1，由不等式f(2x)<f(x-1)可得4x2+1<(x-1)2+1，即得3x2+2x-1<0，解得-1<x<， 又x≤0，所以-1<x≤0.综上可得，原不等式的解集为(-1，1). 思维建模 　涉及与分段函数有关的不等式问题：主要是解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解，有时可以数形结合求解. 即时训练 √ 4.[多选]已知定义在R上的函数f(x)=且f(-1)=9，则(　　) A.a的值可以为-1 B.a的值可以为2 C.若f(a)=81，则a=1 D.若m>n，且f(m)=f(n)，则m的最大值为a+3 √ √ 解析：对于A，当a=-1时，f(x)=f(-1)=f(2)=32=9，符合题意，故A正确;对于B，当a=2时，f(x)= f(-1)=f(2)=f(5)=35≠9，不符合题意，故B错误;对于C，f(a)=f(a+3)=3a+3=81，则a+3=4，即a=1，故C正确;对于D，当x≤a时，f(x)=f(x+3)，则函数的周期为3，由m>n，f(m)=f(n)，要使m最大，则m>a，n≤a，因为f(n)=f(n+3k)，k∈N*，当n+3k>a时，令m=n+3k，k取满足n+3k>a的最小正整数，当k=1时，m取得最大值n+3，又n≤a，则m的最大值为a+3，故D正确. 方法解读：在选择题中，应用特值代入检验即可快速解题.本题中代值检验，即可判断A、B;代值计算即可判断C;结合函数的周期分析判断D. 5.已知函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为M(x)=min{f(x)，g(x)}，则不等式M(x)≤的解集为_________.  解析：法一　由f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2， f(x)≥g(x)⇒x+1≥(x+1)2⇒-1≤x≤0， 则M(x)=min{f(x)，g(x)}= 当x∈[-1，0]时，M(x)≤⇔(x+1)2≤，解得-1≤x≤-， 当x∈(-∞，-1)∪(0，+∞)时，M(x)≤⇔x+1≤，解得x<-1. 综上，不等式M(x)≤的解集是. 法二　作出f(x)与g(x)的图象，如图所示， 由题意知图中实线部分为y=M(x)的图象， 即M(x)=若M(x)≤， 结合图象知，只需满足或x<-1，解得-1≤x≤-或x<-1，即x≤-. 课时作业评价 03 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为(　　) A.{x|x≥3} B.{x|x<1} C.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x≤3} 解析：由⇒所以函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为{x|1<x≤3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 重点强调：求函数的定义域常用的结论 (1)分式型要满足f(x)≠0; (2)偶次根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0; (3)[f(x)]0要满足f(x)≠0; (4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0; (5)正切型tanf(x)要满足f(x)≠+kπ，k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.设函数f(x)=则f=(　　) A. B. C. D.-1 解析：易知f=2×=，所以f=f==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.已知函数f(x)是一次函数，且f(f(x)-2x)=3，则f(5)= (　　) A.11 B.9 C.7 D.5 解析：设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(f(x)-2x)=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=3，整理得(a2-2a)x+ab+b-3=0，所以解得 所以f(x)=2x+1，所以f(5)=2×5+1=11. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.(2026·沈阳模拟)已知f(x-1)=ex，则f(2)= (　　) A.e B.2e C.e2 D.e3 解析：令x-1=t，t∈R，则x=t+1，所以f(t)=et+1，即f(x)=ex+1， 则f(2)=e3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.已知函数f(x)=若f(-2)=3，则f(-5)=(　　) A.6 B.-6 C.2 D.-2 解析：当x<0时，f(x)=f(1+x)+m，故f(-2)=f(-1)+m=f(0)+2m=3， 当x≥0时，f(x)=ex，f(0)=1，故1+2m=3，则m=1， 所以f(-5)=f(-4)+1=f(-3)+2=f(-2)+3=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.已知函数y=f(2x+1)的定义域为[-1，2]，则函数y=的定义域为(　　) A.[-1，2] B.(-1，2] C.[-1，5] D.(-1，5] 解析：对于函数y=f(2x+1)，-1≤x≤2，则-1≤2x+1≤5，所以函数f(x)的定义域为[-1，5].对于函数y=，有即 解得-1<x≤5.因此，函数y=的定义域为(-1，5]. (易错提醒：分式中不要忽视分母不能等于0的限制条件) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 7.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，若f(1)=1，则f(25)= (　　) A.25 B.125 C.625 D.15 625 解析：法一　由题意取x=n(n∈N)，y=1，可得f(n+1)=f(n)+f(1)+2n=f(n-1)+2f(1)+2(n-1)+2n=f(n-2)+3f(1)+2(n-2)+ 2(n-1)+2n=(n+1)f(1)+2(1+2+…+n)=(n+1)f(1)+n(n+1)， 即知f(n)=nf(1)+n(n-1)=n+n(n-1)=n2，则f(25)=625. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 法二　令x=y=1，可得f(2)=4，令x=y=2，可得f(4)=16，令x=y=4，可得f(8)=64，令x=y=8，可得f(16)=256，令x=8，y=16，可得f(24)=576，令x=1，y=24，可得f(25)=625. 法三　令g(x)=f(x)-x2，则g(x+y)=f(x+y)-(x+y)2=f(x)+f(y)+2xy-(x+y)2= f(x)+f(y)-x2-y2=g(x)+g(y)，所以g(n)=g(n-1)+g(1)=…=ng(1)=n(f(1)-12)=0，即g(n)=f(n)-n2=0，所以f(n)=n2，则f(25)=625. 法四　快捷技法：由f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy可构造满足条件的函数f(x)=x2，可以快速得到f(25)=625. 习得知能：抽象函数求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量，它是解决抽象函数问题的常用策略. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 二、多选题 8.下列说法正确的是(　　) A.式子y=+可表示自变量为x、因变量为y的函数 B.若函数f(x)=的值域为[0，+∞)，则a∈{a|a≤-2，或a≥2} C.函数y=f(x)的图象与直线x=1最多有1个交点 D.若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：对于A，有不等式组无解，A错误;对于B，由题意可知y=x2+ax+1的值域包含[0，+∞)，故Δ=a2-4≥0，解得a≤-2或a≥2，B正确;对于C，根据函数的概念知，当函数f(x)在x=1处无定义时，函数f(x)的图象与直线x=1无交点，当函数f(x)在x=1处有定义时，函数f(x)的图象与直线x=1只有1个交点，所以函数f(x)的图象与直线x=1最多有1个交点，C正确;对于D，取函数f(x)=5(x∈R)，其值域为{5}，D错误.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 9.已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(f(-1))=1 B.若f(x)=3，则x的值是 C.f(x)<1的解集为(-∞，1) D.f(x)的值域为(-∞，4] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：对于A，因为f(-1)=-1+2=1，则f(f(-1))=f(1)=12=1，故A正确;对于B，当x≤-1时，x+2=3，解得x=1(舍去)，当-1<x<2时，x2=3，解得x=或x=-(舍去)，故B正确;对于C，当x≤-1时，x+2<1，解得x<-1，当-1<x<2时，x2<1，解得-1<x<1，所以f(x)<1的解集为 (-∞，-1)∪(-1，1)，故C错误;对于D，当x≤-1时，f(x)的取值范围是(-∞，1]，当-1<x<2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(-∞，4)，故D错误.故选AB. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 10.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数.如[1.2]=1，[2]=2，[-1.2]=-2.设f(x)=x-[x]，则下列结论正确的有 (　　) A.f(-1.1)=0.9 B.函数f(x)的图象关于原点对称 C.f(x+1)=f(x)+1 D.函数f(x)的值域为[0，1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：对于A，因为f(x)=x-[x]，所以f(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1. 1-(-2)=0.9，故A正确;对于B，因为f(0.5)=0.5-[0.5]=0.5-0=0.5， f(-0.5)=-0.5-[-0.5]=-0.5-(-1)=0.5，所以f(0.5)+f(-0.5)=1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B错误;对于C，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x<k+1，此时有k+1≤x+1<k+2，所以f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-(k+1)=x-k，f(x)=x-[x]=x-k，故C错误;对于D，由C分析可知∀x∈R，总有f(x+1)=f(x)，即f(x)是周期为1的周期函数，不妨设0≤x<1，则此时有0≤f(x)=x-[x]=x-0=x<1，因此函数f(x)的值域为[0，1)，故D正确.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 11.若函数f(x)=的定义域为[-2，+∞)，则实数a=________，实数b的取值范围是_________.  解析：由函数f(x)=，得即 又函数f(x)=的定义域为[-2，+∞)，故a=2，b<-2. 2 (-∞，-2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 12.(2026·昆明一模)已知函数f(x)=(x≠0)满足f(x)=f，则实数a=___________.  解析：因为函数f(x)=(x≠0)满足f(x)=f，则==，即1+ax2=x2+a，所以(a-1)(x2-1)=0，所以a-1=0，解得a=1，经检验符合题意. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.已知f(x)=实数a满足f(a)<f(-a)，则a的取值范围是_______________.  解析：法一　由题意可知，a≠0.当a<0时，f(a)=a2+2a，f(-a)=-a2-2a，所以由f(a)<f(-a)可得a2+2a<-a2-2a，即a2+2a<0，解得-2<a<0;当a>0时，f(a)=-a2+2a，f(-a)=a2-2a，所以由f(a)<f(-a)可得-a2+2a<a2-2a，即a2-2a>0，解得a>2，所以a的取值范围是(-2，0)∪(2，+∞). (-2，0)∪(2，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 法二　由题意知f(x)=作出f(x)的图象，如图所示，由图象知f(x)是奇函数，f(a)<f(-a)等价于f(a)<-f(a)， 即f(a)<0，结合图象知-2<a<0或a>2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 14.(2025·北京高考)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析：若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，充分性成立; 取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，+∞)，必要性不成立. 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 15.已知2f(-sin x)+3f(sin x)=4sin xcos x，则f(x)的解析式为___________________________.  解析：令sin x=t，-1≤t≤1，则cos x=， 原方程即2f(-t)+3f(t)=4t　①， 将上式中的t换成-t，得2f(t)+3f(-t)=-4t　②， 由①×3-②×2可得f(t)=4t.又t∈[-1，1]， 所以f(x)=4x，x∈[-1，1]. f(x)=4x，x∈[-1，1] 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $