第1章 第5节 第2课时 一元二次不等式的恒(能)成立问题(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式的恒（能）成立问题”核心考点，涵盖实数集R上恒成立、给定区间恒成立、变换主元及有解问题四大类，对接高考评价体系，分析近五年真题中参数范围求解、函数最值应用等高频题型，构建完整解题思路体系。 课件亮点在于“题型归类+策略建模+实战训练”，如例2通过分离参数法结合函数单调性求最值，培养学生数学思维中的推理与运算能力。设易错提醒（如二次项系数讨论）和即时训练，教师可系统梳理考点，学生掌握答题技巧，高效提升得分率，助力高考冲刺。

第2课时　一元二次不等式的恒(能)成立问题 题点一　一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题 √ [例1]　若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是 (　　) A.[2，18] B.(-18，-2) C.(2，18) D.(0，2) 解析:当k=0时，不等式kx2+(k-6)x+2>0可化为-6x+2>0， 显然不合题意；当k≠0时，因为kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数， 所以解得2<k<18.综上，2<k<18. 易错提醒:当未说明不等式为一元二次不等式时，应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论. 思维建模 不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定 (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 即时训练 √ 1.已知函数f(x)=的定义域为R，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，1] B.[0，1] C.(1，+∞) D.[1，+∞) 解析:由题意，不等式ax2+2ax+1≥0对任意的x∈R恒成立. 当a=0时，1≥0恒成立，符合题意；当a≠0时， 则解得0<a≤1. 综上，实数a的取值范围是[0，1]. 细节提醒:画线处意味着函数图象不在x轴下方. 题点二　一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 [例2]　设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)<-m+5恒成立，求m的取值范围. 解:法一　要使f(x)<-m+5在区间[1，3]上恒成立，则mx2-mx+m-6<0，即m+m-6<0在x∈[1，3]上恒成立. 令g(x)=m+m-6，x∈[1，3]， 当m>0时，g(x)在区间[1，3]上单调递增，所以g(x)max=g(3)=7m-6<0，所以m<，则0<m<；当m<0时，g(x)在区间[1，3]上单调递减， 所以g(x)max=g(1)=m-6<0，所以m<6，则m<0. 综上所述，m的取值范围是. 法二　要使f(x)<-m+5在区间[1，3]上恒成立，则mx2-mx+m-6<0， 即m(x2-x+1)-6<0. 又x2-x+1=+>0，所以m<. 因为函数y==在区间[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可.因为m≠0，所以m的取值范围是. 习得知能:解决此题可从两方面入手，一是函数法，对m>0，m<0分别讨论，从而确定g(x)在[1，3]上的单调性，求出最大值；二是分离参数(可避免分类讨论)，再求出对应函数在x∈[1，3]上的最小值. 思维建模 在给定区间上恒成立问题的求解策略 策略一 若f(x)>0在给定区间上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围 策略二 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥ a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a 即时训练 √ 2.已知函数f(x)=ax2-2x+a，对x∈都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是(　　) A.[1，+∞) B. C. D. 快审准解:根据不等式恒成立，分离参数，可得a≥，对x∈恒成立，构造函数，结合函数的单调性求其最小值，即可求得答案. 解析:由题意知ax2-2x+a≥0对x∈恒成立，即a≥=， 对x∈恒成立.设g(x)=x+，由于g(x)在上单调递减， 在[1，2]上单调递增，所以g(x)min=g(1)=2，则≤1，当且仅当x=1时， 等号成立，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞)，故选A. √ 题点三　变换主元解决一元二次不等式恒成立问题 [例3]　已知a∈[-1，1]时，不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立，则x的取值范围为 (　　) A.(-∞，2)∪(3，+∞) B.(-∞，1)∪(2，+∞) C.(-∞，1)∪(3，+∞) D.(1，3) 解析:把不等式的左端看成关于a的函数， 记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4， 则由f(a)>0对于任意的a∈[-1，1]恒成立， 得f(-1)=x2-5x+6>0，且f(1)=x2-3x+2>0，解不等式组得x<1或x>3. 思维建模 给定参数范围的恒成立问题，常采用变换主元的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零.同理，若f(x)<0恒成立⇔ 即时训练 √ 3.若命题“∃-1≤a≤3，ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题，则实数x的取值范围为 (　　) A.{x|-1≤x≤4} B. C. . D. . 解析:由题意可得命题“∀-1≤a≤3，ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题，即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对a∈[-1，3]恒成立，则 解得-1≤x≤0或≤x≤4， 即实数x的取值范围为. √ 题点四　 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题 [例4]　若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的取值范围是 (　　) A. 　　　 B. C. 　　　 D. 解析:若存在x∈(0，2]，由ax2-2x+3a<0， 可得a(x2+3)<2x，则a<，因为=≤=， 当且仅当x=(0<x≤2)，即当x=时，等号成立， 所以当x∈(0，2]时，的最大值为，故a<.故选A. 思维建模 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题来解决. (2)对一些简单的问题常用分离参数的方法，通过分离参数后利用a>f(x)在区间[m，n]上有解，则a>f(x)min，a<f(x)在区间[m，n]上有解，则a<f(x)max(对于a≥f(x)，a≤f(x)可类似处理)，有时也转化为求解最值问题. 即时训练 √ 4.若不等式-x2+ax-1>0有解，则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞，-2)∪(2，+∞) B.(-2，2) C.(-∞，-2)∪(-2，2)∪(2，+∞) D.(1，3) 解析:不等式-x2+ax-1>0有解，即不等式x2-ax+1<0有解，因此Δ=a2-4>0，解得a<-2或a>2，所以实数a的取值范围为a<-2或a>2. 5.已知存在x∈[0，1]，使得x2-4x≥m2-4m成立，则m的取值范围是 (　　) A.[0，1] B.[1，3] C.[0，4] D.[0，+∞) √ 解析:依题意，令f(x)=x2-4x，x∈[0，1]，则f(x)=x2-4x=(x-2)2-4，其图象开口向上，对称轴为x=2，所以函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，则f(x)max=f(0)=02-4×0=0，因为存在x∈[0，1]，使得x2-4x≥m2-4m成立，所以f(x)max≥m2-4m，即0≥m2-4m，即m(m-4)≤0，解得0≤m≤4，所以m的取值范围是[0，4]. 解题关键:将问题转化为f(x)max≥m2-4m，结合二次函数的最值性质即可得解. 课时作业评价 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.若不等式kx2+kx-<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A.(-3，0) B.[-3，0) C.[-3，0] D.(-3，0] 解析:当k=0时，-<0恒成立，即有k=0，符合题意；当k≠0时，解得-3<k<0，所以实数k的取值范围是(-3，0].故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.设a∈R，若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则a的取值范围为 (　　) A.(-∞，2] B.[2，+∞) C. D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:由x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解，得≥a在1≤x≤2上有解，则a≤.由于=x+，而y=x+在[1，2]上单调递增，故当x=2时，x+取得最大值，故a≤. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.若存在实数x，使得mx2-(m-2)x+m<0成立，则实数m的取值范围为 (　　) A.(-∞，2) B.(-∞，0]∪ C. D.(-∞，1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:①当m=0时，不等式化为2x<0，解得x<0，符合题意；②当m>0时，y=mx2-(m-2)x+m为图象开口方向向上的二次函数，只需Δ=(m-2)2-4m2=-3m2-4m+4>0，即0<m<；③当m<0时，y=mx2-(m-2)x+m为图象开口方向向下的二次函数，则必存在实数x，使得mx2-(m-2)x+m<0成立.综上所述，实数m的取值范围为. 易错提醒:若不等式ax2+bx+c>0没有明确是一元二次不等式，一定不要忽视对a=0的讨论. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.已知条件q:“不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集”，则条件p:“-2≤a<1”是条件q的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集，所以不等式 (a2-4)x2+(a+2)x-1<0的解集是R ，当a2-4=0，即a=±2 时，若a=2 ， 则 4x-1<0，x<(舍去)；若a=-2 ，则 -1<0，x∈R ；当a2-4≠0时， 则解得-2<a< .综上所述，-2≤a<，所以条件p是条件q的充分不必要条件.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.对于所有的正实数x，y，都有x+≤a(x+y)成立，则整数a的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:由题设得1+≤a，令t=>0，则1+t≤a(1+t2)⇒at2-t+a-1≥0，所以f(t)=at2-t+a-1≥0，在t∈(0，+∞)上恒成立，当a=0时，则f(t)=-t-1<0，不满足题设；当a≠0时，f(t)的对称轴为t=，只需可得a≥.综上，a≥，故整数a的最小值为2.故选B. 解题关键:利用换元法，把不等式转化为一元二次不等式的形式. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.已知命题p:任意1≤x≤2，x2-a≥0，命题q:关于x的不等式x2+2ax+2-a≤0有解，若命题p、命题q一真一假，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-2，1) B.(1，+∞) C.(-∞，-2]∪{1} D.(-2，1)∪(1，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:当命题p为真时，即∀x∈[1，2]，x2-a≥0，即当x∈[1，2]时，a≤，又当x=1时，x2取得最小值1，即得a≤1；当命题q为真时，即关于x的不等式x2+2ax+2-a≤0有解，所以Δ=4a2-4(2-a)≥0， 所以a≤-2或a≥1.又命题p，q一真一假，当p真q假时，即 所以-2<a<1，当p假q真时，即所以a>1.故实数a的取值范围是(-2，1)∪(1，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 7.已知不等式(4x2+4ax+1)(2x2+x+a)>0对于一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:因为4x2+4ax+1=4+1-a2，2x2+x+a=2+a-， 令1-a2>0，即-1<a<1，此时4x2+4ax+1>0对于一切实数x恒成立， 因此2x2+x+a>0对于一切实数x恒成立，所以a->0，即a>，故<a<1；当1-a2≤0时，关于x的方程4x2+4ax+1=0有实数解，即存在实数x使得(4x2+4ax+1)(2x2+x+a)=0，不满足题意，故实数a的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 8.若不等式10xy≤ax2+2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A.[8，+∞) B.[12，+∞) C. D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:因为不等式10xy≤ax2+2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，所以a≥-2+10对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，令t=，因为1≤x≤2及2≤y≤3，所以1≤t≤3，则a≥-2t2+10t在上恒成立， 因为g(t)=-2t2+10t=-2+的图象的对称轴为t=∈， 所以g(t)的最大值为g=，所以a≥，所以实数a的取值范围是. 解题关键:换元后，利用不等式的性质判断新元的范围. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 二、填空题 9.(2026·洛阳阶段练习)对于任意的x，y∈R ，定义运算:x☉y=x(y+1).若不等式x☉(x+a)+1>0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是__________.  解析:由已知得x☉(x+a)+1=x(x+a+1)+1=x2+(a+1)x+1>0对任意实数x恒成立，所以Δ=(a+1)2-4<0，解得-3<a<1. (-3，1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 10.(2026·合肥模拟)若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为__________.  解析:∵当x∈[1，3]时，x2+ax+4≥0恒成立，∴a≥-恒成立，又当x∈[1，3]时，x+≥2=4，当且仅当x=2时取等号， ∴-≤-4，∴a≥-4，故a的最小值为-4. -4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 11.已知∀x∈[1，2]，∀y∈[2，3]，y2-xy-mx2≤0，则实数m的取值范围是___________.  解析:因为x∈[1，2]，y∈[2，3]，则∈，所以∈[1，3].又y2-xy-mx2≤0，可得m≥-.令t=∈[1，3]，则原命题等价于∀t∈ [1，3]，m≥t2-t，即m≥(t2-t)max，t2-t=-，当t=3时，y=t2-t取到最大值ymax=9-3=6，所以实数m的取值范围是[6，+∞). [6，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、解答题 12.(10分)已知集合A={x|x2+x-2<0}，B={x|x2-3mx+2m2<0}. (1)若m=-1，且A，B同时成立，求x的取值范围；(4分) 解:解不等式x2+x-2<0，得-2<x<1，故A={x|-2<x<1}. 当m=-1时，解不等式x2+3x+2<0，得-2<x<-1，故B={x|-2<x<-1}. 因为A，B同时成立， 所以x的取值范围为(-2，-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)设命题p:∀x∈A，x2+(1-2a)x+a2+a>8，若命题綈p为真命题，求a的取值范围.(6分) 解:因为p:∀x∈A，x2+(1-2a)x+a2+a>8，所以綈p:∃x∈A， x2+(1-2a)x+a2+a≤8为真命题，设f(x)=x2+(1-2a)x+a2+a-8， 则f(x)≤0在(-2，1)上有解，①由f(-2)≤0，得a2+5a-6≤0， 解得-6≤a≤1. 经验证，a=-6不符合题意，故-6<a≤1. ②由f(1)≤0，得a2-a-6≤0，解得-2≤a≤3. 经验证，a=3不符合题意.故-2≤a<3.综上，a∈(-6，3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.(10分)已知函数f(x)=x2-3x+a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；(4分) 解:若f(x)>0在x∈R上恒成立，则Δ=(-3)2-4a<0，得a>， 所以实数a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)若f(x)<0在x∈(-1，2]上恒成立，求实数a的取值范围.(6分) 解:由题意知，a<-x2+3x在x∈(-1，2]上恒成立， 则a<(-x2+3x)min，-x2+3x=-+，当x∈(-1，2]时，-x2+3x的范围为，所以a≤-4，故实数a的取值范围是(-∞，-4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 |能力进阶|备选题| 14.已知∀x∈[-1，4]，∃a∈R ，满足不等式x2-2x+3≥a2-2am+3m，则实数m的取值范围是___________________.  解析:∀x∈[-1，4]，∃a∈R ，满足不等式x2-2x+3≥a2-2am+3m，故只需(x2-2x+3)min≥(a2-2am+3m)min，其中y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2，当且仅当x=1时，等号成立，关于a的函数y=a2-2ma+3m=(a-m)2+3m-m2≥3m-m2，当且仅当a=m时，等号成立，所以2≥3m-m2，解得m≥2或m≤1，综上，实数m的取值范围是(-∞，1]∪[2，+∞). (-∞，1]∪[2，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 15.(15分)已知函数f(x)=x2-(a+6)x+6(a∈R). (1)若∀x∈[1，4]，f(x)+a+8≥0恒成立，求a的取值范围；(7分) 解:由题意得，x2-ax-6x+6+a+8≥0对于∀x∈[1，4]恒成立， ∴ax-a≤x2-6x+14，即a(x-1)≤x2-6x+14在x∈[1，4]恒成立. ①当x=1时，0≤1-6+14=9，恒成立.②当x≠1时，此时x∈(1，4]， 则a≤==(x-1)+-4在x∈(1，4]恒成立. ∴a≤(x-1)+-4在x∈(1，4]上的最小值，∵(x-1)+-4≥2-4=2，当且仅当x-1=，即x=4时取等号，∴a≤2.故a的取值范围为(-∞，2]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)已知g(x)=mx+7-3m，当a=1时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围.(8分) 解:当a=1时，f(x)=x2-7x+6，当x∈[1，4]时，f(x)=-， 则f(x)的值域为，∵对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]， 使f(x1)=g(x2)成立，∴f(x)的值域为g(x)值域的子集. ∵g(x)=mx+7-3m， ∴①当m>0时，g(x)∈[7-2m，m+7]， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 则 ⇒m≥，②当m<0时，g(x)∈[m+7，7-2m]， 则 ⇒m≤-， ③当m=0时，g(x)=7，不符合题意. 综上，m≥或m≤-. 故m的取值范围为∪. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $