第1章 第4节 第1课时 基本不等式(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据高考评价体系梳理了公式推导、最值应用两大核心考点，通过近五年高考真题分析明确“最值求解”占比60%的高频考向，归纳直接法、配凑法等四大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题训练+思维建模+易错突破”，如以2022年新课标Ⅱ卷真题为例，提炼“一正二定三相等”解题要点，培养数学思维与模型意识。特设“方法锦囊”和“易错警示”，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此高效规划复习，提升备考针对性。

第四节 基本不等式 明确目标 1.掌握基本不等式≤(a，b>0)，了解其推导过程. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 第1课时　基本不等式 目录 课时作业评价 4 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识| 1.基本不等式(也称为均值不等式):≤ (1)基本不等式成立的条件:______________. (2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号. 2.算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为______，几何平均数为_____.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a>0，b>0 a=b 3.两个重要的不等式 (1)a2+b2≥_______ (a，b∈R)，当且仅当a=b时取等号. (2)+≥2(ab>0)，当且仅当a=b时取等号. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值P，那么当且仅当______时，x+y有最小值______.(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值S，那么当且仅当______时，xy有最大值_____.(简记:和定积最大) 2ab x=y 2 x=y Ⅱ.|发|掘|教|材|辅|文|价|值| 1.(苏教必修①P61T1拓展结论) (1)a2+b2≥2a+2b-2. (2)≤. (3)若a，b∈(0，+∞)，则≤. 以上不等式当且仅当a=b时等号成立. 2.三元不等式(源于人B必修①P79“探索与研究”) a3+b3+c3≥3abc(a，b，c均为正实数)⇒当且仅当a=b=c时等号成立.利用三元基本不等式求最值需满足的条件和方法与基本不等式求最值完全一致. Ⅲ.|练|悟|教|材|固|基|小|题|  1.(人A必修①P58T5改编)若正实数a，b满足a+4b=ab，则ab的最小值为(　　) A.16 B.8 C.4 D.2 √ √ 2.(苏教必修①P61T1)若m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是 (　　) A.4 B.4 C.9 D.18 3.(人A必修①P48T1(1)改编)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值，则a等于(　　) A.1+ B.1+ C.3 D.4 √ 解析:当x>2时，x-2>0，f(x)=(x-2)++2≥2+2=4，当且仅当x-2=，即x=3时取等号. 4.(人A必修①P48T1(2)改编)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是____________.  解析:因为0≤x≤1，所以3-2x>0， 所以y=·2x·(3-2x)≤=， 当且仅当2x=3-2x，即x=时取等号. 5.激活方法(用“三元基本不等式”解题) 若x>0，则4x+的最小值是(　　) A.9 B.3 C.13 D.不存在 解析:4x+=2x+2x+≥3=3，当且仅当2x=， 即x=时，等号成立，故选B. √ 02 方法一　直接法求最值 √ [例1](1)若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 解析:法一　由xy=1，得x2+2y2≥2=2，当且仅当x2=2y2，即x2=，y2=时，等号成立，x2+2y2的最小值为2. 法二　x2+2y2==+≥2=2，当且仅当x2=2y2， 即x2=，y2=时，等号成立，x2+2y2的最小值为2. √ (2)已知0<x<2，则y=2x取最大值时x的值为(　　) A.1 B.-1 C. D.2- 解析:因为0<x<2， 所以y=2x=2≤2=4， 当且仅当x2=4-x2，0<x<2，即x=时，等号成立. 思维建模 利用基本不等式求最值时要注意三点 (1)各项均为正. (2)寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧). (3)考虑等号成立的条件是否具备. 在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误. 即时训练 √ 1.已知a>0，b>0，则++b的最小值为(　　) A.4 B.2 C.4 D.2 解析:因为a>0，b>0，所以++b≥2+b=b+≥2=2，当且仅当=，且b=，即a=2，b=1时，取等号，所以++b的最小值为2.故选D. 重点强调:使用基本不等式求最值时，一定要满足“一正、二定、三相等”. √ 2.设a，b为实数，且a+b=3，则2a+2b的最小值是 (　　) A.6 B.4 C.2 D.8 解析:因为2a>0，2b>0，根据基本不等式的性质有2a+2b≥2=2，又由a+b=3，则2a+2b≥2=4， 当且仅当2a=2b，即a=b=时，等号成立，故2a+2b的最小值为4. (重点强调:当两个正数的和为定值时，求它们积的最大值) 方法二　配凑法求最值 √ [例2](1)若函数f(x)=x+(x>a)在x=3处取最小值，则a=(　　) A.1 B.2 C.4 D.2或4 解析:因为x>a，所以x-a>0，所以f(x)=x+=(x-a)+ +a≥2+a=2+a，当且仅当x-a=，即x=a+1时， 取等号，所以a+1=3，解得a=2. √ (2)已知0<x<2，则 的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析:因为0<x<2，所以x>0，1->0， 所以 = =×≤×=，当且仅当=1-， 即x=1时，等号成立，因此 的最大值为. (解题关键:调整x的系数，使原不等式中出现和为定值的代数式) 思维建模 配凑法的运用技巧 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式，如凑成x+(a>0)，+的形式等，然后利用基本不等式求解最值.拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件. 即时训练 √ 3.已知x<-1，则4x+的最大值为(　　) A.-4 B.0 C.4 D.-8 解析:因为x<-1，则x+1<0，所以-(x+1)>0，4x+=4(x+1)+-4= --4≤-2-4=-4-4=-8， 当且仅当-4(x+1)=，即x=-时，等号成立， 所以4x+的最大值为-8. (易错提醒:若变量的项是负数，则需提取负号，将其转化为正数，再利用基本不等式求最值) 4.已知a>b>0，则a++的最小值为________.  3 解析:法一　利用基本不等式:∵a>b>0，∴a+b>0，a-b>0，∴a++=+++≥2+2=3，当且仅当a+b=2，a-b=，即a=，b=时等号成立. 法二　利用柯西不等式:由a>b>0，得a-b>0，则(a+b+a-b)· ≥=9， 当且仅当=a-b时等号成立， 可得a++≥a+≥2=3. 当且仅当a=，即a=，b=时等号成立. √ 方法三　常值代换法求最值 [例3](1)若正数x，y满足x+y=xy，则x+2y的最小值是(　　) A.6 B.2+3 C.3+2 D.2+2 解析:因为正数x，y满足x+y=xy，所以=+=1❶，所以x+2y=(x+2y)=++3≥2+3=2+3❷，当且仅当=❸，即x=+1，y=时，等号成立，所以x+2y的最小值为3+2. 细节提醒:①处，对条件变形，确定常数. ②处，利用“1”的代换，构造出能利用基本不等式的式子. ③处，务必验证符号相等的条件. √ (2)已知x>0，y>0，且+=1，则2x+y+的最小值为(　　) A.5+4 B.3+4 C.9 D.7 解析:因为x>0，y>0，且+=1， 所以2x+y+=(2x+y)+=5++≥5+2=5+4，当且仅当x=2+，y=1+时等号成立，所以2x+y+的最小值为5+4. 思维建模 1.常值代换法的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 2.常值代换法的基本模型 当式子中含有两个变量，且条件和所求的式子分别为整式和分式时，常构造(ax+by)·(a，b，m，n为常数)的结构，利用(ax+by)·=am+bn++≥am+bn+2 当且仅当=时，等号成立 求解最值. 即时训练 √ 5.(2026·广州模拟)已知a>0，b>0，且ab-2b+1=0，则+9b的最小值是(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 解析:由ab-2b+1=0得a-2+=0，即a+=2，所以+9b==≥×(10+2)=8， 当且仅当即a=，b=时，等号成立，所以+9b的最小值为8. 解题关键:将已知等式变形为a+=2，然后使用常数代换法，结合基本不等式求解. 6.若0<x<，则+的最小值是___________.  解析:因为0<x<，所以1-2x>0，又2x+(1-2x)=1，则+=[2x+(1-2x)]·=3++≥3+2=3+2， 当且仅当=，即x=时，等号成立， 所以+的最小值是3+2. (方法习悟:此处用到了隐含的“1”的代换，解题时就是要朝着新增的式子整体是“1”的方向思考) 3+2 √ 方法四　消元法求最值 [例4]　已知x>0，y>0，且x+y+xy=3，则x+y的最小值为 (　　) A.2 　　 B.3 C.2 　 D.2 解析:法一　∵x+y+xy=3，∴y(x+1)=3-x， ∴y==-1.∵y>0，∴0<x<3，∴x+y=x+1+-2≥2-2=2，当且仅当x+1=，即x=y=1时取等号.故x+y的最小值为2. (方法习悟：看到此类问题首先想到消元，消元时，注意新元的范围) 法二　∵x+y+xy=3，∴x(y+1)+(y+1)=4，即(x+1)(y+1)=4，∴x+y=(x+1)+(y+1)-2≥2-2=2， 当且仅当x+1=y+1，且x+y+xy=3，即x=y=1时取等号. 故x+y的最小值为2. 法三　∵xy≤，∴xy=3-(x+y)≤，整理得(x+y)2+4(x+y)-12≥0，即[(x+y)+6][(x+y)-2]≥0.∵x>0，y>0，∴x+y>0， 解得x+y≥2，即x+y的最小值为2. 习得知能:若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式或构造定值求最值. 思维建模 消元法求最值的技巧 　　消元法，即根据条件与所求代数式中含有的两个变量，从简化问题的角度思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的代数式，进而转化为求代数式的最值.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解.注意所保留变量的取值范围. 即时训练 √ 7.已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是 (　　) A. B. C.2 D.3 解析:因为实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，所以x=， 则2x+y=+y=+≥2=，当且仅当=，即y=时， 等号成立，所以2x+y的最小值是. √ 8.(2026·梅州模拟)已知正实数x，y满足xy+x+2y=4，则x+2y的最小值是 (　　) A.4-4　　 B.4　　 C.2-2　 　D.2 解析:由xy+x+2y=4，y>0，可得x===-2， 所以x+2y=-2+2y=+2(y+1)-4≥2-4=4-4， 当且仅当=2(y+1)，即y=-1时，等号成立. 课时作业评价 03 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.已知正数a，b满足+b=2，则的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:因为2=+b≥2，所以 ≤1，所以≤1.当且仅当a=b=1时，取得最大值1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.若a>1，b>1，且a≠b，则a2+b2，2ab，a+b，2中的最大值是(　　) A.a2+b2 B.2ab C.a+b D.2 解析:因为a>1，b>1，所以a2+b2>a+b，根据基本不等式可知a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.因为a≠b，所以a2+b2>2ab，同理，a+b>2.所以四个式子中的最大值为a2+b2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.已知a>0，b>0，则++2的最小值是(　　) A.2 B.2 C.4 D.5 解析:++2≥2+2≥4=4，当且仅当=且 =，即a=b=1时取等号. (易错提醒:连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.(2026·绵阳模拟)若a>0，b>0，且a+4b=5，则+的最小值是(　　) A.16 B.25 C.4 D.5 解析:因为a>0，b>0，且a+4b=5，所以+=(a+4b) = 1+++16 ≥=5，当且仅当 即a=b=1时等号成立，所以+的最小值是5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.若x<0，则的最大值是(　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析:因为x<0，所以1-x>0，==(x-1) ++2= -+2≤-2+2=-2，当且仅当1-x=，即x=-1时，等号成立. (细节提醒:一正，二定，三相等缺一不可) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.(2026·武汉模拟)已知实数a，b满足=6，则ab的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析:因为=6，所以2a+3b=1，因为ab=×2a×3b≤=，当且仅当2a=3b=，即a=，b=时，等号成立，故ab的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 7.(2026·天津和平一模)设a>0，b>0，则“a+b≤1”是“+≥8”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:a>0，b>0，若a+b≤1，则+≥+=2++++≥2+2+2=8，当且仅当a=b=时等号同时成立，充分性满足；若+≥8，a+b≤1不一定成立，例如a=1，b=时，+≥8，但a+b>1，必要性不满足. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 二、多选题 8.已知a>0，b>0，则下列不等式错误的是(　　) A.a2+b2>2ab B.+≥ C.a+b> D.+≤ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:对于A，当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误；对于B和D，取a=，b=，此时+=2+4=6<=8=+=2+4=6>=4=，故B和D错误；对于C，a>0，b>0，由基本不等式可得a+b≥2>，故C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 9.下列结论正确的是 (　　) A.若x<0，则x+≤-2 B.若x∈R，则≥2 C.若x∈R且x≠0，则≥2 D.若a>1，则(1+a)≥6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:对于A，若x<0，则x+=-≤-2=-2， 当且仅当-x=-(x<0)，即x=-1时，等号成立，A正确；对于B，==+≥2=2，当且仅当=，即x=0时，等号成立，B正确；对于C，若x∈R且x≠0，则===|x|+≥2=2，当且仅当|x|=， 即x=±1时，等号成立，C正确；对于D，若a>1，取a=， 则(1+a)·=×=<6，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 谨记结论:常见的基本不等式模型 (1)若x≠0，则≥2，当且仅当x=±1时，等号成立. (2)若ab≠0，则≥2，当且仅当a=±b时，等号成立. (3)若ab>0，x≠0，则≥2，当且仅当x=± 时，等号成立. (4)若a>0，b>0，则≤≤≤ ，当且仅当a=b时， 等号成立. (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 10.(2022·新课标Ⅱ卷)若x，y满足x2+y2-xy=1，则 (　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 √ (细节提醒:注意到问题的目标表达式中不含交叉项xy，所以应利用代数恒等变换或不等式简单放缩去掉xy) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:法一对于A、B，由x2+y2-xy=1，得(x+y)2-1=3xy≤3，当且仅当x=y时取等号，解得-2≤x+y≤2，所以A不正确，B正确；由x2+y2-xy=1，得x2+y2-1=xy≤，当且仅当x=y=±1时取等号，所以x2+y2≤2， 所以C正确；注意x2+y2=1+xy，如果x，y异号就会有x2+y2≥1不成立，令x=-y，易发现存在x=-y=±，使x2+y2=<1，D不正确. 法二　此题作为选择题，还可用特殊值排除法，如取x=1，y=1，排除A，取x=，y=-，排除D，由于是多选题，故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 11.(2026·眉山模拟)已知a，b∈R +，4a+b=1，则的最小值是 _______.  解析:因为a，b∈R +，4a+b=1，故=+=(4a+b)=5++≥5+2=9，当且仅当=，结合4a+b=1，即a=，b=时，等号成立，所以的最小值是9. 9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 12.已知0<x<，则x的最大值为____________.  解析:因为0<x<，所以1-2x2>0， 所以x=·≤·=， 当且仅当2x2=1-2x2，即x=时等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.已知x>0，y>0，且x2+3xy-2=0，则2x+y的最小值是___________.  解析:因为x>0，y>0，x2+3xy-2=0，所以y=-，则2x+y=2x+-=+≥2=，当且仅当=，即x=时，取等号. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 14.已知x>0，y>0，且xy-x+2y=10，则x+2y的最小值是(　　) A.4 B.5 C.8 D.9 快审准解:由已知可得x=，1<y<5，可得x+2y=+2(y-1)，结合基本不等式可求解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:由xy-x+2y=10，可得x(y-1)=10-2y，y=1时该等式不成立， 所以x=，又因为x>0，所以>0，所以(10-2y)(y-1)>0， 即(y-5)(y-1)<0，所以1<y<5， 所以x+2y=+2y=+2y=+2(y-1)≥2=8，当且仅当=2(y-1)，即y=3时取等号，所以x+2y的最小值为8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 15.(2026·青岛模拟)[多选]若实数a>0，b>0，且ab=a+b+8，则下列结论正确的是 (　　) A.a+b≤8 B.ab≥16 C.a+3b≥4+6 D.+≥ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:对于A，由a+b+8=ab≤，当且仅当a=b时等号成立，不妨设a+b=t，则t2-4t-32≥0，解得t≥8或t≤-4.因为a>0，b>0，则a+b≥8，故A错误；对于B，由ab-8=a+b≥2，当且仅当a=b时等号成立，不妨设=s，则s2-2s-8≥0，解得s≥4或s≤-2.因为s>0，则s≥4，即ab≥16，故B正确；对于C，由ab=a+b+8可得a(b-1)=b+8，则b-1>0，且a=，则a+3b=+3b=1++3b=4++3(b-1)≥4+2 =4+6，当且仅当=3(b-1)，即b=+1，a=3+1时取等号，a+3b有最小值4+6，故C正确；对于D，由ab=a+b+8可得ab-a-b+1=9，即(a-1)(b-1)=9，且a-1>0，b-1>0，则+≥2=，当且仅当=时等号成立，由 解得即当且仅当a=，b=7时，+有最小值，故D正确. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $