第1章 第4节 第2课时 基本不等式的综合应用(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式的综合应用”核心考点，依据高考评价体系梳理了实际应用、参数范围求解、跨知识交汇三大考查方向，通过济南模拟、白银三模等真题案例分析，明确应用题占35%、参数题占40%的高频考点分布，归纳出“函数建模”“分离参数”等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题情境+思维建模+技巧提炼”的三阶训练模式，如例1田字形菜园问题引导学生用数学眼光抽象数量关系，例2分离参数法培养逻辑推理的数学思维，即时训练通过“一正二定三相等”口诀强化数学语言表达。特设易错警示和解题模板，帮助学生掌握最值求法，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第2课时　基本不等式的综合应用 题点一　基本不等式的实际应用 [例1]　某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为36 m2且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为1 m，横向部分路宽为2 m. (1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短?此时该菜园的总面积为多少? 解:设矩形用地平行于横向过道的一边长度为x m，则所需篱笆的长度为4×2×， 因为x+≥2=12，当且仅当x=6时， 等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为6 m时，所用篱笆最短，此时该菜园的总面积为(2×6+1)×(2×6+2)=182 m2. (2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少? 解:设菜园的总面积为y m2， 则y=(2x+1)=146+4x+≥146+2=146+24，当且仅当4x=，即x=3 时，等号成立，此时另一边为=6.故当矩形用地的长和宽分别为6 m，3 m时，菜园的总面积最小. 解题关键:设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 思维建模 实际应用问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围. (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解. 1.设计用96 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是 (　　) A.8 m3 B.32 m3 C.4 m3 D.64 m3 即时训练 √ 解析:设长方体车厢(无盖)的长为a，高为b，a>0，b>0，则由题得2a+2ab+2×2b=96，即96-2ab=2a+4b，所以96-2ab=2a+4b≥2=4·，即ab+2·-48≤0，当且仅当a=2b时等号成立，由a>0，b>0，ab+2·-48≤0，解得0<≤4，即0<ab≤32.因为车厢的容积为2ab m3且2ab≤64， 当且仅当a=8，b=4时等号成立，所以车厢的最大容积是64 m3. 习得知能:在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 2.据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y(单位:百件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+2，其中20<x<50.已知该商品的成本为10元/件，求该超市每月销售该商品所获得利润的最小值. 解:设该超市每月销售该商品所获得利润为L， ∵每件商品利润为(x-10)元，每月的销售量为100y件，∴L=100y (x-10)=100(x-20+10)，20<x<50，令t=x-20，则0<t<30，∴L=100(t+10)=200≥200= 200×40=8 000，当且仅当=t，即t=10时取等号，∴该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为8 000元. 题点二　利用基本不等式求参数的值或范围 √ [例2]　(2026·济南模拟)设x>0，y>0，不等式+≤a恒成立，则a的最小值是(　　) A. B.1 C.2 D. 解析:法一　分离参数法: 因为+≤a恒成立，所以a≥恒成立，❶ 即a2≥恒成立，❷ ≤=2，当且仅当x=y时，等号成立， 所以a2≥2，即a≥. 总结规律:①处，对于恒成立问题，常采用分离参数； ②处，对于含根号的式子，一般进行平方处理. 法二　利用平方平均数与算术平均数求解: 易知a>0，将不等式的两边平方得， x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2-1)(x+y). 因为x>0，y>0，所以x+y≥2(当且仅当x=y时等号成立)， 所以a2-1≥1，即a≥，所以a的最小值为. 思维建模 (1)利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围. (2)对于变量与参数可分离的不等式恒成立问题，常采用分离参数法求解.首先将含有参数的不等式，利用不等式的性质将参数分离出来；其次求出含变量一边的代数式的最值；最后推出参数的范围. 即时训练 √ 3.若关于x的不等式x2-ax+2<0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是 (　　) A.(2，+∞) B.(-∞，2) C.(3，+∞) D. 解析:由不等式x2-ax+2<0在区间[1，5]上有解，得不等式a>x+在x∈[1，5]上有解，而x+≥2=2，当且仅当x=时取等号， 又∈[1，5]，所以x+的最小值为2， 所以a的取值范围是(2，+∞). 易错提醒:一般地，若a>y(y为含某一变量的代数式)恒成立，则a>ymax，若a>y能成立，则a>ymin，两者不要混淆. √ 4.已知x，y∈(0，+∞)，且x+y=1，若不等式x2+y2+xy>m2+m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C.(-2，1) D.∪(1，+∞) 解析:因为x，y∈(0，+∞)，且x+y=1，所以x2+y2+xy=(x+y)2-xy =1-xy≥1-=，当且仅当x=y=时，等号成立.又不等式x2+y2+xy>m2+m恒成立，所以>m2+m，即2m2+m-3<0，解得-<m<1. √ 题点三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 [例3]　在公差不为0的等差数列{an}中，若a3是ax与ay的等差中项，则+的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析:因为在公差不为0的等差数列{an}中，a3是ax与ay的等差中项， 所以2a3=ax+ay，所以x+y=6， 所以+=(x+y)=≥=， 当且仅当=，即x=2，y=4时等号成立，所以+的最小值为.故选A. (解题关键:若a，b，c是等差数列，则2b=a+c) 思维建模 (1)基本不等式与其他知识交汇类型的问题，一般是由其他数学知识给出可利用基本不等式的条件，然后利用该条件及基本不等式求代数式的最大值或最小值. (2)解决此类问题除了要有意识地根据其他数学知识提取应用基本不等式的条件外，还要注意所给的条件是否满足“一正、二定、三相等”. 即时训练 √ 5.已知向量a=(2，1)，b=(x，y)，x>0，若a与b共线，则+x的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:因为a=(2，1)，b=(x，y)，x>0且a与b共线，所以2y=x， 所以+x=+x≥2=2，当且仅当x=1，y=时取等号. 解题关键:若a=(x1，y1)与b=(x2，y2)平行，则x1y2-x2y1=0. √ 6.(2025·白银三模)过点(-1，0)作直线l与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切，斜率的最大值为M，若a+b=M，a>0，b>0，则+的最小值是(　　) A.12 B.9 C. D. 解析:设直线l的方程为y=k(x+1)，圆心(2，1)到直线l的距离为=1，解得k=0或k=，所以M=，所以a+b=， 所以+=(a+b)=≥ 5+2 =12， 当且仅当b=2a=时，等号成立，且+取得最小值，为12. 细节提醒:点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=. 课时作业评价 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 一、单选题 1.(2025·长沙三模)已知点(m，n)是函数y=x-1在第一象限内的图象上的一点，则+的最小值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:由题意可知，m>0，n>0且有n=m-1=，所以+=+4m≥2 =4，当且仅当即m=时，等号成立，故+的最小值为4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 2.已知正实数x，y满足x+y-xy=0，且不等式x+y-a>0恒成立，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，2) B.(-∞，8) C.(-∞，6) D.(-∞，4) 解析:法一　因为正实数x，y满足x+y-xy=0，所以+=，则x+y=2(x+y)=2≥8，当且仅当x=y=4时取等号. 因为不等式x+y-a>0恒成立，所以a<(x+y)min，所以a<8.故选B. 法二　快捷技法：由x+y-xy=0，得x+y=xy≤(x+y)2，所以x+y≥8，当且仅当x=y=4时取等号，因为x+y-a>0恒成立，所以a<8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 3.(2025·菏泽二模)已知a>1，b>1，且ab=4，则log2alog2b的最大值为 (　　) A. B.1 C.4 D.16 解析:因为a>1，b>1，所以log2a>0，log2b>0，log2alog2b≤==1，当且仅当log2a=log2b=1， 即a=b=2时取等号，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 4.中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABC的周长为12，c=4，则此三角形面积最大时，A等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:由题可知a+b=8，c=4，p=6，则S==≤×=4，当且仅当a=b=4时取等号，所以此时三角形为等边三角形， 故A=60°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 5.已知a>0，b>0，+=1，若不等式2a+b≥m恒成立，则m的最大值为(　　) A.2+ B.3+ C.3+2 D.5 解析:由不等式2a+b≥m恒成立可知，只需m小于等于2a+b的最小值.由a>0，b>0，+=1，可得2a+b=(2a+b)=3++≥3+2= 3+2，当且仅当=，即a=1+，b=+1时取等号， 所以m≤3+2，所以m的最大值为3+2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 6.(2026·南宁一模)现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下:先将100 g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量 (　　) A.等于200 g B.大于200 g C.小于200 g D.以上都有可能 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:设天平左臂长为m，右臂长为n，m，n>0且m≠n，左盘放的药品为x1克，右盘放的药品为x2克，则解得x1=，x2=，x=x1+x2=+≥2=200， 当且仅当m=n时，取到等号，而m≠n，所以x>200. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 7.已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则+(0<x<a)的最小值为(　　) A.9 B. C.4 D.6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:因为随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)， 所以=1，解得a=2.所以+=+= + [x+(2-x)]= ≥ 5+2 =，当且仅当x=时， 等号成立，所以+(0<x<a)的最小值为.故选B. (细节提醒:正态曲线关于直线x=1对称) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ 8.若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+<m2-m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|-1<m<2} B.{m|m<-1，或m>2} C.{m|-2<m<1} D.{m|m<-2，或m>1} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:由两个正实数x，y满足4x+y=2xy，得+=2， 则x+==≥=2， 当且仅当=，即y=4x=4时取等号. 又由不等式x+<m2-m有解，可得m2-m>2，解得m<-1或m>2， 所以实数m的取值范围为{m|m<-1，或m>2}.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ √ 二、多选题 9.已知a，b均为正数且a2-b2=a+b，则下列不等式正确的有(　　) A.ln(a-b)>0 B.a2+b2>1 C.2a+2b>4 D.2ln a-ln b≥ln 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:由a2-b2=(a+b)(a-b)=a+b，a，b均为正数，得a-b=1，ln(a-b)=0，故A错误；由上知b>0，a>1，所以b2>0，a2>1，所以a2+b2>1，故B正确；2a>2，2b>1，所以2a+2b>3，故C错误； 2ln a-ln b=ln=ln=ln≥ln=ln 4， 当且仅当a=2，b=1时，等号成立，故D正确.故选BD. 快捷技法:先根据原式化简得a-b=1，则A、B、C选项可直接判断.因为是多选，故D可以直接判断正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 三、填空题 10.若实数a，b满足2a-1=4b，则a-b的最小值为__________.  解析:因为2a-1=4b，则2a=4b+1，由2a-b===2b+≥2，当且仅当a=1，b=0时等号成立，即当a=1，b=0时，2a-b取得最小值2，又因为y=2x是增函数，故此时a-b取得最小值，为1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 11.(2026·郑州一模)已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为__________.  12-8 解析:设AE=x，AF=y(0≤x≤2，0≤y≤2)，则EF=， 因为△AEF的周长为4，所以x+y+=4.因为x+y+=4≥2+，当且仅当x=y时取等号， 故≤=4-2，则xy≤24-16，则△AEF的面积满足 xy≤12-8.故△AEF面积的最大值为12-8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解题关键:设AE=x，AF=y(0≤x≤2，0≤y≤2)，根据已知有x+y+=4，再应用基本不等式求xy的最大值，即可求△AEF面积的最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 四、解答题 12.(10分)已知正数x，y满足x+2y=1. (1)当x，y取何值时，xy有最大值?(4分) 解:因为正数x，y满足x+2y=1，由基本不等式得x+2y=1≥2，解得xy≤，当且仅当x=2y，即x=，y=时，等号成立， 故xy的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)若+≥3a恒成立，求实数a的取值范围.(6分) 解:要想+≥3a恒成立，只需≥3a，又正数x，y满足x+2y=1， 所以+=(x+2y)=1+4++≥5+2=9，当且仅当=，即x=y=时，等号成立，故9≥3a，解得a≤2， 所以实数a的取值范围是(-∞，2]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 13.(13分)某医院为改善医疗技术，2026年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用x(x∈N *)年后所需要的各种维护费用总计为(2x2+8x)万元，2026年为第一年. (1)写出该套医疗设备的利润函数f(x)的表达式，并求f(x)的最大值；(5分) 解:f(x)=40x-(2x2+8x+72)=-2x2+32x-72，x∈N*， 因为f(x)=-2(x-8)2+56，所以当x=8时，f(x)取得最大值56. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 (2)第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大?(8分) 解:年平均利润为y==-2x+32-=-2+32≤ -2×2+32=8，当且仅当x=，即x=6时取等号， 故第6年后年平均利润最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 √ |能力进阶|备选题| 14.设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当取得最小值时，x+2y-z的最大值为(　　) A.0 B. C.2 D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 解析:∵x2-3xy+4y2-z=0，∴z=x2-3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴==+-3≥2-3=1，当且仅当=，即x=2y时等号成立，此时x+2y-z=2y+2y-(x2-3xy+4y2)=4y-2y2=-2(y-1)2+2， ∴当且仅当y=1，x=2，z=2时，x+2y-z取得最大值，最大值为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 2 3 4 13 15.已知函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)，其中a>b，则的最小值为_________.   解析:函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)，令ax2+2x+b=0，则有即ab=1，且a>0，所以==(a-b)+，又a>b，所以a-b>0，则(a-b)+≥2=2，当且仅当a-b=，即a=，b=时等号成立，所以的最小值为2. 2 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $