第1章 第3节 不等式及其性质(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“不等式及其性质”专题，依据高考评价体系梳理了比较实数大小、不等式性质应用两大核心考点，通过教材主干知识落实与辅文价值发掘，明确作差法、不等式性质综合应用等高频考点权重，归纳比较大小、范围求解等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题改编训练+思维建模指导”，如以2025年济南二模多选题为例，运用作差法推导不等关系，培养数学思维中的推理能力。通过“整体思想”“换元法”突破范围求解题型，结合“糖水不等式”模型强化数学语言表达，特设易错陷阱分析，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第三节 不等式及其性质 明确目标 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据，会比较两个数的大小. 2.理解不等式的概念与性质，并掌握不等式性质的简单应用. 目录 课时作业评价 3 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识|  1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔_______；a<b⇔______ 可逆 传递性 a>b，b>c⇒_______； a<b，b<c⇒_________ 同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒_________； a>b，c<0⇒__________ c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒______________ 同向 同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒__________ 同向， 同正 可乘方性 a>b>0，n∈N,n≥2⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 b<a b>a a>c a<c ac>bc ac<bc a+c>b+d ac>bd Ⅱ.|发|掘|教|材|辅|文|价|值| 1.倒数性质(源于人A必修①P43T8结论) (1)若ab>0，且a>b⇔<； (2)若ab<0，且a>b⇔>； (3)若a>b>0，0<c<d⇒>. 2.有关分数的性质(源于人A必修①P43T10归纳结论) 若b>a>0，m>0，则 (1)<(糖水不等式)； (2)<<(a-m>0)(真分数越加越大，越减越小)； (3)<<(a-m>0)(假分数越加越小，越减越大). Ⅲ.|练|悟|教|材|固|基|小|题| 1.(人A必修①P43T8改编)[多选]下列命题是真命题的是(　　) A.若ac2>bc2，则a>b B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则> √ √ √ √ 2.(人B必修①P66“尝试与发现”改编)已知a=+，b=2+2，则a，b的大小关系是(　　) A.a>b B.a=b C.a<b D.无法确定 解析:因为(+)2-(2+2)2=16+2-(16+2) = 2(-)>0，所以(+)2>(2+2)2， 所以+>2+2，即a>b. 3.(苏教必修①P76T8改编)已知a-1>0，则下列结论正确的是 (　　) A.-1<-a<a<1 B.-a<-1<1<a C.-a<-1<a<1 D.-1<-a<1<a √ 解析:因为a-1>0，所以a>1，由不等式的基本性质可得-a<-1，故-a<-1<1<a，B正确，A、C、D错误. 4.(人A必修①P43T5改编)已知2<a<3，-2<b<-1，则a+2b的取值范围为 (　　) A.(-2，1) B.(0，2) C.(-4，-2) D.(0，1) 解析:因为-2<b<-1，所以-4<2b<-2，又2<a<3，所以-2<a+2b<1. √ 5.激活方法(用“倒数的性质”解题) 若a>b>0，c<d<0，则下列结论正确的是(　　) A.> B.< C.> D.< 解析:因为c<d<0，所以-c>-d>0，所以>>0.又a>b>0， 所以>，所以<. √ 02 题点一　比较数(式)的大小(自主练通) √ 1.若a<0，b<0，则p=+与q=a+b的大小关系为(　　) A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q 解析:法一　特殊值排除法:令a=b=-1，则p=q=-2，排除A、C；令a=-1，b=-2，则p<q，排除D.故选B. (当两个式子比较大小时，可直接赋值求解) 法二　作差法:p-q=+-a-b=+ =(b2-a2)==.因为a<0，b<0，所以a+b<0，ab>0.若a=b，则p-q=0，故p=q；若a≠b，则p-q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B. √ 2.实数a，b，c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0，则下列关系成立的是 (　　) A.b>a≥c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c≥a 解析:　由a+b2+1=0可得a=-b2-1，则a≤-1， 由a2=2a+c-b-1可得(a-1)2=c-b>0，所以c-b>0，即c>b. 又b-a=b2+b+1=+>0，所以b>a，综上c>b>a. 3.若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则 (　　) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa 解析:∵c是正实数，且c<1，∴0<c<1，由c<cb<ca<1， 得0<a<b<1，∵=aa-b>1， ∴ab<aa，∵=，0<<1，a>0，∴<1，即aa<ba， 综上可知，ab<aa<ba. (细节提醒:作商比较的两个数必须是同号的) √ 思维建模 1.作差法的步骤和关注点 (1)步骤:作差并变形⇒判断差与0的大小⇒得结论. (2)关注点:利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形. 2.作商法的步骤和关注点 (1)步骤:作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论. (2)关注点:作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反.变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等. 题点二　不等式的基本性质 √ [例1]　(2025·济南二模)[多选]已知实数a，b满足a>|b+1|，则下列不等关系一定成立的是 (　　) A.2a>2b+1 B.a2>4b C.a2>b2+1 D.a2>b|b+1| √ √ 解析:因为a>|b+1|≥b+1，所以a>b+1，所以2a>2b+1，故A正确； 因为(b+1)2-4b=(b-1)2≥0，所以(b+1)2≥4b，由a>|b+1|≥0，所以a2>(b+1)2≥4b，故B正确；若a=2，b=-2，满足a>|b+1|，显然a2>b2+1不成立，故C错误；当b+1≤1时，则b≤0，必有a2>0≥b|b+1|；当b+1>1时，则b>0，故a>b+1>b>0，必有a2>b|b+1|，故D正确. 思维建模 判断命题真假的2种方法 直接法 直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 特殊值法 注意取值要遵守三个原则:①满足题设条件；②取值要简单，便于验证计算；③所取的值要有代表性 即时训练 √ 1.(2025·绵阳三模)设a，b∈R，则“ab<1”是“0<a<”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当a=0，b=-1时，满足ab<1，但不满足0<a<；当0<a<时，b>0， 则ab<1.所以“ab<1”是“0<a<”的必要不充分条件. √ 2.[多选]已知a，b，c∈R ，且a<b<0，则 (　　) A.a2+c<b2+c B.a+c2<b+c2 C.a2c>b2c D.ac2-b<bc2-a √ 解析:对于A，由a<b<0，得a2>b2，所以a2+c>b2+c，故A错误；对于B，由a<b，得a+c2<b+c2，故B正确；对于C，由a<b<0，得a2>b2，当c<0时，a2c<b2c，故C错误；对于D，由a<b，c2+1>0，可得a(c2+1)<b(c2+1)，得ac2-b<bc2-a，故D正确. √ 题点三　不等式性质的综合应用 [例2] (1)[多选]已知6<a<60，15<b<18，则下列正确的有(　　) A.<<4 B.21<a+2b<78 C.-12<a-b<45 D.<<5 √ 解析:由15<b<18，可得<<，又6<a<60，所以<<4❶，故A正确； 由15<b<18，可得30<2b<36，又6<a<60，所以36<a+2b<96，故B错误； 由15<b<18，可得-18<-b<-15，又6<a<60，所以-12<a-b<45❷，故C正确； 因为=+1，又<<4，所以<<5，故D错误. 解题关键:①处，先转化，再利用同向同正可乘性求解. ②处，先转化-b，再与a相加，同向不等式可以相加，但不可以相减. (2)已知实数x，y满足-1≤x+y≤3，4≤2x-y≤9，则4x+y的取值范围是_______________.  解析:法一　利用整体思想求解: 4x+y=2(x+y)+(2x-y)，则-2≤2(x+y)≤6，4≤2x-y≤9， 所以2≤4x+y≤15. (解题关键:建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系) 法二　换元法:令x+y=a，2x-y=b，则x=，y=，4x+y=2a+b， 因为-1≤a≤3，4≤b≤9，故2≤2a+b≤15，故4x+y∈[2，15]. [ 2，15] 习得知能:解决此类问题的策略是先将已知的x+y，2x-y看成整体，再利用待定系数法或换元法建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求出范围. 思维建模 求代数式取值范围的注意点 (1)同向不等式具有可加性与正值可乘性，但是不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性. (2)不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中应明确所乘数的正负. (3)多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解. 即时训练 3.已知<α<β<，则2α-2β的取值范围是____________.  解析:因为<α<<β<，所以<2α<π，-π<-2β<-， 则-<2α-2β<，又α<β，所以2α-2β<0，从而-<2α-2β<0. 4.设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤≤4，求的最大值. 解:令=(xy2)m(x2y-1)n，得 即∴=·， ∵3≤≤4，∴27≤≤64.∵2≤xy2≤3，∴≤≤， 根据不等式的性质得9≤·≤32，即的最大值为32， 当且仅当即时取等号.所以的最大值为32. 解题关键:解答此题需先寻找xy2，的等量关系，若直接判断不出来，可利用待定系数法求解，再利用不等式性质求解. 课时作业评价 03 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 一、单选题 1.已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B.2a>2b C.a2>b2 D.|a|>|b| 解析:取a=1，b=-2，满足a>b，显然有>，a2<b2，|a|<|b|成立， 即A、C、D都不正确；指数函数y=2x为增函数，若a>b， 则必有2a>2b，B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 2.若1<a<3，-4<b<2，则a-|b|的取值范围是 (　　) A.(-3，3] B.(-3，5) C.(-3，3) D.(1，4) 解析:由题设0≤|b|<4，则-4<-|b|≤0.又1<a<3，所以-3<a-|b|<3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 3.若a>b>c，且a+b+c=0，则b2-4ac是 (　　) A.负数 B.零 C.正数 D.正负不确定 解析:因为a+b+c=0，且a>b>c， 所以a>0，c<0，b不确定，所以b2≥0，ac<0. 所以b2-4ac>0.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 4.(2025·杭州二模)已知A∈R，ε为任意正数，若|A-6|≤ε恒成立，则 (　　) A.A=6 B.A=±6 C.A>6 D.A<6 解析:因为对任意的正数ε，|A-6|≤ε恒成立，所以|A-6|≤0， 又|A-6|≥0，所以|A-6|=0，所以A=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 5.已知-3<a<-2，3<b<4，则的取值范围为(　　) A.(1，3) B. C. D. 解析:因为-3<a<-2，所以4<a2<9，而3<b<4，所以<<， 故的取值范围为(1，3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 6.(2025·菏泽二模)设a，b∈R ，则下列结论正确的是 (　　) A.若a>b，则< B.若a<b<0，则(a-1)2<(b-1)2 C.若a+b=2，则2a+2b≥4 D.若2a+>2b+，则a>b 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:对于A，取a=1，b=-1，满足a>b，而=1=，A错误； 对于B，由a<b<0，得1-a>1-b>0，则(a-1)2=(1-a)2>(1-b)2=(b-1)2，B错误； 对于C，2a>0，2b>0，2a+2b≥2=2=4， 当且仅当a=b=1时取等号，C正确；对于D， 取a=-1，b=满足2a+=>-1=2b+，而a>b不成立，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 7.已知实数x，y满足2x+y=1，若|2y-1|-2|x|<3，则实数x的取值范围是 (　　) A.(-1，2) B.(-1，0) C. D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:根据题意可知y=1-2x，不等式|2y-1|-2|x|<3可化为|1-4x|-2|x|<3.对绝对值里面的式子进行分类讨论可得，当x <0时，原不等式可化为1-4x -2×(-x)<3，即1-2x<3，解得-1<x<0；当0≤x≤时，原不等式可化为1-4x-2x<3，解得0≤x≤；当x>时，原不等式可化为4x-1-2x<3，即2x-1<3，解得<x<2.综上可知，-1<x<2，即实数x的取值范围是(-1，2). 习得知能:解含有绝对值符号的不等式，关键是去绝对值符号，注意数形结合的应用. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 二、多选题 8.若x，y∈R ，则“x3<y3”的一个充分不必要条件是(　　) A.x<y B.lg(y-x)>0 C.>>0 D.|x|<y √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:x3<y3⇔x<y，故“x<y”是“x3<y3”的充要条件，故A错误；由lg(y-x)>0得y>x+1>x能推出x<y，反之不成立，所以“lg(y-x)>0”是“x3<y3”的充分不必要条件，故B正确；由>>0可得0<x<y，故x3<y3，反之不成立，故“>>0”是“x3<y3”的充分不必要条件，故C正确；易知“|x|<y”是“x3<y3”的充分不必要条件，故D正确.故选BCD. 习得知能:充分、必要条件与不等式相结合的题目经常出现，解答此类题目的关键是熟练掌握不等式的性质. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ √ 9.(2025·聊城二模)已知实数a，b满足ab>0，则 (　　) A.a+b<ab B.+≥2 C.若a>b，则< D.若a<b，m>0，则<(b+m≠0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:对于A，当a=b=2时，a+b=ab=4，故A错误；对于B，因为ab>0，则>0，>0，则+≥2=2，当且仅当a2=b2时等号成立，故B正确；对于C，因为a>b且ab>0，则-=<0，即<，故C正确；对于D，若a=-2，b=-1，m=2，则=2>=0，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 三、填空题 10.已知b<a<-3b，则的取值范围为____________.  解析:∵b<a<-3b，∴b<0，则<0，将不等式b<a<-3b同时乘以，可得-3<<1，∴0≤<3. [0，3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 11.(2025·上海三模)对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1， 则|x-2y+3|的最大值为__________.  解析:由题意可得，-1≤x-1≤1，-1≤y-2≤1， 则0≤x≤2，1≤y≤3，则-6≤-2y≤-2，得-3≤x-2y+3≤3， 故|x-2y+3|∈[0，3]， 则|x-2y+3|的最大值为3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 12.已知a>b>c，2a+b+c=0，则的取值范围是____________.  解析:因为a>b>c，2a+b+c=0，故a>0，c<0，所以<0，1>>，2++=0，所以=--2，所以有1>-2->，解不等式得-3<<-1， 故的取值范围是(-3，-1). (-3，-1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 |能力进阶|备选题| 13.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b+c≤3a，则的取值范围为(　　) A.(1，+∞) 　B.(1，3) C.(0，2) D.(0，3) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:由已知及三角形三边关系得❶所以❷ 则两式相加得0<<4，所以0<<2. 习得知能: ①处解题关键:三角形中两边之和大于第三边. ②处易错提醒:在使用不等式的性质时，一定要搞清它成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 14.[多选]若实数a，b满足1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，则下列结论正确的是 (　　) A.0≤a≤4 B.-1≤b≤3 C.-2≤3a-2b≤10 D.-6≤3a-2b≤14 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:由题意，1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，两式相加得0≤2a≤8，即0≤a≤4，故A正确；由-1≤a-b≤3，得-3≤b-a≤1，又1≤a+b≤5，所以两式相加得-2≤2b≤6，即-1≤b≤3，故B正确；设3a-2b= m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b，则解得 则3a-2b=(a+b)+(a-b)，因为1≤a+b≤5，所以≤(a+b)≤， 因为-1≤a-b≤3，所以-≤(a-b)≤，所以-2≤(a+b)+(a-b)≤10，即-2≤3a-2b≤10，故C正确，D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 易错提醒:对于C，常见的错误解法如下:由A知0≤a≤4，所以0≤3a≤12，由B知-1≤b≤3，所以-6≤-2b≤2，从而-6≤3a-2b≤14.该方法扩大了不等式范围，原因是忽略了a和b的关系，事实上a和b有相互制约的关系，两者不可能在各自的范围内随意取值，比如取a=4，b=-1，满足0≤a≤4，-1≤b≤3，但不满足条件-1≤a-b≤3. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $