第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数奇偶性与周期性专题，依据课标要求梳理概念、几何意义及应用，对接高考评价体系，分析奇偶性判断、周期性应用等高频考点权重，归纳利用定义法、性质法判断奇偶性，周期转化求值等常考题型，融入高考真题改编题，备考针对性强。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养培养”，如以2023新高考Ⅱ奇偶性求参数题为例，用特殊值法快速突破，培养数学思维。总结周期性8类结论，指导学生用区间变换法求解析式，提升解题技巧，助力学生高效冲刺，为教师提供系统复习框架，实现精准教学。

第3节　函数的奇偶性、周期性 课标解读　1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版必修第一册3.1.3节练习题B第3题改编)已知函数f(x)的定义域关于原点对称,那么下列函数中是奇函数的是(　　) A.y=f(x)+f(-x) B.y=f2(x) C.y=-f(x) D.y=f(-x)-f(x) D 解析 容易判断选项A中的函数是偶函数,选项B和C中的函数不一定具有奇偶性,选项D中的函数一定是奇函数.故选D. 2.(人教B版必修第一册复习题B第10题改编)设函数f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,那么必有(　　) A.f(a2-2a+4)>f(-2) B.f(a2-2a+4)≥f(-2) C.f(a2-2a+4)<f(-2) D.f(a2-2a+4)≤f(-2) C 解析 由已知得f(x)在(0,+∞)上单调递减,因为a2-2a+4=(a-1)2+3≥3>2,所以f(a2-2a+4)<f(2),即f(a2-2a+4)<f(-2).故选C. 3.(人教B版必修第一册习题3-1B第8题改编)已知函数f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函数,则实数a=　　　　　.  2 解析 由于f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,而f(x)是偶函数, 所以a-2=0,解得a=2. 4.(人教A版必修第一册习题3.2第11题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(x)的解析式为　 　　　　.  f(x)= 解析 设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-x(1-x),又因为f(x)是奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=x(1-x),故函数解析式为f(x)= 知识梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且 　　　　  关于y轴对称 奇函数 　　 　　  关于原点对称 此为奇、偶函数定义域关于原点对称的原因 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 微点拨 1.若f(x)≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下: (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1⇔f(x)是偶函数; (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1⇔f(x)是奇函数. 2.函数图象关于y轴对称,必为偶函数;关于原点对称,必为奇函数.互为充要条件. 微思考 存在既是奇函数又是偶函数的函数吗?唯一吗? 提示 存在既是奇函数又是偶函数的函数,但不唯一.如果函数y=f(x)既是偶函数又是奇函数,那么必有f(x)=0,则既是奇函数又是偶函数的函数值为零,但其解析式的形式是不唯一的,例如函数f(x)=, g(x)=等都既是奇函数又是偶函数. 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=　　　　　　,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数　　　　　就叫做这个函数的周期.  　 　 并非所有周期函数都有最小正周期 (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　　的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.  微点拨 1.若T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期. 2.并非所有周期函数都有最小正周期. f(x) 　T　 最小 间上具有相反的单调性. (3)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数. (4)如果f(x)=g(x)+m(m为常数)且g(x)为奇函数,那么f(x)+f(-x)=2m. (5)如果奇函数f(x)存在最大值与最小值,那么它的最大值与最小值之和等于零. 2.关于函数周期性的常用结论(a,b为非零常数) (1)若f(x+a)=-f(x),则周期T=2|a|. (2)若f(x+a)=,则周期T=2|a|. (3)若f(x+a)=-,则周期T=2|a|. (4)若f(x+a)=f(x+b),则周期T=|a-b|. (5)若函数f(x)图象的对称轴有直线x=a和x=b,那么周期T=2|a-b|. (6)若函数f(x)图象的对称中心有(a,0)和(b,0),那么周期T=2|a-b|. (7)若函数f(x)图象的对称轴有直线x=a,对称中心有(b,0),那么周期T=4|a-b|. (8)若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0. 研考点•精准突破 考点一　函数奇偶性的判断 例1　(1)判断下列函数的奇偶性: ①f(x)=;②f(x)=|2x+1|+|2x-1|;③f(x)=;④f(x)=; ⑤f(x)= 考点一 考点二 考点三 解 ①函数f(x)=的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所以函数是非奇非偶函数. ②函数的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=|-2x+1|+|-2x-1| =|2x-1|+|2x+1|=f(x),所以函数是偶函数. ③函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)==-f(x),所以函数是奇函数. ④f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又因为f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数. 考点一 考点二 考点三 ⑤(方法1　图象法)如图,作出函数f(x)的图象,由于f(x)的图象关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数. (方法2　定义法)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,而-x<0,所以f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=x2+2x-1, 而-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x),所以当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,都有f(-x)=-f(x),即函数为奇函数. 考点一 考点二 考点三 (2)已知函数f(x)=x4-cos x,g(x)=ex-e-x,试判断下列函数的奇偶性: ①f(x)-g(x);②f(x)g(x);③f(g(x));④g(g(x)). 解 由于f(x)=x4-cos x,定义域为R,且f(-x)=(-x)4-cos(-x)=x4-cos x=f(x),所以f(x)为偶函数,同理可判断g(x)=ex-e-x是定义域为R的奇函数. ①由于f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)≠f(x)-g(x)≠-[f(x)-g(x)], 所以f(x)-g(x)是非奇非偶函数; ②由于f(-x)g(-x)=f(x)·[-g(x)]=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数; ③由于f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x)),所以f(g(x))是偶函数; ④由于g(g(-x))=g(-g(x))=-g(g(x)),所以g(g(x))是奇函数. 考点一 考点二 考点三 (3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y),试判断y=f(x)的奇偶性并证明. 解 y=f(x)是奇函数,证明如下: 因为f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y),令x=y=0,得到f(0)=0.令y=-x,得到f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以y=f(x)是奇函数. 考点一 考点二 考点三 规律方法　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则该函数既不是奇函数也不是偶函数;若定义域对称,则进一步判断是否满足f(-x)=f(x)(偶函数)或f(-x) =-f(x)(奇函数). (2)图象法:奇(或偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称. (3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域) 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2025·安徽蚌埠模拟)若函数f(x)=x-,则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x+1)-2 B.f(x-1)-2 C.f(x-1)+2 D.f(x+1)+2 C 解析 因为f(x)=x-=x+1--1=x+1+-2,所以f(x-1)+2=x+,由于g(x)=x+定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且g(-x)=-x-=-g(x),故g(x)=x+为奇函数,故f(x-1)+2为奇函数,其他选项均不合要求.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·贵州贵阳高三期中)已知函数f(x)=则下列选项正确的是(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 D.f(x)的奇偶性无法判断 A 解析 由题意得f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0,此时f(-x)=-(-x)3=x3=f(x);当x<0时,-x>0,此时f(-x)=(-x)3=-x3=f(x);当x=0时,f(0)=03=0,f(-0)=03=0,此时f(-0)=f(0).综上所述,当x∈R时,均有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数. 考点一 考点二 考点三 考点二　函数奇偶性的应用 考向1　利用奇偶性求值 例2　(1)(2023·新高考Ⅱ,4)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=(　　) A.-1 B.0 C. D.1 B 考点一 考点二 考点三 解析 (方法1)因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即(-1+a)ln 3=(1+a)ln,解得a=0. (方法2)由>0,得x>或x<-.因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x), 则(-x+a)ln=(x+a)ln,即(-x+a)ln()-1=(x+a)ln, 则(x-a)ln=(x+a)ln,所以x-a=x+a, 解得a=0. (方法3)令g(x)=ln,则g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a)·ln为偶函数,则h(x)=x+a为奇函数,故a=0. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教B版必修第一册习题3-1B第8题)已知函数f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函数,求实数a的值. 解 f(x)=x2-2x+1+ax+2=x2+(a-2)x+3,∵f(x)是偶函数,∴-=0,∴a=2. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·江苏盐城模拟)已知f(x)=ex-e-x-1,若f(a)=2,则f(-a)=(　　) A.-4 B.0 C.-2 D.2 A 解析 令g(x)=ex-e-x,则g(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-g(x),所以g(x)=ex-e-x为奇函数. 又f(x)=ex-e-x-1=g(x)-1,f(a)=g(a)-1=2,所以g(a)=3,则g(-a)=-g(a)=-3, 所以f(-a)=g(-a)-1=-3-1=-4.故选A. 考点一 考点二 考点三 (3)(原创)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+3x, 则f(2)+f(-1)= 　　　　　.  13 解析 当x>0时,f(2)=23+32=8+9=17;由奇函数性质得f(-1)=-f(1),因为f(1)=13+31=1+3=4,故f(-1)=-4.故f(2)+f(-1)=17+(-4)=13. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用奇偶性求值的方法技巧 (1)转化求值:将待求函数值转化为已知区间上的函数值求解; (2)利用奇、偶函数的定义求值:已知函数奇偶性求解析式中参数值时,可利用奇偶函数的定义,建立方程求得参数值; (3)特殊值法求值:已知函数奇偶性求解析式中参数值时,可采用取特殊值的方法,构造关于参数的等式求值; (4)构造奇函数求值:已知f(x)解析式和f(a)的值,求f(-a)的值时,如果可将f(x)分拆为一个奇函数g(x)与一个常数m的和的形式,即f(x)=g(x)+m,其中g(x)为奇函数,则可根据f(a)+f(-a)=2m求得f(-a)的值. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](1)(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=+ax3-bx-5,且f(-2)=2,那么f(2)等于(　　) A.-12 B.2 C.-18 D.10 A 解析 令g(x)=+ax3-bx,g(-x)=-g(x),则g(x)是奇函数,f(-2)=g(-2)-5=2, 故g(-2)=7,g(2)=-7, 故f(2)=g(2)-5=-12. 考点一 考点二 考点三 (2)(2023·全国乙,文5)已知f(x)=是偶函数,则a=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 D 解析 (方法1)由题意,知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即,整理得eax=,所以a=2. (方法2)由题意,知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).因为函数f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即,所以a=2.故选D. 考点一 考点二 考点三 考向2　利用奇偶性求解析式 例3　(1)(2025·上海崇明模拟)已知函数y=f(x),x∈R为奇函数,当x≥0时,f(x)=2x3+2x-1,当x<0时,f(x) 的表达式为(　　) A.2x3+2x-1 B.2x3-2-x+1 C.-2x3+2-x-1 D.-2x3-2x+1 B 解析 设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-2x3+2-x-1. 又f(x)为奇函数, 所以f(x)=-f(-x)=2x3-2-x+1,即当x<0时,f(x)=2x3-2-x+1.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·河南郑州期末)已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且满足f(x)+g(x)=ex+x,则f(x)=(　　) A. B. C. D. D 解析 由题意知,f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以 即 解得f(x)=.故选D. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用奇偶性求解析式的方法技巧 (1)区间变换法:已知函数的奇偶性和给定区间M上的解析式,求对称区间N上的解析式时,先设x∈N,则有-x∈M,可求得f(-x)表达式,再根据函数奇偶性得f(-x)与f(x)的关系,从而得到f(x)表达式. (2)构造方程组法:若已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足的一个方程,可在方程中令-x替换x,然后将f(-x),g(-x)根据奇偶性转化为-f(x),g(x),这又得到一个f(x)与g(x)满足的方程,通过解方程组即可得到f(x),g(x)的解析式. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·云南昆明模拟)已知f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,f(x)+g(x)=x3+ax2+a,则f(3)=　　　　　.  27 解析 因为f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,而f(x)+g(x)=x3+ax2+a①, 所以f(-x)+g(-x)=-x3+ax2+a,即f(x)-g(x)=x3-ax2-a②, 由①+②得f(x)=x3,所以f(3)=27. 考点一 考点二 考点三 考向3　奇偶性与单调性的综合应用 例4　(2025·黑龙江哈尔滨期中)已知函数f(x)=x-sin x,则不等式 f(1-x2) +f(3x+3)>0的解集是　　　　　.  (-1,4) 解析 因为f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x),且f(x)的定义域为全体实数,所以f(x)是奇函数,而f'(x)=1-cos x≥0,所以f(x)单调递增,从而f(1-x2)+f(3x+3)>0 ⇔f(1-x2)>-f(3x+3)=f(-3x-3)⇔1-x2>-3x-3⇔-1<x<4,所以不等式f(1-x2)+f(3x+3)>0的解集是(-1,4). 考点一 考点二 考点三 规律总结　1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. 2.利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2026·四川南充模拟)已知定义在区间(a-3,2a)上的偶函数f(x),对于∀x1,x2∈[0,2a)有>0,则关于x的不等式f(x-a)-f(x)>0的解集 为(　　) A.(-1,) B.(-∞,) C.(-1,2) D.(,2) A 考点一 考点二 考点三 解析 ∵f(x)是定义在区间(a-3,2a)上的偶函数,∴根据偶函数的定义域关于原点对称,可得a-3+2a=0,解得a=1,∴f(x)的定义域为(-2,2).又对于∀x1, x2∈[0,2a)有>0,∴f(x)在区间[0,2)上单调递增.∵f(x)为偶函数,∴f(x)在区间(-2,0)上单调递减.由a=1,不等式f(x-a)-f(x)>0可化为f(x-1) >f(x),根据偶函数的性质,不等式可化为f(|x-1|)>f(|x|),由以上推出的条件可得解得-1<x<.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点三　函数的周期性及其应用 例5　(1)(2025·江苏淮安模拟)已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(2)=,则f(2 024)=(　　) A.- B. C.-4 D.4 D 解析 因为f(x+2)=,所以f(x+4)==f(x),则4为f(x)的一个周期. 又因为f(2)=,所以f(0)=4,所以f(2 024)=f(4×506)=f(0)=4. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·山东威海模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=-f(x+2),若f(2)=2,则f(i)=(　　) A.0 B.2 C.8 D.10 B 解析 因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).因为f(x)=-f(x+2). 所以f(1)=-f(3),f(2)=-f(4), 则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. 令x=-1得,f(-1)=-f(1), 即f(1)=-f(1),所以f(1)=0,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以4为函数f(x)的一个周期.所以f(i)=f(1)+f(2)+4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=2. 考点一 考点二 考点三 规律方法　函数周期性的判定与应用 (1)判定:由f(x+T)=f(x)可得函数为周期函数且周期为T,同时要熟记关于函数周期的几个常用结论,能够根据f(x+T)与f(x)的关系快速得到函数周期. (2)应用:周期性的应用主要有两个方面.①求值:借助周期将自变量的值转化为已知的函数值或转化到解析式已知的区间上,代入求值;②求解析式:求函数在某一区间上的解析式时,可先设自变量在该区间上,然后利用函数的周期将自变量的值转化到解析式已知的区间上,同时结合函数的奇偶性得到所求解析式. 考点一 考点二 考点三 [对点训练5](1)(2025·全国1,5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f(-)=(　　) A.- B.- C. D. A 解析 由题知,f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(x),所以f(-)=f()=f()=5-2×=-. 故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·福建莆田模拟)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈(4,6]时f(x)=2x+1,则f(x)在区间[-2,0)上的表达式为　　　　　　　　.  f(x)=-2-x+4-1 解析 当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2],-x+4∈(4,6],∵当x∈(4,6]时,f(x)=2x+1, ∴当x∈[-2,0)时,f(-x+4)=2-x+4+1.∵f(x+4)=f(x),∴4为函数f(x)的一个周期,∴f(-x+4)=f(-x).又函数f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=2-x+4+1,∴当x∈[-2,0)时,f(x)=-2-x+4-1. 考点一 考点二 考点三 $