第1章 第5节 第1课时 一元二次不等式的解法(课件PPT)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

该高中数学高考复习课件聚焦“二次函数与一元二次方程、不等式”核心模块，依据高考评价体系明确“一元二次不等式解法”“三个‘二次’关系”“分式不等式转化”等考查要求，通过教材主干知识梳理（如判别式与解集关系表）、高考真题改编（2025全国Ⅱ卷分式不等式题），归纳出不含参数、含参数不等式及实际应用三大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模+素养提升”策略，如以含参数不等式为例，通过“二次项系数讨论—根的大小比较—解集合并”三步法培养数学思维，结合2026杭州模拟题中韦达定理应用实例强化数学语言表达。特设易错提醒（二次项系数符号转化）和课时分层作业，助力学生掌握解题规律，教师可据此实现考点精准突破，提升复习效率。

第五节 二次函数与一元二次方程、不等式 明确目标 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.了解一元二次函数的图象、一元二次不等式与相应方程的联系. 第1课时　一元二次不等式的解法 目录 课时作业评价 4 01 Ⅰ.|落|实|教|材|主|干|知|识|  1.三个“二次”间的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象       一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等 实根x1=x2=_____ 没有 实数根 - 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 _______________ _______________ ____ ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ___________ ____ ___ {x|x<x1，或x>x2} R {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a)·(x-b)>0 {x|x<a，或x>b} ________ ________________ (x-a)·(x-b)<0 {x|a<x<b} _____ _________ {x|x≠a} {x|x<b，或x>a} ⌀ {x|b<x<a} Ⅱ.|发|掘|教|材|辅|文|价|值| 分式不等式与整式不等式(源于人B必修①P75例3归纳拓展) (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. Ⅲ.|练|悟|教|材|固|基|小|题| 1.(人A必修①P55T1改编)不等式-x2+3x+10>0的解集为(　　) A.{x|-2<x<5} B.{x|x<-2，或x>5} C.{x|-5<x<2} D.{x|x<-5，或x>2} √ √ 2.(人B必修①P75T5改编)设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　) A.{x|x<-n，或x>m} 　 B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m，或x>n} D.{x|-m<x<n} 解析:不等式变形为(x-m)(x+n)<0，方程(x-m)(x+n)=0的两根为m，-n，显然由m+n>0得m>-n，所以不等式的解集为{x|-n<x<m}. 3.(人A必修①P50“思考”:一元二次方程的根与不等式解集端点值的关系)二次函数y=ax2+bx+2，使函数值大于0的x的取值范围是，则a+b=________.  解析:依题意知解得故a+b=-14. -14 4.(湘教必修①P57例9改编)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是_____.  解析:要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x-14-≥0.又1≤x≤10， 所以5x2-14x-3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小值是3. 3 5.考教衔接训练(重视教材的基础本位，消除高考畏惧感) 5-1 (人B必修①P75例3)求不等式≥1的解集. 提示:{x|x≤-3，或x>2}. 5-2 (2025·全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} 解析:法一　设不等式≥2的解集为D，则1∉D，-1.5∈D，排除A、B、D，故选C. 法二　≥2⇔-2≥0⇔≥0⇔-(x+2)(x-1)≥0且x-1≠0⇔-2≤x<1. 变与不变:高考题与教材题都是考查分式不等式的解法，解题时注意等价转化为一元二次不等式求解，不要忽略分母不能等于0. √ 02 题点一　不含参数的一元二次不等式的解法(自主练通) √ 1.[多选]下列选项正确的是 (　　) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2，或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 √ √ 解析:因为方程x2+x-2=0的解为x1=1，x2=-2，所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2，或x>1}，故A正确；因为-1≤0，即≤0， 即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x<2，所以不等式的解集为 {x|-3≤x<2}，故B正确；由|x-2|≥1，可得x-2≤-1或x-2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误；由|x-1|<1，可得-1<x-1<1，解得0<x<2，由<0，可得-4<x<5，因此，“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确. 2.不等式0<-2x2-7x-3<5的解集为__________________.  解析:因为0<-2x2-7x-3<5，即解不等式-2x2-7x-3>0，即(2x+1)(x+3)<0，解得-3<x<-；解不等式-2x2-7x-3<5，即2x2+7x+8>0，又因为2x2+7x+8=2+>0恒成立，所以不等式2x2+7x+8>0的解集为R.综上，不等式的解集为. 易错提醒:当二次项系数为负数时，要利用不等式的性质，转化为系数为正的情况. 习得知能:两类不等式的变形 ①形如a≤f(x)≤b的不等式等价于 ②形如≥0的不等式等价于 思维建模 解一元二次不等式的一般步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(a>0)； (2)确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ<0，则对应的一元二次方程无根； (3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边能因式分解，则可直接写出不等式的解集. 题点二　含参数的一元二次不等式的解法 [例1]　已知m<0，解关于x的不等式mx2+(1-m)x+m-2<m-1. 解:由不等式mx2+(1-m)x+m-2<m-1，得(mx+1)(x-1)<0， 方程(mx+1)(x-1)=0的两个根为x1=-，x2=1， ①当m=-1时，不等式的解集为(-∞，1)∪(1，+∞)； ②当m<-1时，不等式的解集为∪(1，+∞)； ③当-1<m<0时，不等式的解集为(-∞，1)∪. 综上所述，当m≤-1时，不等式mx2+(1-m)x+m-2<m-1的解集为∪(1，+∞)；当-1<m<0时，不等式的解集为 (-∞，1)∪. 解题细节:在总结时，解集相同的情况要注意合并. 思维建模 含参数不等式的分类讨论的关键点 　　含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论. (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式. (3)对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 即时训练 1.解关于x的不等式: (1)x2+ax+1<0； 解:原不等式对应函数y=x2+ax+1的图象开口向上，且Δ=a2-4. 当Δ=a2-4≤0，即-2≤a≤2时，x2+ax+1≥0恒成立，原不等式的解集为⌀； 当Δ=a2-4>0，即a<-2或a>2时，由x2+ax+1=0，可得x=， 所以原不等式的解集为. 综上，当-2≤a≤2时，不等式的解集为⌀； 当a<-2或a>2时，不等式的解集为. (2)ax2-(3a+1)x+3<0(其中a>0). 解:因为a>0，所以原不等式可化为(x-3)<0，下面分类讨论: ①当3=，即a=时，不等式化为(x-3)2<0，此时不等式无解； ②当3<，即0<a<时，解得3<x<；③当<3，即a>时，解得<x<3. 综上，当a=时，不等式的解集为⌀； 当0<a<时，不等式的解集为； 当a>时，不等式的解集为. 习得知能:若一元二次方程的根无法确定时，往往通过讨论根的判别式符号去求不等式的解集. √ 题点三　“三个二次”之间的关系 [例2] (1)某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时，因弄错了常数c的符号，解得其解集为(-∞，-3)∪(-2，+∞)，则不等式bx2+cx+a>0的解集为(　　) A. 　　　 B.(-∞，-1)∪ C. 　　　 D.∪(1，+∞) 解析:由题意可知a<0，且-3+(-2)=-，-3×(-2)=-， 所以b=5a，c=-6a，所以bx2+cx+a>0可化为5x2-6x+1<0， 即(5x-1)·(x-1)<0，解得<x<1.故选C. 谨记结论:对于不等式ax2+bx+c>0，若其解集为(-∞，m)∪(n，+∞)，则a>0，且方程ax2+bx+c=0的两根为m，n，m<n；若其解集为(m，n)，则a<0，且方程ax2+bx+c=0的两根为m，n，m<n. (2)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}， 且x2-x1=15，则a的值为___________.  解析:由题知x1，x2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的实数根， 所以Δ=4a2+32a2=36a2>0，且x1+x2=2a，x1x2=-8a2.又因为x2-x1=15，所以152=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2，又a>0，解得a=. 思维建模 一元二次不等式的解集与相应方程根的关系 (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点坐标，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 即时训练 √ 2.[多选]若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1，2)，则下列选项正确的是 (　　) A.a+b+c>0 B.b<0且c>0 C.a<0 D.不等式ax2-cx+b<0的解集是R √ 解析:若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1，2)，则方程ax2-bx+c=0的两根为-1，2，且a<0，故C正确；所以⇒ 则b<0，c>0，故B正确；所以a+b+c=a+a+(-2a)=0，故A错误； 不等式ax2-cx+b<0为ax2+2ax+a=a(x+1)2<0，又a<0， 所以不等式为(x+1)2>0，该不等式的解集为{x|x≠-1}，故D错误. √ 3.[多选]已知关于x的不等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则下列结论正确的是 (　　) A.x1+x2=2 B.x1x2<-8 C.-2<x1<x2 <4 D.x2-x1>6 √ √ 解析:由关于x的不等式(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，得x1，x2是一元二次方程x2-2x-8+a=0的两根， 所以x1+x2=2，x1x2=a-8<-8，故A、B正确； 所以x2-x1==2>6，故D正确； 由x2-x1>6，可得-2<x1<x2<4是错误的，故C错误. 课时作业评价 03 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 一、单选题 1.不等式-x2+3x+10>0的解集为 (　　) A.(-2，5) B.(-∞，-2)∪(5，+∞) C.(-5，2) D.(-∞，-5)∪(2，+∞) 解析:由-x2+3x+10>0，得x2-3x-10<0，解得-2<x<5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 2.不等式≤1的解集为(　　) A.{x|-2≤x<1} 　 B.{x|-2<x≤1} C.{x|x≤-2，或x>1} 　 D.{x|x<-2，或x≥1} 解析:已知≤1，即≤0，即 解得x≥1或x<-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 3.(2026·丰台模拟)已知关于x的一元二次不等式2x2-x+a<0的解集为{x|-1<x<m}(m>-1)，则a+m= (　　) A.- B. C.- D. 解析:由题意可得m，-1为方程2x2-x+a=0的根，由根与系数的关系可得解得故a+m=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 4.已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(-4，+∞)，则关于x的不等式bx2-ax<0的解集为 (　　) A. B.∪(0，+∞) C. D.(-∞，0)∪ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:由ax+b>0的解集为(-4，+∞)，可得a>0，且方程ax+b=0的解为-4，所以-=-4，则b=4a，所以bx2-ax<0，即4ax2-ax<0.又a>0，所以4x2-x<0，解得0<x<，即关于x的不等式bx2-ax<0的解集为.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 5.(2026·杭州模拟)若关于x的不等式x2+px+q<0的解集为(5，6)，则不等式>0的解集为(　　) A.(-1，12)∪(30，+∞) B.(-∞，-12)∪(0，30) C.(-∞，-30)∪(-1，12) D.(-30，-1)∪(12，+∞) 快审准解:根据给定不等式的解集，结合根与系数的关系求出p，q，再代入并将不等式转化为不等式组求解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:由不等式x2+px+q<0的解集为(5，6)， 得5，6是方程x2+px+q=0的两根，则p=-11，q=30， 不等式>0化为>0⇔>0， 即或 解得-30<x<-1或x>12，所以所求不等式的解集为(-30，-1)∪(12，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 6.若关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，则a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:法一　显然a≠0，令f(x)=ax2+(a+2)x+9a，当a>0时，f(1)<0， 当a<0时，f(1)>0，故af(1)<0，即a(11a+2)<0，解得-<a<0. 法二　因为方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2， 所以因为x1<1<x2，所以(x1-1)(x2-1)<0， 即x1x2-(x1+x2)+1<0，则9++1<0，解得-<a<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 二、多选题 7.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞，1)∪(5，+∞)，则(　　) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集是 C.a+b+c>0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集为 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:由题意可得1和5是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，由根与系数的关系可得1+5=-，1×5=，得b=-6a，c=5a.对于A，因为a<0，故A错误；对于B，不等式bx+c>0，即-6ax+5a>0，即6x-5>0，得x>，所以不等式bx+c>0的解集是，故B正确；对于C，a+b+c=a-6a+5a=0，故C错误；对于D，由不等式cx2-bx+a<0，得a(5x2+6x+1)<0，即5x2+6x+1>0，则(5x+1)(x+1)>0，解得x>-或x<-1，即解集为，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 √ 8.若存在m，n(m<n-1)，使得0≤x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤m+1或x=n}，则下列结论正确的是 (　　) A.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1，或x≥n} B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n} C.c=-n D.a2+2a>4b-4c √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:因为m<n-1，所以m+1<n，由题意得x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤n}，x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1，或x≥n}，A正确，B错误；x2+(a+1)x+b-c=0的两个根为m，n，x2+ax+b=0的两个根为m+1，n， 故m+n=-a-1，mn=b-c，m+1+n=-a，(m+1)n=b， 由于mn=b-c，(m+1)n=b，故b-c+n=b，所以n=c，C错误；因为n-m>1， 所以n-m==>1， 两边平方得a2+2a>4b-4c，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 三、填空题 9.若关于x的不等式|x2+mx+n|>0的解集为{x|x≠1，且x≠2}，则m=_______，n=________.  解析:由已知可得1，2为方程x2+mx+n=0的根，由根与系数的关系可得解得 -3　 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 10.关于x的不等式:ax2+(2-4a)x-8>0，当a>0时，不等式的解集为______________________.  解析:由ax2+(2-4a)x-8>0得(ax+2)(x-4)>0，由a>0，得(x-4)>0， 解得x>4，或x<-，所以不等式的解集为∪(4，+∞). ∪(4，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 四、解答题 11.(10分)解下列不等式: (1)(5-x)(x+4)≥18；(5分) 解:因为(5-x)(x+4)≥18，所以-x2+x+2≥0，即x2-x-2≤0， 此时有(x-2)(x+1)≤0，解得-1≤x≤2， 所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤2}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 (2)>-3.(5分) 解:∵>-3，∴+3>0⇔>0⇔>0. 此不等式等价于(5x+22)(x+7)>0，解得x<-7或x>-. ∴原不等式的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 12.(10分)已知关于x的一元二次不等式ax2+x+b>0的解集为(-∞，-2)∪(1，+∞). (1)求a和b的值；(3分) 解:由题意知-2和1是方程ax2+x+b=0的两个根且a>0， 由根与系数的关系得解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 (2)求不等式ax2-(2a+b+2)x+1-c2<0的解集.(7分) 解:由a=1，b=-2，得不等式可化为x2-2x+1-c2<0， 即[x-(1+c)][x-(1-c)]<0，则该不等式对应方程的实数根为1+c和1-c. 当c>0时，1+c>1-c，解得1-c<x<1+c，即不等式的解集为(1-c，1+c)； 当c=0时，1+c=1-c，不等式的解集为空集； 当c<0时，1+c<1-c，解得1+c<x<1-c，即不等式的解集为(1+c，1-c). 综上，当c>0时，不等式的解集为(1-c，1+c)， 当c=0时，不等式的解集为空集， 当c<0时，不等式的解集为(1+c，1-c). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 |能力进阶|备选题| 13.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] D.[-1，+∞) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 解析:f(x)=x|x-a|-2a2=若a>2，当2<x<a时，f(x)=-x2+ax-2a2，此时关于x的方程-x2+ax-2a2=0的Δ=a2-4×2a2= -7a2<0，所以f(x)<0，不符合题意；若0<a≤2，当x>2时，f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>2a，则2a≤2，即0<a≤1；若a=0，当x>2时，f(x)=x2>0恒成立，符合题意；若a<0，当x>2时，f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>-a，则-a≤2，即-2≤a<0.综上，-2≤a≤1， 故a的取值范围是[-2，1]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 14 2 3 4 13 14.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是_________.  快审准解:把不等式化为(x-1)(x-a)<0，讨论当a>1，a<1和a=1时，求出不等式的解集，即可得出a的取值范围. 解析:关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0可化为(x-1)(x-a)<0，当a>1时，解不等式得1<x<a，当a<1时，解不等式得a<x<1.因为不等式的解集中至多包含1个整数，所以1<a≤3或-1≤a<1，当a=1时，不等式的解集为⌀，也满足题意.所以a的取值范围是[-1，3]. [-1，3] 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $