周周练15 章末检测——统 计-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

周周练15　章末检测——统　计 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．在以下调查中，适合用普查的是(　　) A．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B．调查一批玉米种子的发芽率 C．了解某城市居民的食品消费结构 D．调查一个县各村的粮食播种面积 解析：选D.普查是对全体调查对象进行研究的一种调查方式．对于A，调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例，调查数目较多，不适合用普查；对于B，调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多且具有破坏性，不适合用普查；对于C，调查了解某城市居民的食品消费结构，范围较广，人数较多，不适合用普查；对于D，调查一个县各村的粮食播种面积适合用普查．故选D. 2．已知数据x1，x2，…，xn是某市n(n≥3，n∈N＋)个普通职工的年收入(单位：元)，若去掉一个最高年收入和一个最低年收入，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是(　　) A．平均数　　　　　　　 B．中位数 C．方差 D．极差 解析：选B.由中位数的定义知，去掉最高与最低后，新数据与原数据相比，中位数一定不变．故选B. 3．甲、乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用1和2分别表示甲、乙的平均数，s，s分别表示甲、乙的方差，则(　　) A．1＝2，s＜s B．1＝2，s＞s C．1＜2，s＝s D．1＞2，s＝s 解析：选B.平均数是每个矩形的底边中点的横坐标乘以本组频率(对应矩形面积)再相加，因为两组数据采取相同分组且面积相同，故1＝2，由题图观察可知，甲的数据更分散，所以甲的方差大，即s＞s.故选B. 4．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　) 7 816 6 572 0 812 6 354 3 703 4 308 9 728 0 398 3 214 9 204 0 235 8 200 3 623 4 869 6 938 7 481 A.02 B．03 C．04 D．14 解析：选C.由题意知，所选取的5个编号依次为08，12，03，14，04，所以选出来的第5个个体的编号为04.故选C. 5．关于简单随机抽样，下列说法错误的是(　　) A．它是从总体中逐个随机抽取 B．被抽取样本的总体是有限的 C．它是等可能抽取的 D．样本抽取是不放回抽样 解析：选D.简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，它是从总体中逐个随机抽取，样本抽取分放回抽样和不放回抽样，简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，故A，B，C正确，D错误．故选D. 6．某高中共有学生1 800人，其中高一、高二、高三的学生人数比为16∶15∶14，现用分层随机抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高一年级应该抽取的人数为(　　) A．28 B．30 C．32 D．36 解析：选C.由题意得，高一年级学生人数所占比例为＝，所以从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高一年级应该抽取的人数为90×＝32.故选C. 7．(2026·信阳期末)某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图(图1)和“90后”从事这两个行业岗位分布的雷达图(图2)，则下列说法中一定正确的是(　　) A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B.芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的30% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多 解析：选D.对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为55%×37%＝20.35%， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的40%，但不知道从事技术岗位的人数的比例，故无法比较，故A不一定正确； 对于B，由题图1知芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为55%，超过50%，故B错误； 对于C，芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占从事这两个行业总人数的55%×(37%＋13%)＝27.5%， 没有超过从事这两个行业总人数的30%，故C错误； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为55%×14%＝7.7%， 因为7.7%>5%， 所以芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多，故D正确． 8．下列说法不正确的是(　　) A．改变样本数据中的一个数据，平均数和中位数都会发生改变 B．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 C．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等 D．数据1，2，2，3，4，4的众数为2，4 解析：选A.对于A，改变样本中的一个数据，则其平均数会改变，但中位数不一定改变，如样本数据为x1，x2，…，xn(n∈N＋)，则其平均数为，在其中一个数据上加上一个非零实数a，则平均数变为，即改变样本中的一个数据，则其平均数会改变，又如，数据2，3，5，将2变为1，即为数据1，3，5，变化前后中位数都为3，数据2，3，5，将3变为4，即为数据2，4，5，变化前的中位数为3，变化后的中位数为4，A不正确；对于B，根据频率分布直方图可知，若频率分布直方图单峰不对称在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，B正确；对于C，根据中位数的定义可知，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，C正确；对于D，由众数的定义可知，数据1，2，2，3，4，4的众数为2，4，D正确．故选A. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如图所示的统计图，则下列结论正确的是(　　) A．样本中A层次身高的女生人数少于男生人数 B．样本中B层次身高人数最多 C．样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D．样本中E层次身高的男生有6人 解析：选ABC.对于A选项，样本中女生人数为4＋12＋10＋8＋6＝40，则样本中男生人数为60， 样本中A层次身高的男生人数为60×15%＝9，女生人数为4， 所以样本中A层次身高的女生人数少于男生人数，A正确； 对于B选项，因为男生中B层次身高所占比例最大，女生中B层次身高所占比例最大， 所以样本中B层次身高人数最多，B正确； 对于C选项，样本中D层次身高的女生有8人，D层次身高的男生有60×15%＝9(人)，所以样本中D层次身高的学生人数占总人数的比例为×100%＝17%，C正确； 对于D选项，样本中E层次身高的男生有60×(1－40%－15%－25%－15%)＝3(人)，D错误． 10．在某知识竞赛中，对某校的2 000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是(　　) A．考生竞赛成绩的众数为75分 B．不及格的考生人数为500 C．考生竞赛成绩的平均数为72.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 解析：选AC.对于A，根据题图可知，[70，80)分段的频率最大，所以众数为75分，故A正确；对于B，低于60分的人数为2 000×(0.015＋0.005)×10＝400，故B错误；对于C，平均数为0.05×45＋0.15×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.1×95＝72.5，故C正确；对于D，低于70分的频率为0.4，低于80分的频率为0.7，所以中位数为70＋10×≈73.33，故D错误．故选AC. 11．已知数据x1，x2，x3，…，xn的极差、平均数、众数、80%分位数分别是a1，b1，c1，d1，数据y1，y2，y3，…，yn的极差、平均数、众数、80%分位数分别是a2，b2，c2，d2，且满足yi＝3xi－1(i＝1，2，3，…，n)，则(　　) A．a2＝3a1－1 B．b2＝3b1－1 C．c2＝3c1－1 D．d2＝3d1－1 解析：选BCD.对于A，a2＝3a1，故A错误；对于B，由题意可知，两组数据满足yi＝3xi－1(i＝1，2，3，…，n)，由平均数计算公式得×(y1＋y2＋…＋yn)＝×[(3x1－1)＋(3x2－1)＋…＋(3xn－1)]＝3××(x1＋x2＋…＋xn)－1，所以b2＝3b1－1，故B正确；对于C，由众数知识得c2＝3c1－1，故C正确；对于D，数据x1，x2，x3，…，xn的80%分位数为d1，将数据从小到大排列，得第k个数为p，第k＋1个数据为q，当0.8n＝k是整数时，d1＝，当0.8n不是整数时，设其整数部分为k，则d1＝q，数据3x1－1，3x2－1，3x3－1，…，3xn－1的80%分位数为d2，当0.8n＝k是整数时，d2＝＝3d1－1，当0.8n不是整数时，设其整数部分为k，则d2＝3q－1＝3d1－1，所以d2＝3d1－1，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 12．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中选出一位同学参加数学竞赛，那么应选________去． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 85 90 90 85 方差 50 42 50 42 解析：根据题意，可得乙＝丙＞甲＝丁，所以四位同学中，乙、丙的平均成绩较好，又由s＜s，所以乙同学的成绩更加稳定，所以应选乙同学参加此次数学竞赛． 答案：乙 13．已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，则数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，…，2xn－1的平均数为a，方差为b，则a＋b＝________．　 解析：数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，所以数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，…，2xn－1的平均数为2×10－1＝19，即a＝19；数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，所以数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，…，2xn－1的方差为22×2＝8，即b＝8，所以a＋b＝19＋8＝27. 答案：27 14．现生产一款产品，其利润y(单位：万元)和投资x(单位：万元)的关系可以近似用函数y＝a＋b(x＞0)表示．若投资4万元时，利润为5万元；投资9万元时，利润为7万元，则y≥x时投资x的范围是________．随机抽取6年的数据，已知这六年的投资都不亏本，若利润的平均数为3万元，则利润的方差的最大值为________． 解析：由题得解得所以y＝2＋1(x＞0)，则y≥x即2＋1≥x，即2≥x－1， 当0＜x≤1时，显然成立；当x＞1时，两边平方得4x≥x2－2x＋1即x2－6x＋1≤0，解得3－2≤x≤3＋2， 所以1＜x≤3＋2，综上0＜x≤3＋2，所以y≥x时投资x的范围是(0，3＋2]，　 所以要不亏本，x∈(0，3＋2 ]，则y＝2＋1∈(1，2＋1]＝(1，2＋1]＝(1，2＋3]， 所以y－3∈(－2，2]， 则(y－3)2∈(0，8]，又因为＝3， 所以方差为s2＝×[(y1－3)2＋(y2－3)2＋(y3－3)2＋(y4－3)2＋(y5－3)2＋(y6－3)2]≤＝8，所以利润的方差的最大值为8. 答案：(0，3＋2 ]　8 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12 000人，分别来自4个城区，其中A区2 400人，B区4 600人，C区3 800人，D区1 200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程． 解：采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下： 第一步：分层．按城区分为四层：A区、B区、C区、D区． 第二步：确定每个个体被抽到的概率．样本容量n＝60，总体容量N＝12 000，故每个个体被抽到的概率为＝＝. 第三步：按比例确定每层抽取的个体数． 在A区抽取2 400×＝12(人)，在B区抽取4 600×＝23(人)， 在C区抽取3 800×＝19(人)，在D区抽取1 200×＝6(人). 第四步：在各层分别用简单随机抽样法抽取样本，将各区抽取的观众合在一起组成样本． 16．(本小题满分15分)某校高一年级有学生1 000人，其中男生600人，女生400人．为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本． (1)求抽取男生、女生的人数；(7分) (2)观测样本的指标值(单位：cm)，计算得到男生样本的平均数为170，方差为14，女生样本的平均数为160，方差为34，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差．(8分) 解：(1)由题意，抽取男生人数为×50＝30，女生人数为×50＝20. (2)记男生身高为x1，x2，…，x30，其平均数记为，方差记为s；女生身高为y1，y2，…，y20，其平均数记为，方差记为s，把总样本数据的平均数记为，方差记为s2， 所以总样本的平均数为＝＋＝＝166， 总样本的方差为s2＝·{30×[s＋(－)2]＋20×[s＋(－)2]} ＝×{30×[14＋(170－166)2]＋20×[34＋(160－166)2]}＝46， 所以总样本的方差为46，据此估计高一年级全体学生身高的方差为46. 17．(本小题满分15分)小刘从事陕北红枣批发多年，小刘把去年采购陕北红枣的数量x(单位：箱)在[100，200]的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表： 采购数x [100，120) [120，140) [140，160) [160，180) [180，200] 客户数 20 20 10 40 10 已知去年“大客户”们采购的陕北红枣数量占小刘去年总销售量的. (1)根据表中的数据完善频率分布直方图，并估计采购数在150箱以下(含150箱)的“大客户”数；(7分) (2)估算小刘去年总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(8分) 解：(1)作出频率分布直方图如图所示． 根据上图，可知采购量在150箱以下(含150箱)的“大客户”人数估计为100×20×(0.01＋0.01＋0.005×)＝45. (2)去年“大客户”所采购的陕北红枣总数大约为110×20＋130×20＋150×10＋170×40＋190×10＝15 000(箱)， 所以小刘去年总的销售量为15 000÷＝25 000(箱). 18．(本小题满分17分)为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲、乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲、乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图： (1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；(8分) (2)轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择．(9分)　 解：(1)甲厂提供的10个轮胎宽度的平均数为×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195. 乙厂提供的10个轮胎宽度的平均数为 ×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194. (2)甲厂提供的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为＝195，方差为×(0＋1＋1＋1＋1＋0)＝； 乙厂提供的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为＝195. 方差为×(0＋1＋0＋1＋0＋0)＝， 由于甲、乙两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂会被选择． 19．(本小题满分17分)人工智能算力是驱动AI时代创新与进步的核心动力，是重塑经济、社会与国家竞争力的“新质生产力”．某人工智能实验室收集了30台服务器的单机均值算力数据(单位：TFLOPS)，数据范围在100～300之间，模拟数据排序如下． 115，119，120，133，150，160，161，170，180，190，210，220，220，220，220， 225，230，230，239，240，240，241，244，245，247，247，249，250，285，300. (1)计算这组数据的极差和众数；(4分) (2)实验室增加2台服务器，收集算力数据分别是a和b(a<b)，通过计算发现，平均数210和75%分位数都不变． (ⅰ)求b－a的值；(5分) (ⅱ)若该地区有人工智能企业200家，其服务器算力能力分为三类，A类企业有80家，其算力均值为250；B类企业有80家，其算力均值为200；C类企业有40家，其算力均值为150.根据上述信息，从总体均值角度分析，你认为该人工智能实验室的调查分析是否符合分层随机抽样，并说明理由．(8分) 解：(1)观察已知数据，得极差为300－115＝185，众数为220. (2)(ⅰ)增加前，由30×75%＝22.5，得75%分位数为244， 增加后，a＋b＝420，a<210，b>210， 而32×75%＝24，记第24，25个数为x24，x25，则x24＋x25＝2×244＝488， 当210<b≤244时，x25＝244，则x24＝244＝b， 当b≥244时，x24＝244，则x25＝244＝b， 因此b＝244，a＝420－b＝176，所以b－a＝68. (ⅱ)样本数据的平均数为210，若按分层随机抽样调查，则算力的平均数为250×＋200×＋150×＝210， 所以认为符合分层随机抽样． 学科网（北京）股份有限公司 $