第6章 教考衔接 高考命题角度研析(四)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学统计核心知识点，系统梳理样本数字特征（平均数、中位数、标准差、极差）的概念理解、计算方法及性质辨析，衔接统计图表（频数分布表）的解读与应用，构建从基础概念到实际问题解决的学习支架。 该资料以新课标真题为载体，通过例1对比不同样本数字特征差异、例2分析频数分布表数据等实例，培养学生数据分析、逻辑推理等核心素养。课中辅助教师高效授课，课后提供练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

命题角度一　样本数字特征的计算 [例1] (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 细 研 真 题 核心考法 样本数字特征(平均数、中位数、众数、百分位数、方差、标准差、极差)是统计量的核心考点．其考查方法主要围绕概念理解、计算方法、性质辨析三个维度展开 命题难度 常以选择、填空题的形式出现，难度中档 本题考法 本题的考点为平均数、中位数、标准差、极差的概念与性质，以及统计量的变化分析 素养能力 考查学生的逻辑推理能力、数据分析及数学抽象素养 【解析】　对于A，设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n， 则n－m＝－＝， 因为2(x1＋x6)，x2＋x3＋x4＋x5的大小关系不确定，所以无法判断m，n的大小， 例如1，2，3，4，5，6，可得m＝n＝3.5； 例如1，1，1，1，1，7，可得m＝1，n＝2； 例如1，2，2，2，2，2，可得m＝2，n＝，故A错误； 对于B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数为，故B正确； 对于C，例如2，4，6，8，10，12，则平均数为×(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝7， 方差s＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(10－7)2＋(12－7)2]＝，所以标准差s1＝， 4，6，8，10的平均数为×(4＋6＋8＋10)＝7， 方差s＝×[(4－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(10－7)2]＝5，所以标准差s2＝， 显然>，即s1>s2， 所以x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确． 【答案】　BD 命题角度二　统计图表及其应用 [例2] (2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 细 研 真 题 核心考法 统计图表的核心考法：看图→读数→算三数(众数、平均数、中位数)→比稳定性→估概率．一般来说，条形图、折线图、扇形图考查百分比、总量、部分量及补全图表等内容；频率分布直方图主要考查三数(众数、平均数、中位数) 命题难度 常以选择题的形式出现，难度较低 本题考法 该题的考点是频数分布表的解读，中位数、频率、极差、平均数的计算及性质判断 素养能力 考查学生的逻辑推理、数学运算能力及数据分析素养 【解析】　对于A，根据题中频数分布表可知，6＋12＋18＝36<50， 所以亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A错误； 对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34， 所以低于1 100 kg的稻田占比为＝66%，故B错误； 对于C，100块稻田亩产量的极差最大值小于1 200－900＝300 kg，最小值大于1 150－950＝200 kg，故C正确； 对于D，由题中频数分布表可得，平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D错误． 【答案】　C 1．(2025·全国二卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(　　) A．8 B．9 C．12 D．18 解析：选C.样本数据2，8，14，16，20的平均数为＝12. 2．(2022·天津卷)将1916年到2015年的全球年平均气温(单位：℃)，共100个数据，分成6组：[13.55，13.75)，[13.75，13.95)，[13.95，14.15)，[14.15，14.35)，[14.35，14.55)，[14.55，14.75]，并整理得到如图所示频率分布直方图，则全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有(　　) A．22年　 B．23年　　 C．25年　 D．35年 解析：选B.全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的频率为(0.50＋0.65)×0.2＝0.23， 则全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有100×0.23＝23年． 3．(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图， 则(　　) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 解析：选B.讲座前问卷答题的正确率的中位数为>70%，所以A错误； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，所以B正确； 讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错误； 讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%， 讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%>20%，所以D错误． 4．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(　　) A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 解析：选CD.设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，标准差为s1，样本数据y1，y2，…，yn的平均数为，标准差为s2. 对于A，因为yi＝xi＋c，所以＝＋c.又c≠0，则≠，A错误； 对于B，若第一组样本数据的中位数为xi，则第二组样本数据的中位数为yi＝xi＋c，显然不相同，B错误； 对于C，因为yi＝xi＋c，所以s＝s，即s1＝s2，C正确； 对于D，由极差的定义知：若第一组样本数据的极差为xmax－xmin，则第二组样本数据的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，D正确． 5．(2023·上海卷)国内生产总值(GDP)是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标．根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳定增长，第一季度和第四季度的GDP分别为232亿元和241亿元，且四个季度的GDP逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市2020年的GDP总额为________亿元． 解析：设第二季度、第三季度GDP分别为x，y，因为四个季度的GDP逐季度增长，所以中位数即为. 因为中位数与平均数相等，所以232＋x＋y＋241＝4×，即x＋y＝473， 所以该市2020年的GDP总额为232＋241＋473＝946亿元． 答案：946 6．(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 解：(1)＝×(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3， ＝×(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3， ＝－＝552.3－541.3＝11， zi＝xi－yi的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， 故s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知＝11，2＝2＝，故满足≥2， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 学科网（北京）股份有限公司 $