第4章 3.1 对数函数的概念3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦对数函数核心知识点，从指数函数y=2ˣ的反问题切入，通过抽象概括形成对数函数概念，建立与指数函数的反函数关系，进而探究y=log₂x的图象和性质，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以细胞分裂实例导入培养数学眼光，通过问题链引导推理发展数学思维，结合例题与跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师引导知识建构，课后通过练习与总结帮助学生查漏补缺，巩固概念应用。

§3　对数函数 　3．1　对数函数的概念 3．2　对数函数y＝log2x的图象和性质 新课导入 学习目标 　　 同学们，我们已经知道，细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x.对于函数y＝2x，反过来，x是关于y的函数吗？这就是本节课我们要学习的内容． 1.了解对数函数的概念． 2．了解反函数的概念，知道同底数的对数函数与指数函数互为反函数． 3．掌握对数函数y＝log2x的图象与性质． 知识点一　对数函数的概念 思考1　将y＝2x化为对数式得到什么结果？ 提示：x＝log2y. 思考2　x＝log2y 对于区间(0，＋∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？ 提示：任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的x对应，x是关于y的函数． [知识梳理] 1．对数函数的概念 给定正数a，且a≠1，指数函数y＝ax是定义在R上、值域为(0，＋∞)的单调函数．所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax.由函数的定义，x就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作x＝logay. 一般将对数函数写成y＝logax(a>0，且a≠1)，其中a称为底数． 2．对数函数的基本性质 (1)定义域是(0，＋∞)；(2)图象过定点(1，0). 3．两类特殊的对数函数 常用对数函数：y＝lg x，其底数为10． 自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数e. [例1] 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝loga(a>0，且a≠1)； (2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)； (4)y＝logx6(x>0，且x≠1)； (5)y＝log6x. 【解】　(1)真数不是自变量x，不是对数函数． (2)对数式后加2，所以不是对数函数． (3)真数为x＋1，不是x，且系数不为1，故不是对数函数． (4)底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数． (5)底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 　 判断一个函数是否是对数函数的方法 [跟踪训练1] (1)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值是(　　) A.1或2　　　　　 B．1 C.2 D．1或3 解析：选C.因为函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，所以a2－3a＋3＝1，a>0且a≠1，解得a＝1(舍去)或a＝2，所以a＝2，故选C. (2)(2026·焦作月考)已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f＝__________． 解析：设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 因为f(x)的图象过点P(8，3)，所以3＝loga8， 所以a3＝8，即a＝2.所以f(x)＝log2x. 所以f＝log2＝log22-5＝－5. 答案：－5 知识点二　反函数 [知识梳理] 对数函数表示为y＝logax(a＞0，且a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a＞0，且a≠1).因此，指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数，即它们互为反函数． 角度1　求反函数 [例2] (对接教材例2、例3)写出下列函数的反函数． (1)y＝logx；(2)y＝2log3 x； (3)y＝；(4)y＝2x－1. 【解】　(1)对数函数y＝logx的底数是，它的反函数是指数函数y＝.　 (2)由y＝2log3x，得log3x＝，所以x＝3，则y＝2log3x的反函数是y＝3. (3)指数函数y＝的底数是，它的反函数是y＝log x(x>0). (4)由y＝2x－1得2x＝y＋1，所以x＝log2(y＋1)，则y＝2x－1的反函数是y＝log2(x＋1)(x>－1). 　 求指(对)数函数反函数的步骤 (1)由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)； (2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)； (3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域． [跟踪训练2] (1)已知函数y＝ex与函数y＝f(x)互为反函数，则(　　) A.f(3x)＝e3x(x∈R) B.f(3x)＝ln 3·ln x(x>0) C.f(3x)＝3ex(x∈R) D.f(3x)＝ln x＋ln 3(x>0) 解析：选D.因为y＝ex，所以其反函数为y＝ln x，即f(x)＝ln x，所以f(3x)＝ln 3x＝ln x＋ln 3(x>0).故选D. (2)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(3，1)，则a＝________． 解析：函数f(x)的反函数为y＝logax，由题意得，loga3＝1，所以a＝3. 答案：3 角度2　利用原函数与反函数的关系求值 [例3] (1)已知函数f(x)为y＝log2 x的反函数，则f(4)＝________． (2)若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f＝________． 【解析】　(1)因为函数f(x)为y＝log2 x的反函数，所以f(x)＝2x，所以f(4)＝24＝16. (2)因为函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f(x)＝log3 x， 所以f＝log3＝－log32. 【答案】　(1)16　(2) －log32 　 反函数的性质特征 (1)同底的指数函数、对数函数互为反函数． (2)反函数的性质： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． ②坐标关系：若函数y＝f(x)图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数图象上，反之若点(b，a)在反函数图象上，则点(a，b)必在原函数图象上． [跟踪训练3] (1)已知函数f(x)＝2x的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称，则g＝(　　) A.－1 B．1 C．12 D．2 解析：选A.方法一：函数f(x)＝2x的图象与函数y＝g(x)的关于直线y＝x对称，故f(x)＝2x和y＝g(x)互为反函数，根据原函数和反函数的关系，则g中的是函数f(x)＝2x对应的函数值，即＝2x0，解得x0＝－1，所以g＝－1.故选A. 方法二：由y＝f(x)＝2x，得x＝log2y，所以函数f(x)的反函数为g(x)＝log2x，则 g＝log2＝－1.故选A. (2)(多选)已知函数y＝f(x)是y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(x2)＝2f(x) B.f(2x)＝f(x)＋f(2) C.f＝f(x)－f(2) D.f(2x)＝2f(x) 解析：选ABC.因为函数y＝f(x)是y＝ax的反函数，所以f(x)＝logax.所以f(x2)＝logax2＝2logax＝2f(x)，A正确；f(2x)＝loga(2x)＝logax＋loga2＝f(x)＋f(2)，B正确，D错误；f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)，C正确． 知识点三　对数函数y＝log2x的图象和性质 [知识梳理] 对数函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且值域为R. [例4] (1)函数y＝的定义域为(　　) A. B．[1，＋∞) C. D．(－∞，1) (2)函数y＝log2x·log22x，x∈[2，4]的最小值是________． 【解析】　(1)函数的定义域满足 即 故函数的定义域为[1，＋∞). (2)y＝log2x·log22x＝log2x·(1＋log2x)，令t＝log2x，因为x∈[2，4]，所以t∈[1，2]， 则令f(t)＝t(1＋t)＝ －， 当t＝1，即x＝2时，f(1)＝ymin＝2. 【答案】　(1)B　(2)2 　 (1)与对数函数值域相关的问题 ①利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法； ②若底数中含有字母，需要对底数大于1、大于0小于1的两种情况进行讨论． (2)求对数型函数定义域的原则 ①分母不能为0； ②根指数为偶数时，被开方数非负； ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1； ④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形. [跟踪训练4] 根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题． (1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值． 解：(1)函数y＝log2x的图象如图所示． 因为y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， f(a)>f(2)，即log2a>log22，解得a>2. 所以a的取值范围为(2，＋∞). (2)因为2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27， 所以log23≤log2(2x－1)≤log227＝3log23. 所以函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为3log23. 1．下列函数中为对数函数的是(　　) A．y＝log(2－x2) B.y＝log4x2 C.y＝2lg x2 D.y＝log(a2＋a＋2)x(a是常数) 解析：选D.对于A，真数是2－x2，故A不是对数函数；对于B，y＝log4x2＝log2|x|，真数是|x|，不是x，故B不是对数函数；对于C，y＝2lg x2的系数为2，真数是x2，故C不是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝＋>1，真数是x，系数是1，故D是对数函数．故选D. 2．已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为(　　) A.y＝log2x B．y＝log3x C.y＝logx D．y＝logx 解析：选B.设y＝logax(a＞0，且a≠1)，则loga9＝2，a＝3，所以y＝log3x. 3．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________． 解析：由题意得a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1，又a＋1>0且a＋1≠1，所以a＝1.　 答案：1 4．(教材P113练习T2改编)不等式log2x－2≥0的解集为__________． 解析：由log2x－2≥0，得log2x≥log24，解得x≥4，故不等式log2x－2≥0的解集为[4，＋∞). 答案：[4，＋∞) 5．(教材P111T2改编)已知函数y＝ax＋b的图象过点(1，4)，其反函数的图象过点(3，0)，则a＝________ ，b＝________． 解析：因为函数y＝ax＋b的反函数的图象过点(3，0)，则函数y＝ax＋b的图象过点(0，3)，又因为函数y＝ax＋b的图象过点(1，4)，则 解得 答案：2　2 　 1．已学习：对数函数和反函数的概念，对数函数y＝log2x的图象与性质． 2．须贯通：利用待定系数法、数形结合法解决不等式或最值等问题． 3．应注意：忽视对数函数中隐含的条件：真数大于0，底数大于0且不等于1. 学科网（北京）股份有限公司 $