第2章 4.2 简单幂函数的图象和性质-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦简单幂函数的图象和性质核心知识点，通过回顾正比例、反比例等已学函数，对比抽象出幂函数y=x^α的定义，再结合y=x、y=x²等实例的图象与性质归纳，构建从概念到应用的学习支架。 资料以数学史导入激发兴趣，通过思考问题引导学生用数学眼光观察函数特征，表格对比与例题解析培养数学思维，即时练与跟踪训练帮助学生用数学语言规范表达。课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

4．2　简单幂函数的图象和性质 新课导入 学习目标 　　《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂．”后来又将幂推广引申为多次乘方的结果．到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂．清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念．今天，我们就来学习幂函数的有关知识． 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2．通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x的图象，归纳出幂函数的基本性质． 知识点一　幂函数的概念 思考1　我们都学习了哪些函数呢？其解析式都是怎样的呢？ 提示：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数；其解析式分别是y＝kx(k≠0)，y＝(k≠0)，y＝ax＋b(a≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 思考2　函数：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x，这些函数的解析式有什么共同的特征？其一般形式如何表示？ 提示：解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数，一般形式可用y＝xα表示． [知识梳理] 1．幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 2．幂函数的特征 (1)xα的系数为1； (2)xα的底数是自变量； (3)xα的指数为常数． [即时练] 1．在函数y＝x-4，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B.函数y＝x-4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．故选B. 2．已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，则m＋n＝(　　) A．－或－ B．－或 C．或 D．或－ 解析：选B.由题意得 解得或 所以m＋n＝－或m＋n＝. 故选B. 3．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则f(4)＝________． 解析：由幂函数的定义知k＝1，又f()＝，所以()α＝，所以α＝，所以f(4)＝4＝2. 答案：2 知识点二　常见幂函数的图象与性质 [知识梳理] 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝ 图象 定义域 R R R (－∞，0)∪ (0，＋∞) [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R (－∞，0)∪ (0，＋∞) [0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 增区间 R [0，＋∞) R 无 [0，＋∞) 减区间 无 (－∞，0] 无 (－∞，0)和 (0，＋∞) 无 定点 (1，1) [例1] (1) 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2，2， D．2，，－2，－ (2)下列关于函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，，2，3})的图象正确的是(　　) 【解析】　(1)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝，当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2.故选B. (2)函数y＝xα是幂函数，而y＝αx是一次函数，选项A，直线对应函数为y＝x，曲线对应函数为y＝x-1；选项B，直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x；选项C，直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2；选项D，直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3.故C正确． 【答案】　(1)B　(2)C 解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝x或y＝x3)来判断． [跟踪训练1] 如图所示， 曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　) A．n＜m＜0 B．m＜n＜0 C．n＞m＞0 D．m＞n＞0 解析：选A.由题图可知，两函数在第一象限内递减，故m＜0，n＜0.由曲线C1，C2的图象可知n＜m.故选A. 应用点　幂函数性质的应用 角度1　比较大小 [例2] 比较下列各组中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与. 【解】　(1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数， 又>，所以>. (2)因为幂函数y＝x-1在(－∞，0)上单调递减，又－<－， 所以>. (3)因为y＝x在[0，＋∞)上单调递增， 所以>1＝1， 又y＝x在[0，＋∞)上单调递增， 所以<1＝1， 所以>. 比较幂值大小的三种基本方法 角度2　求参数 [例3] 幂函数y＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为(　　) A．1或3 B．3 C．2 D．1 【解析】　因为y＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8为幂函数，所以m2－4m＋4＝1，即(m－1)(m－3)＝0，解得m＝1或m＝3. 当m＝1时，m2－6m＋8＝3，则y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，满足题意；当m＝3时，m2－6m＋8＝－1，则y＝x-1＝在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意． 综上可知，m＝1. 【答案】　D 利用单调性求参数的思路 (1)根据幂函数的概念，求出参数的所有可能值； (2)利用幂函数单调性，对参数的值进行验证得到所求值． 角度3　解不等式 [例4] 已知幂函数f(x)＝(a－1)xn的图象过点(2，8)，且f(b－2)＜f(1－2b)，则实数b的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 【解析】　因为幂函数f(x)＝(a－1)xn的图象过点(2，8)，所以解得所以f(x)＝x3，由于函数f(x)＝x3在R上单调递增，所以f(b－2)＜f(1－2b)，即b－2＜1－2b，解得b＜1.故实数b的取值范围是(－∞，1).故选C. 【答案】　C 利用幂函数的单调性解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用． [跟踪训练2] (1)已知a＝4，b＝3，c＝5，则(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析：选A.a＝4，b＝3，c＝5.因为y＝x在第一象限内单调递增，又3<4<5，所以b<a<c. (2)已知幂函数f(x)＝(m2－3)x－m在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　) A． B．±2 C．2 D．－2 解析：选C.因为f(x)为幂函数，所以m2－3＝1，所以m＝±2.当m＝2时，f(x)＝x-2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意；当m＝－2时，f(x)＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．故选C. (3)(2026·焦作月考)已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm+2在(0，＋∞)上单调递减，若(2a－1)－m<(a＋3)－m，则a的取值范围为__________．　 解析：若幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)·xm+2在(0，＋∞)上单调递减，则解得m＝－3. 不等式(2a－1)－m<(a＋3)－m化为(2a－1)3<(a＋3)3，显然幂函数y＝x3在R上单调递增， 因此2a－1<a＋3，解得a<4， 所以a的取值范围为(－∞，4). 答案：(－∞，4) 1．在函数y＝x-2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B.y＝x-2是幂函数；y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x不是y＝xα(α为常数)的形式，故不是幂函数． 2．(教材P68思考交流T2改编)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，则f(x)是(　　) A．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 C．奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 解析：选A.设f(x)＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，代入可得4＝2α，解得α＝2，所以f(x)＝x2，定义域为R，而f(－x)＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数，由二次函数的性质可知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A. 3．三个数a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之间的大小关系是(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 解析：选B.因为a＝0.32＜1，b＝1.90.3＞1，c＝20.3＞1.又函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，所以1.90.3＜20.3.综上a＜b＜c.故选B. 4．已知幂函数y＝xm-2(m∈N)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出函数的图象． 解：因为幂函数的图象与x轴、y轴都无交点，所以m－2≤0，即m≤2.又m∈N，所以m＝0，1，2. 当m＝0时，函数为y＝x-2，图象如图1所示；当m＝1时，函数为y＝x-1，图象如图2所示；当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图3所示． 因为幂函数的图象关于y轴对称，所以m＝0或m＝2. 1．已学习：幂函数的概念，几个常见幂函数的图象． 2．须贯通：幂函数的性质及其应用． 3．应注意：(1)对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)的函数为幂函数，其他形式都不是幂函数； (2)易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质． 学科网（北京）股份有限公司 $