第2章 03 4.2 简单幂函数的图象和性质(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦“简单幂函数的图象和性质”，承接函数奇偶性，通过概念辨析题组（如判断幂函数个数）、图象性质题组（如定义域与单调性分析），构建从基础到综合的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点是分层设计题组（基础过关与能力提升），结合实例（如幂函数奇偶性判断表、与二次函数图象关系题），培养数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理能力）。学生能分层巩固知识，教师可直接使用系统题例提升教学效率。

第二章 函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2　简单幂函数的图象和性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　幂函数的概念 1.现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x,其中幂函数的个数为( ) A.1　    B.2　    C.3　    D.4     B     解析　　根据幂函数的概念,可得①⑤为幂函数,②③④不符合幂函数的基本形式. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西赣州二十五校期中]已知函数f(x)=(m3+a)xma+1+a是幂函数,则f(m+a)= ( ) A.-1　    B.0　    C.1　    D.2     C     解析　　由题意得 解得  所以f(x)=x,所以f(m+a)=f(1)=1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　幂函数的图象与性质 3.[2026江西阶段检测]已知幂函数f(x)= xa的定义域为R,则f(2)的值为 ( ) A.1　    B.2　    C. 　    D.4     D     解析　　因为函数f(x)= xa是幂函数,所以a2- a+2=1, 即2a2-5a+2=(2a-1)(a-2)=0,解得a= 或a=2, 又f(x)= xa的定义域为R, 且当a= 时,f(x)= = ,其定义域为[0,+∞),不符合题意; 当a=2时,f(x)=x2,其定义域为R,符合题意, 所以f(x)=x2,则f(2)=22=4. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[教材习题改编]下图是当a分别取 ,4,-4,- 这四个值时的幂函数y=xa的部分图象,则与曲线C1,C2,C3,C4 相对应的a的值依次为 ( )   A.4, ,- ,-4　    B.-4,- , ,4 C.- ,4,-4, 　    D.4, ,-4,-      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当a>0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减, 并且在直线x=1的右侧,图象自下而上所对应的幂指数a依次增大, 所以与曲线C1,C2,C3,C4相对应的a的值依次为4, ,- ,-4. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江苏苏州期中]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, ),则函数y=2f(x)-x的值域是( ) A.(-∞,1]　     B.(-∞,0] C.[-1,+∞)　    D.[1,+∞)     A     解析　　设f(x)=xa,其中a为常数, 则f(2)=2a= ,可得a= ,则f(x)= = , 所以y=2f(x)-x=-x+2 =- +1≤1,当且仅当x=1时,等号成立, 故函数y=2f(x)-x的值域为(-∞,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026江西赣州龙南中学月考]已知幂函数f(x)=xn,n∈{-2,-1,1,3}的图象关于y轴对称,则下列说 法正确的是 ( ) A.f(-2)>f(1)　     B.f(-2)<f(1) C.f(-2)=f(-1)　     D.若|a|>|b|>0,则f(a)<f(b)     BD     解析　　因为幂函数f(x)=xn,n∈{-2,-1,1,3}的图象关于y轴对称,所以n=-2,则f(x)= ,f(-x)=f(x),f(x)在(0,+ ∞)上单调递减,则f(-2)=f(2)<f(1)=f(-1),A错误,B正确,C错误; 若|a|>|b|>0,则f(|a|)<f(|b|), ∵f(a)=f(-a)=f(|a|),f(b)=f(-b)=f(|b|),∴f(a)<f(b),D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026湖南常德阶段检测]已知幂函数f(x)=(m2-2m+2) (k∈Z)是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若f(2x-1)+f(x-2)<0,求x的取值范围; (3)若正实数a,b满足2a+b=m,求 + 的最小值. 解析    (1)依题意得m2-2m+2=1,5k-2k2>0,且k∈Z,5k-2k2为奇数, 所以m=1,k=1,故f(x)=x3. (2)由(1)可知f(x)=x3,则f(x)在定义域内单调递增, 因为f(2x-1)+f(x-2)<0,所以f(2x-1)<-f(x-2)=f(2-x),所以2x-1<2-x,解得x<1. (3)由(1)可知2a+b=1,a,b为正实数, 所以 + = + =2+ + ≥2+2 =4,当且仅当 = ,即a=b= 时等号成立,故 + 的最小值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思    (1)指数为偶数的幂函数为偶函数;指数为奇数的幂函数为奇函数. (2)解形如f(a)+f(b)<0或f(a)+f(b)>0的不等式时,常利用函数的奇偶性及单调性脱去“f”求解. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2　简单幂函数的图象和性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组　幂函数的图象与性质的综合应用 1.[2026山东省实验中学期中]已知函数f(x)=(m2-3m-3)x2m-1是幂函数,对任意的x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2,满足  >0,若a,b∈R,a+b<0,则f(a)+f(b)的值 ( ) A.恒大于0　    B.恒小于0 C.等于0　     D.无法判断     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　∵f(x)是幂函数,∴m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1, ∴f(x)=x7或f(x)=x-3, ∵对任意的x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2,满足 >0, ∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,则f(x)=x7, ∵f(x)的定义域为R,f(-x)=(-x)7=-x7=-f(x),∴f(x)为奇函数, ∵a+b<0,∴a<-b, ∴f(a)<f(-b)=-f(b),故f(a)+f(b)<0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.下列比较大小中正确的是 ( ) A. < 　    B. <  C. < 　    D. <      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,因为函数y=x0.7在(0,+∞)上单调递增, > ,所以 > ,故A错误; 对于B,因为函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,- <- ,所以 > ,故B错误; 对于C, = , = ,又函数y= 在R上单调递增,且- <- ,所以 < ,即  < ,故C正确; 对于D,因为函数y= 在(0,+∞)上单调递增, > ,所以 > ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江西景德镇一中期中]在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4bx(a≠0)与幂函数y= (x>0) 的图象的关系可能为 ( )  　       　          D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　二次函数y=ax2+4bx的图象的对称轴为直线x=- . 对于A,由题中图象得- =-1,则 = ,所以幂函数y= = ,当x>1时,图象应在直线y=x的下方,故A不正 确; 对于B,由题中图象得- =2,则b=-a,所以幂函数y= =x-1= ,故B不正确; 对于C,由题中图象得- =-2,则b=a,所以幂函数y= =x,其图象为直线,故C不正确; 对于D,由题中图象得- =2,则b=-a,所以幂函数y= =x-1= ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026江西南昌第二中学期中]已知幂函数f(x)= (m,n∈N+,m,n互质, = ),下列关于f(x)的 结论正确的是 ( ) A.m,n是奇数时,幂函数f(x)是奇函数 B.m是奇数,n是偶数时,幂函数f(x)是偶函数 C.m是偶数,n是奇数时,幂函数f(x)是偶函数 D.0< <1时,幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　对于A,若m,n是奇数,则f(x)= 的定义域为R,且f(-x)= =- =-f(x),所以幂函数f(x)是奇 函数,故A正确; 对于B,若m是奇数,n是偶数,则f(x)= 的定义域为R,且f(-x)= = =f(x),所以幂函数f(x)是偶函数, 故B正确; 对于C,若m是偶数,n是奇数,则f(x)= 的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以幂函数f(x)不具有奇偶 性,故C错误; 对于D,若0< <1,由幂函数性质可知f(x)在(0,+∞)上单调递增,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 二级结论　幂函数y=xα(α∈R)的 奇偶性的判断方法 α的分类 y=xα的奇偶性 α∈N α是偶数 偶函数 α是奇数 奇函数 α= (p,q互质,q≠0,p,q∈ Z) q是 奇数 p是奇数 奇函数 p是偶数 偶函数 q是偶数 非奇非偶函数 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026河南安阳第一中学周练]已知幂函数y= (m∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递 减,则满足(a+1 >(3-2a 的实数a的取值范围是 ( ) A. ∪ 　　    B.  C. ∪ 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为函数y= 在(0,+∞)上单调递减, 所以m2-2m-3<0,又m∈Z,所以m=0或m=1或m=2, 因为函数y= (m∈Z)的图象关于y轴对称, 所以此函数为偶函数,则m2-2m-3为偶数, m=0或m=2不符合题意,舍去,所以m=1, 函数y= 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减, 当x<0时,y<0,当x>0时,y>0, 所以不等式(a+1 >(3-2a 可化为  或 或  第1讲　描述运动的基本概念 解得-1<a< 或a> , 所以a的取值范围为 -1,  ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西多校期中联考]已知幂函数f(x)=(m2-5m-5)(x-n)m-2在(0,+∞)上单调递减,其中m,n∈R. (1)求f(x)的解析式; (2)解不等式f(x2)>f(x+6); (3)记函数M(x)=64f(x)+ -3a,N(x)=-x2+4x+b,其中a,b∈(0,+∞).若M(x)≥N(x)对x∈(0,+∞)恒成立,求ab 的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)为幂函数,所以m2-5m-5=1,且n=0,解得m=-1或m=6. 又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m-2<0,所以m=-1,故f(x)=x-3. (2)因为f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0)上也单调递减, 当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0. ①当x+6>0且x≠0,即x>-6且x≠0时,f(x2)>f(x+6)等价于0<x2<x+6,所以-2<x<3,且x≠0; ②当x+6<0,即x<-6时,f(x2)>f(x+6)恒成立. 所以不等式f(x2)>f(x+6)的解集为(-∞,-6)∪(-2,0)∪(0,3). (3)由题意知M(x)=64f(x)+ -3a=x3+ -3a. 若x>0,则x3+ ≥2 =16,当且仅当x3= ,即x=2时,等号成立, 所以M(x)min=M(2)=16-3a. 第1讲　描述运动的基本概念 因为N(x)=-x2+4x+b=-(x-2)2+b+4, 所以N(x)max=N(2)=b+4. 因为M(x)≥N(x)对x∈(0,+∞)恒成立,所以16-3a≥b+4,即3a+b≤12. 因为a,b∈(0,+∞),所以3a+b≥2 ,即ab≤ ≤12,当且仅当3a=b,即a=2,b=6时等号成立, 故ab的最大值为12. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东粤东四校期中联考]已知幂函数f(x)=(p2-2p+1) (p∈R),且f(1)<f(2). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若F(x)=f(x)-x+3,求F(x)在[1,4]上的值域; (3)若函数g(x)=m-f(x+3),且存在实数a,b(a<b),使得g(x)在[a,b]上的值域为[a,b],求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 思路点拨 (1)根据幂函数定义,列方程求出p,结合单调性确定解析式; (2)换元法并结合二次函数的性质求值域; (3)根据题意得 →令 =s, =t,换元→结合二次函数的性质求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为f(x)为幂函数,所以p2-2p+1=1,解得p=0或p=2. 当p=2时,f(x)= 在(0,+∞)上单调递减,故f(1)>f(2),不符合题意; 当p=0时,f(x)= = 在(0,+∞)上单调递增,故f(1)<f(2),符合题意. 所以f(x)= . (2)由(1)知f(x)= ,所以F(x)= -x+3=- + . 因为1≤x≤4,所以1≤ ≤2,令 =n,则y=- + 在[1,2]上单调递减(通过换元,将含 的函数转 化为易于求解的二次函数), 所以- + ≤y≤- + ,即1≤y≤3, 所以F(x)在[1,4]上的值域为[1,3]. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由题意知g(x)=m- ,易知g(x)在[-3,+∞)上单调递减, 所以 即  令 =s, =t,则a=s2-3,b=t2-3, 所以 所以t2+s=s2+t,即(t-s)(t+s-1)=0, 因为a<b,所以s<t,则t+s=1,故0≤s< , 则m=t+s2-3=s2-s-2= - (替换t,转化为关于s的二次函数), 由于y= - 在 上单调递减, 故 - <m≤ - , 第1讲　描述运动的基本概念 即m∈ , 所以实数m的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 $