第1章 4.2 一元二次不等式及其解法-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦一元二次不等式的概念及解法，从刹车距离现实情境导入，通过观察实例抽象概念，借助二次函数与方程关系学习不含参解法，再通过分类讨论掌握含参解法，构建完整学习支架。 以刹车距离情境培养数学眼光，通过函数、方程、不等式关联发展推理思维，例题与跟踪训练强化用集合语言表达解集。课中助教师清晰授课，课后学生可通过练习巩固，查漏补缺。

4．2　一元二次不等式及其解法 新课导入 学习目标 　　汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．一般来说，刹车距离与车速是二次函数关系，我们可以根据汽车的刹车距离估计汽车是否超过规定限速． 1.了解一元二次不等式的现实意义． 2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集． 知识点一　一元二次不等式的概念 观察下面四个不等式： (1)x2－x－6＞0；(2)x2－x－6≤0； (3)－x2＋2x≥0；(4)2x2＋x＋5＜0. 思考1　以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示：含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 思考2　方程x2－x－6＝0的实数根是多少？ 提示：x1＝－2，x2＝3. [知识梳理] 一般地，形如ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)x2－>0为一元二次不等式．(　　) (3)∀x∈Z，x2＋1>0.(　　) (4)∃x∈R，x2－x＋1<0.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选)下列不等式是一元二次不等式的是(　　) A．x2＋x<－1 B．x2＋＋1<0 C．x2＋＋1<0 D．x2＋1<0 解析：选AD.由于x2＋＋1<0，x2＋＋1<0不符合一元二次不等式的定义，只有x2＋x<－1，x2＋1<0是一元二次不等式． 3．若(2m－1)x2＋x－1≥0是关于x的一元二次不等式，则m的取值范围是________． 解析：根据一元二次不等式的定义可得2m－1≠0，解得m≠. 答案：m≠ 知识点二　不含参的一元二次不等式的解法 [知识梳理] 一元二次不等式与相应函数、方程的关系 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 方程ax2＋ bx＋c＝0的 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程 ax2＋bx ＋c＝0 的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2且x1＝x2＝－ 无实数根 函数y＝ax2＋ bx＋c(a>0) 的图象 不等式的解集 ax2＋bx＋c>0(a>0) {x|x>x2，或x<x1} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0) {x|x1<x<x2} ∅ ∅ [例1] (对接教材例2、例3)解下列不等式． (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0. 【解】　(1)方程2x2＋5x－3＝0的两个实数根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图1.由图可得原不等式的解集为{x|－3<x<}． (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝.作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图2，由图可得原不等式的解集为{x|x≤，或x≥}． (3)方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝. 作出函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图3. 由图可得原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， 因为方程x2－6x＋10＝0的Δ＝36－40＝－4<0，所以方程无实数根， 所以原不等式的解集为∅. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； (2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算一元二次方程的判别式； (3)求实根：根据判别式说明方程有无实根，若有实根则求出相应的一元二次方程的根； (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； (5)写解集：根据图象写出不等式的解集． [跟踪训练1] 解下列不等式． (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2＜0. 解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根x1＝－3，x2＝－. 又一元二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－，或x＜－3}． (2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实数根， 又一元二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. 知识点三　含参数的一元二次不等式的解法 [例2] 解关于x的不等式(ax－2)(x＋1)≥0(x∈R，a≥0). 【解】　①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为 (x－)(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x≥或x≤－1}． 母题探究　若把本例中的“a≥0”改为“a<0”，求该不等式的解集． 解：当a<0时，原不等式化为(x－)(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当－2<a<0时，不等式的解集为{x|≤x≤－1}；当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；当a<－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤}． 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)讨论二次项系数：若二次项系数含有参数，则应讨论该参数与0的大小关系．若等于0，则直接代入求解；若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式再求解． (2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的大小关系． (3)写出解集：确定方程无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，判断两根的大小关系，从而确定解集． 注意　求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算． [跟踪训练2] 求关于x的不等式x2＋(a－2)x－2a≤0的解集． 解：由x2＋(a－2)x－2a≤0可得(x＋a)(x－2)≤0， 当－a＝2，即a＝－2时，由(x－2)2≤0知，x＝2； 当－a>2，即a<－2时，解得2≤x≤－a； 当－a<2，即a>－2时，解得－a≤x≤2. 综上，当a<－2时，不等式的解集为{x|2≤x≤－a}； 当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝2}； 当a>－2时，不等式的解集为{x|－a≤x≤2}． 1．(多选)不等式3x2－5x－7<0的解集为A，则正确的是(　　) A．－1∈A B．0∈A C．2∉A D．3∉A 解析：选BD.3×(－1)2－5×(－1)－7＝1>0，故－1∉A，A错误；3×02－5×0－7＝－7<0，故0∈A，B正确；3×22－5×2－7＝－5<0，故2∈A，C错误；3×32－5×3－7＝5>0，故3∉A，D正确． 2．(2026·淮北月考)要使有意义，则x的取值范围为____________． 解析：由题可得－x2＋x＋12＞0， 可转化为x2－x－12＜0， 解得－3＜x＜4. 所以x的取值范围为{x|－3＜x＜4}． 答案：{x|－3＜x＜4} 3．若0<m<1，则不等式(x－m)(x－)<0的解集为__________． 解析：因为0<m<1，所以>1>m，故不等式的解集为{x|m<x<}． 答案：{x|m<x<} 4．(教材P38T3改编)解关于x的不等式12x2－ax>a2，其中a为常数． 解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 当a>0时，不等式的解集为(－∞，－)∪(，＋∞)；　 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，不等式的解集为(－∞，)∪(－，＋∞).　 1．已学习：一元二次不等式的概念及解法． 2．须贯通：含参数的一元二次不等式的解法． 3．应注意：(1)解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准； (2)忽略二次项系数的符号． 学科网（北京）股份有限公司 $