第2章 4.2 简单幂函数的图象和性质 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦幂函数这一核心知识点，系统梳理从幂函数定义（形如y=x^α）到性质（单调性、奇偶性、定义域），再到图像识别及应用（比较大小、解不等式、函数求值）的完整脉络，搭建从概念理解到综合应用的学习支架。 该资料通过辨析题（如判断幂函数）、图像题（识别函数图像）、应用题（解不等式）设计，培养学生抽象能力（定义辨析）、推理意识（性质推导）、模型意识（问题解决）。解析详细，课中辅助教师引导学生深化理解，课后助力学生自主回顾，弥补知识盲点。

1．下列函数中，既是幂函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝2x D．y＝ 解析：选B.对于A，y＝2x不是幂函数，不符合题意；对于B，y＝x2是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，y＝2x不是幂函数，不符合题意；对于D，y＝是幂函数，但在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意． 2．关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是(　　) A．幂函数的图象一定经过点(0，0)和点(1，1) B．幂函数的图象一定关于y轴或原点对称 C．幂函数的图象一定不经过第四象限 D．两个不同幂函数的图象最多有两个公共点 解析：选C.对于A，幂函数的图象一定经过点(1，1)，不一定过点(0，0)，例如y＝x-1，故A错误； 对于B，幂函数y＝x的图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，故B错误； 对于C，由幂函数的性质可知，幂函数的图象一定不经过第四象限，故C正确； 对于D，幂函数y＝x与y＝x3的图象的交点为(－1，－1)，(0，0)，(1，1)，共3个，故D错误． 3．下列图象中，最符合函数y＝x的图象的是(　　) 解析：选A.由y＝x＝，函数的定义域为[0，＋∞)，排除BC；因为>1，所以函数y＝x的图象呈现下凸的趋势，排除D. 4．若幂函数f(x)的图象经过(1，1)，(2，－4)，(－，2)这三个点中的两个点，则f(4)＝(　　) A．64 B．2 C．4 D．16 解析：选D.因为点(2，－4)为第四象限的点，所以幂函数不过点(2，－4). 设幂函数f(x)＝xα，所以(－)α＝2⇒α＝2，所以f(x)＝x2. 所以f(4)＝42＝16. 5．若幂函数f(x)是R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减，若a＝f(－1.5)，b＝f(－1.4)，c＝f(0.6)则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a 解析：选B.因为f(x)为偶函数，所以c＝f(0.6)＝f(－0.6)，又因为幂函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(－1.5)>f(－1.4)>f(－0.6)＝f(0.6)，即a>b>c. 6．(多选)已知幂函数f(x)＝(8m2－5)xm2，则(　　) A．m＝± B．f(x)的定义域为R C．f(x)为非奇非偶函数 D．不等式f(2x＋1)>f(5－x)的解集为(，＋∞) 解析：选AC.对于A，由幂函数f(x)＝(8m2－5)·xm2知，8m2－5＝1，解得m＝±，故A正确；对于B，C，f(x)＝x＝，则f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确；对于D，由f(x)＝x知函数在[0，＋∞)上单调递增，所以由f(2x＋1)>f(5－x)可得0≤5－x<2x＋1，解得<x≤5，即不等式f(2x＋1)>f(5－x)的解集为(，5]，故D错误． 7．已知幂函数y＝f(x)的图象过点P(2，2)，则f(x)＝________． 解析：设幂函数f(x)＝xα，将点P(2，2)代入上式，可得2α＝2＝2，解得α＝，所以f(x)＝x. 答案：x 8．请写出一个幂函数f(x)满足以下两个条件：①定义域为(0，＋∞)；②f(x)为减函数，则f(x)＝ ________． 解析：举例f(x)＝x－，其定义域为(0，＋∞)，且f(x)为减函数． 答案：x－ (答案不唯一) 9．已知幂函数f(x)的图象经过点(16，4)，则不等式f(x2－x＋2)>2的解集为____________________． 解析：设幂函数f(x)＝xα，由题意得16α＝4，解得α＝，故f(x)＝x，所以f(4)＝2，则f(x2－x＋2)>2，即为f(x2－x＋2)>f(4). 令x2－x＋2≥0，解得x∈R. 根据f(x)＝x在[0，＋∞)上为增函数， 则有x2－x＋2>4，解得x<－1或x>2，故所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞). 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 10．(13分)已知幂函数f(x)的图象过点(2，8). (1)求f(－2)的值；(4分) (2)求f(x)在区间[－2，－]上的最大值；(4分)　 (3)设函数g(x)＝f(x)－x，判断g(x)的奇偶性．(5分) 解：(1)设幂函数f(x)＝xα，因为f(x)的图象过点(2，8)，所以2α＝8，得α＝3，所以f(x)＝x3，所以f(－2)＝－8. (2)因为f(x)＝x3， 所以f(x)在区间[－2，－]上单调递增． 所以f(x)在区间[－2，－]上的最大值为f(－)＝－. (3)因为函数g(x)＝f(x)－x， 所以g(x)＝x3－x. 因为g(x)的定义域为R，关于原点对称， g(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数． 11．幂函数f(x)＝(m2－m－1)x在区间(0，＋∞)上单调递增，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 解析：选A.由函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋2m－5是幂函数，可得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，f(x)＝x3； 当m＝－1时，f(x)＝x-6. 因为函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＝x3，故f(x)为奇函数． 又a＋b>0，所以a>－b，所以f(a)>f(－b)＝－f(b)，则f(a)＋f(b)>0. 12．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(2，4)，则函数g(x)＝＋mx的大致图象可能为(　　) 解析：选AC.设幂函数f(x)＝xα，将(2，4)代入f(x)可得，α＝2，所以f(x)＝x2，g(x)＝＋mx(m≠0)，所以g(x)是二次函数，故排除B选项；对称轴方程为x＝－＝－<0，在y轴左侧，故排除D选项；当m>0时，g(x)为开口向上的抛物线，可知A正确；当m<0时，g(x)为开口向下的抛物线，可知C正确． 13．(15分)已知幂函数f(x)＝x(m∈N*). (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数与其定义域上的单调性．(7分) (2)若函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．(8分) 解：(1)因为m∈N*，所以m2＋m＝m×(m＋1)为偶数， 令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝， 所以f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数． (2)由题意可得＝2＝2， 所以m2＋m＝2， 解得m＝1或m＝－2(舍去)， 所以f(x)＝x. 由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，解得1≤a<， 故实数a的取值范围为. 14．(15分)已知函数f(x)＝x(x>0). (1)若f(x)＋f(x-1)＝3，求x＋x-1的值；(5分)　 (2)若g(x)＝f(x)＋，求函数y＝g(x2)－3g(x)的最小值．(10分) 解：(1)因为f(x)＋f(x-1)＝3， 所以x＋x－＝3， 两边平方可得x＋x-1＋2＝9， 所以x＋x-1＝7. (2)因为g(x)＝f(x)＋＝x＋x－， 所以y＝g(x2)－3g(x) ＝x＋x-1－3(x＋x－) ＝(x＋x－)2－3(x＋x－)－2， 令x＋x－＝t， 则x＋x－≥2＝2， 当且仅当x＝x－， 即x＝1时，等号成立，即t≥2，所以y＝t2－3t－2，t≥2，对称轴方程为t＝， 所以函数y＝t2－3t－2在[2，＋∞)上单调递增， 即当t＝2时，ymin＝4－3×2－2＝－4， 所以函数y＝g(x2)－3g(x)的最小值为－4. 15．(多选)(2026·定州开学考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有(　　) A．a＋b>0，ab<0 B．a＋b<0，ab>0 C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能 解析：选BC.由于函数f(x)为幂函数，故m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝，当m＝2时，f(x)＝x3.由对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0知，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＝x3.易知f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝x3是奇函数．由f(a)＋f(b)<0，即f(a)<－f(b)＝f(－b)，得a<－b，所以a＋b<0，此时，当a＝0时，b<0，故ab＝0；当a>0时，0<a<－b，故b<0，则ab<0；当a<0时，由a<－b得，b<－a，故b<0或b＝0或b>0，则ab>0或ab＝0或ab<0.综上可知，a＋b<0，且ab>0或ab＝0或ab<0. 学科网（北京）股份有限公司 $