第2章 3 第2课时 函数单调性的证明和应用 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦函数单调性这一核心知识点，系统梳理单调性的定义、一次函数与二次函数的单调区间判断，以及分段函数单调性的条件分析，逐步延伸至利用单调性解不等式、求参数范围及最值的综合应用，构建完整的学习支架。 资料设计亮点在于题型多样且层次分明，通过多选、解答题等形式强化逻辑推理与数学思维。例如第3题结合充分必要条件考查单调性定义，第10题用定义证明单调性培养严谨推理，既助力课中分层教学，又便于课后学生查漏补缺，提升数学应用能力。

1．下列函数在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 答案：C 2．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都单调递减，则函数f(x)＝bx＋a在R上是(　　) A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0 C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0 解析：选A.因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都单调递减，所以a<0，b<0，所以f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0.故选A. 3．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，则对任意x1，x2∈R，“x1＜x2”是“f(x1)＜f(x2)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.当x1＜x2时，因为函数y＝f(x)是R上的增函数，所以f(x1)＜f(x2)，所以“x1＜x2”是“f(x1)＜f(x2)”的充分条件；当f(x1)＜f(x2)时，因为函数y＝f(x)是R上的增函数，所以x1＜x2，所以“x1＜x2”是“f(x1)＜f(x2)”的必要条件．综上得“x1＜x2”是“f(x1)＜f(x2)”的充要条件．故选C. 4．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，则－1<f(x)<1的解集是(　　) A．(－3，0) B．(0，3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选B.由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，所以－1<f(x)<1等价于f(0)<f(x)<f(3)，因为f(x)是R上的增函数，所以0<x<3. 5．(多选)已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值可以是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选BC.函数f(x)＝是R上的减函数， 则解得2≤a≤3.故选BC. 6．(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，则下列结论正确的是(　　) A．∀x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，则a的取值范围是(－∞，－3) B．∃x∈[－2，2]，f(x)>a，则a的取值范围是(－∞，－3) C．∃x∈[0，3]，g(x)＝a，则a的取值范围是[－1，3]　 D．∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f(x)＝g(t) 解析：选AC.对于A，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])单调递减，所以f(x)min＝－3，又因为f(x)>a恒成立，则a的取值范围是(－∞，－3)，故A正确；对于B，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])单调递减，所以f(x)max＝5，又∃x∈[－2，2]，f(x)>a，则a的取值范围是(－∞，5)，故B错误；对于C，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])在[0，1]上单调递减，[1，3]上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3，所以g(x)∈[－1，3]，因为∃x∈[0，3]，g(x)＝a，所以a的取值范围是[－1，3]，故C正确；对于D，由上述过程可知f(x)∈[－3，5]，g(x)∈[－1，3]，则不能保证∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f(x)＝g(t)，例如：当x＝－2时，不存在t∈[0，3]，f(x)＝g(t)，故D错误．故选AC. 7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________． 解析：如图，由题意及图可知f(x)在区间[1，a]上单调递减，又因为f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，所以1＜a≤3. 答案：(1，3] 8．已知f(x)是R上的单调函数，A(2，－3)，B(0，3)是其图象上的两点，则不等式－3<f(x－1)<3的解集为____________． 解析：依题意，f(x)是R上的单调函数，且f(2)＝－3<3＝f(0)， 所以f(x)在R上单调递减． 又因为－3<f(x－1)<3可化为f(2)<f(x－1)<f(0)， 则0<x－1<2，解得1<x<3，所以不等式－3<f(x－1)<3的解集为(1，3). 答案：(1，3) 9．若函数f(x)＝ax2－(2a－4)x＋1在区间(0，＋∞)上单调，则实数a的取值范围是____________． 解析：当a＝0时，f(x)＝4x＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，满足题意；当a≠0时，f(x)＝ax2－(2a－4)x＋1为二次函数，对称轴为直线x＝1－，若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则需满足解得0<a≤2；若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，则需满足无解．综上，实数a的取值范围是[0，2]. 答案：[0，2] 10．(13分)已知函数f(x)＝x2－＋1(x>0). (1)判断函数的单调性，并证明；(6分) (2)用函数观点解不等式f(x)>0.(7分) 解：(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．证明如下： 任取0<x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝x－＋1－x21＋－1 ＝(x2－x1)， 因为0<x1<x2， 所以x2－x1>0，x2＋x1＋>0， 所以f(x2)－f(x1)>0， 即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)＝x2－＋1在区间(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)得f(x)＝x2－＋1在区间(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0， 所以由f(x)>0＝f(1)，可得x>1， 所以不等式f(x)>0的解集为(1，＋∞). 11．(2026·南昌月考)已知函数f(x)的图象如图所示，若f(x)在上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 解析：选B.由题图可知f(x)在[－2，－1]，[0，1]上单调递减，则或得－2≤a≤－或0≤a≤. 12．(多选)已知关于x的不等式x2－4x－a－1≥0在x∈[1，4]上有解，则a的取值可以是(　　) A．－6　　　B．－5 C．－1　　　D．0 解析：选ABC.不等式x2－4x－a－1≥0在x∈[1，4]上有解等价于a≤(x2－4x－1)max.设f(x)＝x2－4x－1，x∈[1，4]，f(x)＝(x－2)2－5，而f(1)＝－4，f(4)＝－1，故f(x)在[1，4]上的最大值为－1，故a≤－1.故选ABC. 13．已知函数f(x)＝，若x1>x2>－2，则f(x1)>f(x2)，则实数a的取值范围是_________________________． 解析：由若x1>x2>－2，则f(x1)>f(x2)可知函数f(x)在区间(－2，＋∞)上单调递增，而f(x)＝＝a＋，故有1－2a<0，解得a>，即实数a的取值范围为. 答案： 14．(15分)已知二次函数y＝f(x)，f(0)＝f(8)＝0，f(4)＝16. (1)求函数y＝f(x)的解析式；(4分) (2)若函数f(x)在区间[t，t＋2]上不单调，求t的取值范围；(5分) (3)求函数f(x)在区间[t，t＋2]上的最大值h(t).(6分) 解：(1)因为二次函数y＝f(x)满足f(0)＝f(8)＝0，且f(4)＝16， 故函数图象的对称轴为直线x＝4，且f(x)的最大值为16， 可设函数f(x)＝a(x－4)2＋16，a<0，根据f(0)＝16a＋16＝0，解得a＝－1， 故f(x)＝－(x－4)2＋16＝－x2＋8x. (2)函数f(x)图象的对称轴为直线x＝4， 要使函数f(x)在区间[t，t＋2]上不单调，则4∈(t，t＋2)， 即t<4<t＋2， 解得2<t<4，所以t的取值范围为(2，4). (3)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝4，且开口向下， 当t≥4时，函数f(x)在[t，t＋2]上单调递减，此时最大值h(t)＝f(t)＝－t2＋8t； 当t＋2≤4，即t≤2时，函数f(x)在[t，t＋2]上单调递增， 此时最大值h(t)＝f(t＋2)＝－t2＋4t＋12； 当t<4<t＋2，即2<t<4时，函数f(x)在[t，4]上单调递增，在[4，t＋2]上单调递减， 此时最大值h(t)＝f(4)＝16； 综上所述，h(t)＝ 15．(15分)已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝ (1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；(5分) (2)①求F(x)的最小值m(a)；(5分) ②求F(x)在区间[0，6]上的最大值M(a).(5分) 解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0，此时F(x)＝2|x－1|，不符合题意；当x＞1时，x2－2ax＋4a－2－2|x－1|＝(x－2)(x－2a).要使F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立，则(x－2)(x－2a)≤0.故x的取值范围为[2，2a]. (2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0， g(x)min＝g(a) ＝－a2＋4a－2， 所以由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)， g(a)}，即m(a)＝ ②由(1)知，当0≤x≤2时，F(x)＝f(x)， 此时M(a)＝max{f(0)，f(2)}＝2. 当2≤x≤6时，F(x) ＝g(x)， 此时M(a)＝max{g(2)，g(6)}＝max{2，34－8a}， 当a≥4时，34－8a≤2； 当3≤a＜4时，34－8a＞2， 所以M(a)＝ 学科网（北京）股份有限公司 $