第2章 4.1 第1课时 函数的奇偶性 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

本讲义聚焦函数奇偶性这一核心知识点，系统梳理奇函数、偶函数的定义（定义域对称及f(-x)与f(x)关系）、判断方法（定义法、图象法）及性质（奇偶函数图象对称性），构建从基础判断到性质综合应用的学习支架。 资料题型丰富（选择、填空、解答），通过具体实例（如判断函数奇偶性、利用奇偶性求参数）培养学生抽象能力（数学眼光）和推理能力（数学思维），解析详尽，课中助力教学互动，课后辅助学生查漏补缺。

1．(2026·信阳月考)下列函数在R上为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝x4－2x2 C．f(x)＝x5＋3x3 D．f(x)＝－x3＋x＋1 解析：选C.对于A，f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}，不为R，故不符合题意；对于B，f(x)＝x4－2x2的定义域为R，且f(－x)＝(－x)4－2(－x)2＝x4－2x2＝f(x)，故f(x)为偶函数，不符合题意；对于C，f(x)＝x5＋3x3的定义域为R，且f(－x)＝(－x)5＋3(－x)3＝－x5－3x3＝－f(x)，故f(x)为奇函数，符合题意；对于D，f(x)＝－x3＋x＋1的定义域为R，且f(－x)＝－(－x)3＋(－x)＋1＝x3－x＋1≠－f(x)，故f(x)不为奇函数，不符合题意． 2．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．±1 解析：选A.因为函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，图象关于y轴对称，所以图象的对称轴x＝＝0，所以a＝1. 3．已知奇函数f(x)的图象经过点(1，3)，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝2x B．f(x)＝－ C．f(x)＝3x2 D．f(x)＝3x3 解析：选D.对于A，f(1)＝2≠3，A不符合题意；对于B，f(1)＝－3≠3，B不符合题意；对于C，f(x)＝3x2是偶函数，C不符合题意；对于D，f(1)＝3，f(x)＝3x3是奇函数，D符合题意． 4．函数y＝的图象大致为　(　　) 解析：选D.令y＝f(x)＝，x∈R，则f(－x)＝＝－f(x)，所以函数y＝f(x)是奇函数，排除A，C；且f(1)＝，排除B.故选D. 5．已知函数f(x)＝ax3＋bx－＋2，若f(2 026)＝6，则f(－2 026)＝(　　) A．－8 B．－6 C．－4 D．－2 解析：选D.设g(x)＝ax3＋bx－，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，g(－x)＝－ax3－bx＋＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，f(2 026)＝g(2 026)＋2＝6，故g(2 026)＝4，f(－2 026)＝g(－2 026)＋2＝－g(2 026)＋2＝－4＋2＝－2. 6．(多选)(2026·亳州月考)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数的是(　　) A．g(x)＝x＋f(x) B．g(x)＝xf(x) C．g(x)＝x2＋f(x) D．g(x)＝x2f(x) 解析：选AD.因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x).对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝x＋f(x)是奇函数；对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以g(x)＝xf(x)是偶函数；对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以g(x)＝x2＋f(x)为非奇非偶函数；对于D，g(－x)＝(－x)2·f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝x2f(x)是奇函数． 7．(2026·南阳月考)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，x∈[－2a－5，1]是偶函数，则a＋2b＝________． 解析：根据题意，－2a－5＋1＝0，解得a＝－2，故f(x)＝－2x2＋bx＋c.因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝－2x2－bx＋c＝f(x)＝－2x2＋bx＋c，解得b＝0，故a＋2b＝－2. 答案：－2 8．奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则f(2)与f(4)的大小关系为__________________.(用“>”连接) 解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)， 由题中函数图象可知f(－2)<f(－4)， 所以－f(－2)>－f(－4)， 即f(2)>f(4). 答案：f(2)>f(4) 9．已知定义域为[a－4，a－2]的奇函数f(x)＝2 024x3－5x＋b＋3，则f(a－2)＋f(b＋2)的值为____________． 解析：因为奇函数f(x)的定义域为[a－4，a－2]，所以(a－4)＋(a－2)＝0，所以a＝3， 因为f(－x)＝－f(x)，即－2 024x3＋5x＋b＋3＝－2 024x3＋5x－b－3 所以b＝－3，所以f(x)＝2 024x3－5x， 所以f(a－2)＋f(b＋2)＝f(1)＋f(－1)＝0. 答案：0 10．(13分)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝；(6分) (2)f(x)＝.(7分) 解：(1)因为函数f(x)的定义域是{x|x≠1}，不关于坐标原点对称， 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)易知f(x)的定义域为R，关于坐标原点对称． 因为f(－x)＋f(x)＝＋＝ ＝0， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． 11．若函数y＝f(x)－1是定义在R上的奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＝(　　) A.3 B．2 C．－2 D．－3 解析：选A.设F(x)＝f(x)－1， 则F(x)＋F(－x)＝0， 即f(x)－1＋f(－x)－1＝0， 即f(x)＋f(－x)＝2， 所以f(1)＋f(－1)＝2. 因为F(0)＝f(0)－1＝0，所以f(0)＝1， f(－1)＋f(0)＋f(1)＝2＋1＝3. 12．已知函数f(x)＝x3＋2x，若a>0，b>0，且f(2a)＋f(b－1)＝f(0)，则＋的最小值是__________，取得最小值时a的值为______________________． 解析：因为f(x)＝x3＋2x的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，　 所以f(x)是奇函数，易知函数f(x)单调递增，且f(0)＝0， 因为f(2a)＋f(b－1)＝0， 所以2a＋b－1＝0，2a＋b＝1， 所以＋＝(＋)(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立． 所以＋的最小值是9，取得最小值时a的值为. 答案：9　 13．(13分)(2026·毕节期末)若y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x. (1)画出函数y＝f(x)的图象；(6分) (2)若关于x的方程f(x)＝m有2个不同的实数解，求实数m的取值范围．(7分) 解：(1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x的图象开口向上，且对称轴为直线x＝1， 当x∈[0，1]时，函数f(x)单调递减，当x∈[1，＋∞)时，函数f(x)单调递增， 所以函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的函数图象如图1所示， 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数图象关于y轴对称， 所以函数y＝f(x)的图象如图2所示． (2)由(1)可知，函数f(x)的最小值为f(－1)＝f(1)＝12－2×1＝－1， 方程f(x)＝m有2个不同的实数解，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有两个公共点， 由图3可知，m＝－1或m>0. 14．(15分)已知函数f(x)满足f(x)－2f(－x)＝9x＋1. (1)求f(x)的解析式；(7分) (2)若g(x)＝x|f(x＋a)－a|是奇函数，求a的值.(8分) 解：(1)因为f(x)－2f(－x)＝9x＋1，① 所以f(－x)－2f(x)＝－9x＋1.② ①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋3， 则f(x)＝3x－1. (2)由(1)可知，g(x)＝x|f(x＋a)－a|＝x|3(x＋a)－1－a|＝x|3x＋2a－1|. 因为g(x)是奇函数， 所以g(－x)＝－g(x)， 即－x|－3x＋2a－1|＝－x|3x＋2a－1|对于定义域内的任意x值恒成立， 故需使2a－1＝0，解得a＝. 15．通过研究发现：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，则函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(　　) (参考公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3) A．(0，0) B．(1，2) C．(1，－2) D．(2，－4) 解析：选C.设函数y＝f(x)图象的对称中心为点P(a，b)， 则y＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)2－b是奇函数， 则f(－x＋a)－b＝－[f(x＋a)－b]， 代入整理得(6a－6)x2＋2a3－6a2－2b＝0， 比较系数可得 解得 所以对称中心为(1，－2). 学科网（北京）股份有限公司 $